ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 953
Скачиваний: 1
Функции (2.82) факторизуются в произведение трех сомножителей,
каждый из которых является соответственно функцией либо
r
, либо
θ
, либо
ϕ
. Первые две вещественны, поэтому в соответствии с (2.82),
(2.88), радиальная и «меридиональная» составляющие тока обращают-
ся в нуль:
j
r
=
j
θ
= 0
(см. рис. 2.10). Функция (2.82) зависит от
ϕ
только через множитель
e
i
mϕ
, поэтому «параллельная» составляющая
тока
j
ϕ
будет ненулевой:
j
(
r
) =
j
ϕ
e
ϕ
=
}
m
l
m
1
r
sin
θ
|
Ψ
nlm
l
(
r
)
|
2
e
ϕ
.
(2.89)
Это свидетельствует о
существовании замкнутых токов в атоме
.
Как известно из курса электродинамики, замкнутые токи создают
магнитный момент:
M
=
1
2
c
Z
[
r
×
j
e
] d
3
r
=
−
e
2
c
Z
[
r
×
j
(
r
)] d
3
r.
(2.90)
Вычислим магнитный момент водородоподобного иона в состоянии
(2.82), подставив выражение для тока (2.89) в (2.90):
M
=
−
e
}
m
l
2
mc
Z
1
r
sin
θ
|
Ψ
nlm
l
(
r
)
|
2
[
r
×
e
ϕ
]
| {z }
r
e
θ
d
3
r.
Найдем декартовы компоненты вектора
M
. Принимая во внимание,
что
[
r
×
e
ϕ
] =
r
e
θ
,
(
e
θ
)
z
= sin
θ
,
(
e
θ
)
x
=
−
cos
θ
cos
ϕ
,
(
e
θ
)
y
=
=
−
cos
θ
sin
ϕ
, а также учитывая, что
R
2
π
0
sin
ϕ
=
R
2
π
0
cos
ϕ
= 0
, по-
лучаем:
M
=
−
e
}
m
l
2
mc
e
z
Z
|
Ψ
nlm
l
(
r
)
|
2
d
3
r
|
{z
}
1
=
−
µ
B
m
l
e
z
,
(2.91)
где
µ
B
=
e
}
/
(2
mc
)
—
магнетон Бора
. Для электрона
µ
B
= 9
,
27
·
10
−
24
Дж/Тл. Таким образом, проекция магнитного момента в ато-
ме
квантуется
. Она может принимать только те значения, которые
кратны магнетону Бора:
M
z
=
−
µ
B
m
l
,
(2.92)
где
m
— магнитное квантовое число. Другими словами, магнетон Бо-
ра — это квант магнитного момента микроскопической системы. Имен-
но это квантование магнитного (и соответственно — орбитального) мо-
мента атома и наблюдалось в опытах Штерна – Герлаха. Обратим вни-
мание, что выражение (2.92)
не зависит от вида радиальной функции
81
Рис. 2.10.
и определяется только магнитным квантовым числом
, поэтому оно
справедливо для любой заряженной частицы, приведенной в состояние
с
определенным значением
L
z
, в частности, для связанного состояния
электрона в любом центральном потенциале
V
(
r
)
.
Величина
M
z
L
z
=
−
e
2
mc
(2.93)
не зависит от магнитного квантового числа и называется
гиромагнит-
ным отношением
. Оно определяется только массой и зарядом частицы
и такое же, как отношение магнитного момента к моменту импульса за-
ряженной частицы в классической электродинамике.
Строго говоря, формула (2.92) справедлива
только для бесспиновых
ча-
стиц, к которым электрон
не относится
. Тем не менее, эта формула дает
верное значение
разности
между соседними квантованными значениями
M
z
как для частиц со спином, так и без спина.
82
Глава 3.
Теория представлений
В предыдущих разделах мы использовали для математического
описания квантовых состояний волновые функции, аргументом кото-
рых является набор обобщенных координат, а физическим величинам
сопоставлялись операторы, действующие на эти же обобщенные коор-
динаты. Данный способ математического изображения квантовых со-
стояний и операторов физических величин, называемый иначе
пред-
ставлением
, не является единственно возможным. В данной главе мы
познакомимся с другими представлениями, наиболее часто используе-
мыми в квантовой теории, а также с дираковским формализмом и так
называемыми унитарными преобразованиями.
3.1.
Различные представления волновой функции
Задание волновой функции
Ψ
a
(
r
)
в конфигурационном простран-
стве (координата
r
в аргументе
Ψ
a
(
r
)
) не является единственным ма-
тематическим способом «изображения» данного квантового состояния
«
a
» микросистемы. Фактически для
данного
состояния существенным
является лишь набор квантовых чисел «
a
» («индекс состояния»), ха-
рактеризующих данное состояние. Вместо использования зависящей от
координат волновой функции
Ψ
a
(
r
)
абсолютно ту же самую информа-
цию о квантовом состоянии системы («
a
») можно получить, зная набор
коэффициентов
c
a
(
G
n
)
разложения
Ψ
a
(
r
)
Ψ
a
(
r
) =
X
n
c
a
(
G
n
)Φ
G
n
(
r
)
(3.1)
по
полной
системе собственных функций
Φ
G
n
(
r
)
любого
эрмитова опе-
ратора
ˆ
G
(
ˆ
G
Φ
G
n
=
G
n
Φ
G
n
), действующего в
том же пространстве
, в
котором определены функции
Ψ
a
(
r
)
. Это очевидно из того, что меж-
ду
Ψ
a
(
r
)
и набором коэффициентов
c
a
(
G
n
)
существует взаимно одно-
значное соответствие: задание
c
a
(
G
n
)
однозначно определяет
Ψ
a
(
r
)
по
формуле (3.1), а знание
Ψ
a
(
r
)
позволяет найти
все
c
a
(
G
n
)
:
c
a
(
G
n
) =
Z
Φ
∗
G
n
(
r
)Ψ
a
(
r
) d
3
r.
(3.2)
83
Упорядоченный набор
c
a
(
G
n
)
называется волновой функцией состо-
яния «
a
» в
G
-
представлении
. Для наглядности его удобно изобразить
в виде столбца:
c
a
(
G
) =
c
a
(
G
1
)
c
a
(
G
2
)
..
.
.
(3.3)
Величина
|
c
a
(
G
n
)
|
2
(т. е. квадрат модуля волновой функции в
G
-
представлении) дает распределение вероятностей различных значений
величины
G
в состоянии, характеризуемом набором квантовых чисел
«
a
» (напомним, что квадрат модуля волновой функции в координат-
ном (
r
-) представлении дает распределение вероятностей различных
значений координат в состоянии «
a
», т. е. аргумента волновой функции
Ψ
a
(
r
)
, который в теории представлений называется индексом представ-
ления).
Отметим, что все вышесказанное справедливо для оператора
ˆ
G
как
с дискретным, так и с непрерывным спектром. В последнем случае
G
n
является непрерывной величиной, а суммирование в (3.1) заменяется
интегрированием:
Ψ
a
(
r
) =
Z
c
a
(
G
)Φ
G
(
r
) d
G
;
(3.4)
c
a
(
G
) =
Z
Φ
∗
G
(
r
)Ψ
a
(
r
) d
3
r.
(3.5)
Рассмотрим теперь частный случай, когда
Ψ
a
(
r
)
cовпадает с одной
из собственных функций оператора
ˆ
G
, например,
Φ
G
m
(
r
)
. Тогда из (3.2)
cледует, что
c
a
(
G
n
) =
Z
Φ
∗
G
n
(
r
)Φ
G
m
(
r
) d
3
r
=
δ
G
n
G
m
=
δ
nm
.
(3.6)
Таким образом, собственная функция оператора
ˆ
G
в
G
-представлении
имеет вид
δ
-символа (для дискретного спектра) или
δ
-функции (для
непрерывного спектра).
Описание состояния с помощью
Ψ
a
(
r
)
называется
координатным
представлением
(или
r
-представлением). Если в качестве операто-
ра
ˆ
G
используется оператор импульса
ˆ
p
, преобразование (3.2) дает
волновую функцию состояния «
a
» в
импульсном представлении
(
p
-
представлении). Напомним, что спектр оператора
p
вещественный и
непрерывный, а произвольному собственному значению
p
соответству-
ет собственная функция
84
Φ
p
(
r
) =
1
(2
π
}
)
3
/
2
exp
i
}
pr
.
(3.7)
Подставляя (3.7) в (3.5), получим формулу перехода от координатного
представления к импульсному:
c
a
(
p
) =
Z
Φ
∗
p
(
r
)Ψ
a
(
r
) d
3
r
=
1
(2
π
}
)
3
/
2
Z
exp
−
i
}
pr
Ψ
a
(
r
) d
3
r.
(3.8)
Аргумент
p
этой функции является уже непрерывной независимой пе-
ременной (в отличие от заданного значения импульса
p
в функции
(3.7)). Видно, что переход от координатного представления к импульс-
ному является, по сути дела, известным преобразованием Фурье вол-
новой функции.
Если оператором
ˆ
G
является гамильтониан
ˆ
H
(предполагается, что
он не зависит от времени), то преобразование (3.2) дает
энергетическое
представление
волновой функции (
E
-представление).
3.2.
Дираковский формализм
Наряду с ранее использованным обозначением волновой функции
Ψ
a
(
r
)
в координатном представлении нередко используется введенное
Дираком скобочное обозначение:
Ψ
a
(
r
) =
h
r
|
a
i
.
(3.9)
Поясним смысл обозначения (3.9). Согласно Дираку, любое состоя-
ние «
a
» квантовой системы можно описать (независимо от выбора пред-
ставления) некоторой математической конструкцией, которая называ-
ется «
кет
»-вектором и обозначается символом
|
a
i
. Вследствие прин-
ципа суперпозиции «кет»-векторы можно складывать и умножать на
комплексные скалярные величины и получать новые «кет»-векторы.
Совокупность всех возможных «кет»-векторов образует абстрактное
комплексное векторное пространство бесконечного числа измерений,
которое называется
гильбертовым пространством
.
Каждому «кет»-вектору можно сопоставить так называемый дуаль-
ный вектор «бра», который обозначается символом
h
a
|
и связан с «кет»-
вектором операцией эрмитова сопряжения:
h
a
|
=
|
a
i
†
. Поэтому любое
состояние квантовой системы можно описать как «кет»-вектором, так и
соответствующим ему «бра»-вектором. «Кет»- и «бра»-векторы имеют
различную математическую природу (как, например, строка и столбец)
85