ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 499
Скачиваний: 1
Вероятность произведения событий
Теорема умножения вероятностей.
P
(
AB
) =
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
.
Обобщение по индукции (цепное правило):
P
(
A
1
A
2
· · ·
A
n
) =
P
(
A
1
)
P
(
A
2
|
A
1
)
· · ·
P
(
A
n
|
A
1
· · ·
A
n
−
1
)
.
(ФКН ВГУ)
6 / 67
Формула полной вероятности
Пусть
A
— произвольное событие, события
B
1
,
B
2
, . . . ,
B
n
попарно
несовместны,
P
(
B
k
)
>
0
,
k
= 1
, . . . ,
n
, и
A
⊂
B
1
+
B
2
+
· · ·
+
B
n
.
Тогда имеет место следующая формула (
формула полной вероятности
):
P
(
A
) =
n
X
k
=1
P
(
B
k
)
P
(
A
|
B
k
)
.
Доказательство:
Событие
A
можно представить в виде суммы попарно
несовместных
событий:
A
=
AB
1
+
AB
2
+
· · ·
+
AB
n
.
⇒
P
(
A
) =
n
X
k
=1
P
(
AB
k
) =
n
X
k
=1
P
(
B
k
)
P
(
A
|
B
k
)
.
Формулу можно распространить на случай
счетной
системы попарно
несовместных событий
B
k
,
k
= 1
,
2
, . . . ,
n
, . . .
(ФКН ВГУ)
7 / 67
Формулы Байеса
Заменив в равенстве
P
(
B
k
|
A
) =
P
(
AB
k
)
P
(
A
)
=
P
(
B
k
)
P
(
A
|
B
k
)
P
(
A
)
вероятность
P
(
A
)
по формуле полной вероятности, получим
формулы
Байеса
:
P
(
B
k
|
A
) =
P
(
B
k
)
P
(
A
|
B
k
)
n
X
i
=1
P
(
B
i
)
P
(
A
|
B
i
)
.
(ФКН ВГУ)
8 / 67
Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры
Пример 1.
На фабрике, изготавливающей болты, первая машина
производит
25%
, вторая —
35%
, третья —
40%
всех изделий. Брак в их
продукции составляет соответственно
5%
,
4%
,
2%
.
a) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт оказался
дефектным?
б) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт произведен
первой, второй и третьей машиной, если он оказался дефектным?
Решение.
а)
A
— событие, состоящее в том, что случайный болт — дефектный;
B
1
,
B
2
,
B
3
— события, состоящие в том, что этот болт произведен
соответственно первой, второй и третьей машинами.
P
(
A
)
=
P
(
B
1
)
P
(
A
|
B
1
) +
P
(
B
2
)
P
(
A
|
B
2
) +
P
(
B
3
)
P
(
A
|
B
3
)
= 0
.
25
·
0
.
05 + 0
.
35
·
0
.
04 + 0
.
40
·
0
.
02 = 0
.
0345
.
(ФКН ВГУ)
9 / 67
Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Примеры
Пример 1.
На фабрике, изготавливающей болты, первая машина
производит
25%
, вторая —
35%
, третья —
40%
всех изделий. Брак в их
продукции составляет соответственно
5%
,
4%
,
2%
.
a) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт оказался
дефектным?
б) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт произведен
первой, второй и третьей машиной, если он оказался дефектным?
Решение.
б)
P
(
B
1
|
A
) =
0
.
25
·
0
.
05
0
.
0345
=
125
345
,
P
(
B
2
|
A
) =
0
.
35
·
0
.
04
0
.
0345
=
140
345
,
P
(
B
3
|
A
) =
0
.
40
·
0
.
02
0
.
0345
=
80
345
(ФКН ВГУ)
10 / 67