ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 501
Скачиваний: 1
Числовые характеристики случайных величин
Свойства математического ожидания
1
Если
C
постоянная, то
M
(
C
) =
C
.
2
Если
C
постоянная, то
M
(
CX
) =
CM
(
X
)
.
3
Для любых величин
X
|
M
(
X
)
|
6
M
(
|
X
|
)
.
4
Для любых случайных величин
X
1
и
X
2
M
(
X
1
+
X
2
) =
M
(
X
1
) +
M
(
X
2
)
.
Если существуют какие-нибудь два из участвующих в равенстве
математических ожиданий, то существует и третье.
5
Если случайные величины
X
1
и
X
2
независимы, то
M
(
X
1
X
2
) =
M
(
X
1
)
M
(
X
2
)
.
Из существования любых двух математических ожиданий следует
существование третьего.
(ФКН ВГУ)
61 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Дисперсия
Дисперсией
D
(
X
)
случайной величины
X
называется число
D
(
X
) =
M
[(
X
−
M
(
X
))
2
]
,
если математическое ожидание в правой части равенства существует.
Дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около
ее математического ожидания. Величину
p
D
(
X
)
называют
средним
квадратическим отклонением
.
M
[(
X
−
M
(
X
))
2
] =
M
[
X
2
−
2
XM
(
X
)+(
M
(
X
))
2
] =
M
(
X
2
)
−
2
M
(
X
)
M
(
X
)+[
M
(
X
)]
2
D
(
X
) =
M
(
X
2
)
−
[
M
(
X
)]
2
(ФКН ВГУ)
62 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Дисперсия
Для абсолютно непрерывной случайной величины
D
(
X
) =
Z
∞
−∞
(
x
−
M
(
X
))
2
f
(
x
)
dx
.
Для дискретной случайной величины
D
(
X
) =
∞
X
k
=1
(
x
k
−
M
(
X
))
2
P
(
X
=
x
k
)
,
где
∞
X
k
=1
P
(
X
=
x
k
) = 1
.
(ФКН ВГУ)
63 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Свойства дисперсии
1
Для любой случайной величины
X
имеем
D
(
X
)
>
0
.
2
Если
C
постоянная, то
D
(
C
) = 0
.
3
Если
C
постоянная, то
D
(
CX
) =
C
2
D
(
X
)
.
4
Если случайные величины
X
1
и
X
2
независимы, то
D
(
X
1
+
X
2
) =
D
(
X
1
) +
D
(
X
2
)
.
(ФКН ВГУ)
64 / 67
Числовые характеристики случайных величин
Ковариация. Коэффициент корреляции
Рассмотрим две произвольные случайные величины.
Число
cov
(
X
1
,
X
2
) =
M
[(
X
1
−
M
(
X
1
))(
X
2
−
M
(
X
2
))]
называется
ковариацией
случайных величин
X
1
,
X
2
.
cov
(
X
1
,
X
2
) =
M
(
X
1
X
2
)
−
M
(
X
1
)
M
(
X
2
)
cov
(
X
,
X
) =
D
(
X
)
cov
(
X
1
,
X
2
) =
cov
(
X
2
,
X
1
)
D
(
X
1
+
X
2
) =
D
(
X
1
) +
D
(
X
2
) + 2
cov
(
X
1
,
X
2
)
(ФКН ВГУ)
65 / 67