ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 952
Скачиваний: 1
обобщенных импульсов). Как правило, для обозначения оператора ис-
пользуется та же буква, что и для соответствующей физической ве-
личины, но только со шляпкой, например, импульсу
p
соответствует
оператор импульса
ˆ
p
.
С математической точки зрения оператор представляет собой некий
способ перехода от одной волновой функции к другой.
Задать
опера-
тор означает
указать
такой способ. Запись
ˆ
F
Ψ(
ξ
)
означает
действие
оператора
ˆ
F
на функцию
Ψ(
ξ
)
, которое в общем случае не сводится к
обычному умножению.
Результатом действия оператора на функцию
будет новая функция
:
Φ = ˆ
F
Ψ
.
(1.30)
Так, например, действие оператора координаты на функцию сводится к
ее обычному умножению на координату:
ˆ
r
Ψ(
r
) =
r
Ψ(
r
)
, в то время как
действие оператора импульса представляет собой дифференцирование:
ˆ
p
Ψ(
r
) =
−
i
}
∇
Ψ(
r
)
.
В соответствии с определениями оператора (1.30) и скалярного про-
изведения в
L
2
(1.10), формулу (1.29) можно переписать в дираковских
обозначениях:
h
F
i
=
h
Ψ
|
ˆ
F
|
Ψ
i
.
(1.31)
Оператор всегда задается на определенном множестве (классе)
функций
. Как правило, это функции из
L
2
, удовлетворяющие стандарт-
ным условиям. Дополнительные требования к классу функций дикту-
ются постановкой конкретной задачи.
Введем правила математических действий над операторами, пред-
полагая, что эти операторы заданы на определенном классе функций.
Алгебра операторов
1
◦
. Операторное равенство
ˆ
F
= ˆ
G
.
Операторы
ˆ
F
и
ˆ
G
равны друг
другу, если при их действии на одну и ту же
произвольную
функцию
4
Ψ(
ξ
)
получаются одинаковые функции:
ˆ
F
Ψ(
x
) = ˆ
G
Ψ(
ξ
)
.
Требование произвольности функции
Ψ(
ξ
)
существенно!
В каче-
стве предостережения рассмотрим действие операторов
ˆ
F
1
=
−
ξ
и
ˆ
F
2
=
d
d
ξ
на функцию
e
−
ξ
2
/
2
. Совпадение результатов
не означает
ра-
венства
d
d
ξ
=
−
ξ
, поскольку оно выполняется
не для произвольной
функции.
4
Из класса, на котором определены рассматриваемые операторы — здесь и далее.
21
2
◦
. Нулевой оператор
ˆ0
.
Оператор называется нулевым, если при
его действии на
произвольную
функцию
Ψ(
ξ
)
результатом является
тождественный нуль:
ˆ0Ψ(
ξ
)
def
≡
0
.
Шляпка над нулевым оператором, как правило, не ставится. Вместо
этого пишется число нуль. Здесь и далее символ «def» подчеркивает,
что приведенное равенство является определением.
3
◦
. Единичный оператор
ˆ1
.
Оператор называется единичным,
если его действие на
произвольную
функцию
Ψ(
ξ
)
не изменяет послед-
нюю:
ˆ1Ψ(
ξ
)
def
= Ψ(
ξ
)
.
Шляпка над единичным оператором тоже, как правило, не ставится.
Вместо этого пишется число единица.
4
◦
. Умножение оператора на константу:
α
ˆ
F
.
При умножении
оператора на константу получается новый оператор, действие которого
на
произвольную
функцию
Ψ(
ξ
)
задается правилом:
(
α
ˆ
F
)Ψ(
ξ
)
def
=
α
[ ˆ
F
Ψ(
ξ
)]
.
5
◦
. Сумма операторов:
ˆ
F
+ ˆ
G
.
Суммой операторов
ˆ
F
и
ˆ
G
на-
зывается оператор, действие которого на
произвольную
функцию
Ψ
заключается в действии на нее каждого оператора по отдельности с
последующим сложением результатов:
( ˆ
F
+ ˆ
G
)Ψ
def
= ( ˆ
F
Ψ) + ( ˆ
G
Ψ)
.
Поскольку сумма функций не зависит от порядка следования слагае-
мых,
сумма операторов тоже не зависит от порядка следования сла-
гаемых
. Иными словами,
сумма операторов подчиняется «перемести-
тельному закону»
:
ˆ
F
+ ˆ
G
= ˆ
G
+ ˆ
F .
(1.32)
6
◦
. Произведение операторов:
ˆ
F
ˆ
G
.
Произведением операторов
ˆ
F
и
ˆ
G
называется оператор, действие которого на
произвольную
функ-
цию
Ψ
заключается в последовательном действии на нее сначала опе-
ратора
ˆ
G
, а затем
ˆ
F
:
( ˆ
F
ˆ
G
)Ψ
def
= ˆ
F
( ˆ
G
Ψ)
.
В отличие от суммы произведение операторов в общем случае
зависит
от порядка следования сомножителей
:
ˆ
F
ˆ
G
6
= ˆ
G
ˆ
F ,
22
т. е. в общем случае
произведение операторов некоммутативно
. Если
все же имеет место равенство между произведениями
ˆ
F
ˆ
G
и
ˆ
G
ˆ
F
, то
операторы
ˆ
F
и
ˆ
G
называют
коммутирующими
.
В квантовой механике оказывается удобным ввести специальную
конструкцию, построенную из произведений операторов, —
коммута-
тор
:
[ ˆ
F ,
ˆ
G
] = ˆ
F
ˆ
G
−
ˆ
G
ˆ
F .
(1.33)
Очевидно, что в случае коммутирующих операторов он становится ну-
левым оператором.
Также вводится
антикоммутатор
:
{
ˆ
F ,
ˆ
G
}
= ˆ
F
ˆ
G
+ ˆ
G
ˆ
F .
(1.34)
Для антикоммутатора иногда используется обозначение
[ ˆ
F ,
ˆ
G
]
+
.
Таким образом, при аналитических действиях с операторами
всегда
необходимо следить за порядком следования сомножителей в произ-
ведениях
. Если возникает необходимость изменения порядка сомножи-
телей, то необходимо учитывать коммутационное соотношение между
операторами.
7
◦
. Обратный оператор:
ˆ
F
−
1
.
Оператором, обратным к
ˆ
F
, будем
называть такой оператор
ˆ
F
−
1
, для которого выполняется соотношение:
ˆ
F
−
1
ˆ
F
def
= ˆ
F
ˆ
F
−
1
def
= ˆ1
.
В соответствии с некоммутативностью произведения укажем на некор-
ректность записей типа
ˆ
F
ˆ
G
. Необходимо использовать обратный опера-
тор:
ˆ
F
ˆ
G
−
1
либо
ˆ
G
−
1
ˆ
F
(при этом могут получиться различные резуль-
таты).
8
◦
. Целая положительная степень оператора:
ˆ
F
n
.
Это
n
-
кратное перемножение оператора
ˆ
F
на себя:
ˆ
F
n
def
= ˆ
F
·
. . .
·
ˆ
F
|
{z
}
n
раз
.
9
◦
. Функция от оператора.
Если функция
f
(
z
)
допускает разло-
жение в ряд Тейлора в окрестности нуля
f
(
z
) =
∞
X
n
=0
c
n
z
n
,
23
то, заменив в правой части
z
на некоторый оператор
ˆ
F
, получим опера-
торную функцию
ˆ
f
( ˆ
F
)
, которая является оператором, действие кото-
рого на произвольную функцию
Ψ
определяется следующим образом:
ˆ
f
( ˆ
F
)Ψ
def
=
∞
X
n
=0
c
n
ˆ
F
n
Ψ
.
Отметим, что после вычисления действия оператора
ˆ
F
n
на
Ψ
ряд в пра-
вой части уже может не суммироваться в аналитическом виде. Функция
от оператора уже встречалась ранее (см. (1.27)). Здесь мы разъяснили
смысл этой конструкции.
Эрмитово сопряжение операторов
Введем операцию
эрмитова сопряжения
для операторов.
Оператор
ˆ
F
†
называется
эрмитово сопряженным
по отношению к
ˆ
F
, если оба оператора заданы на одном и том же классе функций и
для
произвольных
функций
Φ(
ξ
)
и
Ψ(
ξ
)
из этого класса выполняется
равенство следующих скалярных произведений:
h
ˆ
F
Φ
|
Ψ
i
=
h
Φ
|
ˆ
F
†
Ψ
i
,
(1.35)
то есть скалярное произведение функции
ˆ
F
Φ
на
Ψ
равно скалярному
произведению функции
Φ
(на которую уже не действует оператор
ˆ
F
) на
функцию
ˆ
F
†
Ψ
, получаемую из
Ψ
действием некоторого оператора
ˆ
F
†
,
который и называется эрмитово сопряженным к
ˆ
F
. Учитывая свойство
(1.12) скалярного произведения (с функцией
Φ
, замененной на
ˆ
F
Φ
) и
вводя обозначение
h
Ψ
|
ˆ
F
Φ
i ≡ h
Ψ
|
ˆ
F
|
Φ
i
, определение (1.35) можно пере-
писать в следующем виде:
h
Φ
|
ˆ
F
†
|
Ψ
i
def
=
h
Ψ
|
ˆ
F
|
Φ
i
∗
.
(1.36)
Конструкция
h
Φ
|
ˆ
G
|
Ψ
i
называется
матричным элементом
оператора
ˆ
G
между состояниями
|
Ψ
i
и
|
Φ
i
, которые иногда называются «обклад-
ками». «Обкладки» являются аналогом матричных индексов. Опреде-
ление (1.36) соответствует определению эрмитово сопряженной матри-
цы
(
{
a
∗
mn
}
)
к матрице
{
a
nm
}
. В интегральной форме определение (1.36)
имеет следующий вид:
Z
Φ
∗
(
ξ
) ˆ
F
†
Ψ(
ξ
) d
ξ
def
=
Z
Ψ(
ξ
) ˆ
F
∗
Φ
∗
(
ξ
) d
ξ.
(1.37)
Подчеркнем, что все три записи определения оператора
ˆ
F
†
, эрмитово
сопряженного к
ˆ
F
, являются эквивалентными.
24
Легко показать, что эрмитово сопряжение произведения операторов
изменяет порядок следования сомножителей на обратный
:
( ˆ
F
ˆ
G
)
†
= ˆ
G
†
ˆ
F
†
.
(1.38)
Действительно:
h
ˆ
F
ˆ
G
Φ
|
Ψ
i
=
h
ˆ
G
Φ
|
ˆ
F
†
Ψ
i
=
h
Φ
|
ˆ
G
†
ˆ
F
†
Ψ
i
.
(1.39)
Оператор называется
самосопряженным
, или
эрмитовым
, если он
совпадает со своим эрмитовым сопряжением:
ˆ
F
†
def
= ˆ
F .
(1.40)
Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на
основе (1.37), (1.40):
Z
Φ
∗
(
ξ
) ˆ
F
Ψ(
ξ
) d
ξ
def
=
Z
Ψ(
ξ
) ˆ
F
∗
Φ
∗
(
ξ
) d
ξ,
(1.41)
а также в дираковских обозначениях (1.36):
h
Φ
|
ˆ
F
|
Ψ
i
def
=
h
Ψ
|
ˆ
F
|
Φ
i
∗
.
(1.42)
Определение (1.42) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми мат-
рицами.
На основании (1.38) можно заключить, что для эрмитовых опера-
торов
ˆ
F
и
ˆ
G
( ˆ
F
ˆ
G
)
†
= ˆ
G
ˆ
F ,
т. е.
произведение эрмитовых операторов будет самосопряженным
только в случае их коммутации
. Коммутатор и антикоммутатор эрми-
товых операторов будут соответственно антиэрмитовым и эрмитовым:
[ ˆ
F ,
ˆ
G
]
†
=
−
[ ˆ
F ,
ˆ
G
];
{
ˆ
F ,
ˆ
G
}
†
=
{
ˆ
F ,
ˆ
G
}
.
(1.43)
Оператор
ˆ
U
называется
унитарным
, если его эрмитово сопряжение
совпадает с обратным оператором:
ˆ
U
−
1 def
= ˆ
U
†
.
(1.44)
25