ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 676
Скачиваний: 5
2.22.
Шар радиуса
R
однородно заряжен с объемной плотностью
ρ
. Ис-
пользуя максвелловский тензор натяжений, найти силу
F
, разрывающую
шар на две равные половины. Подтвердить полученный результат незави-
симым вычислением с использованием формулы
F
=
Z
ρ
E
dV
, где
E
— на-
пряженность электрического поля шара.
Ответ:
F
=
3
Q
2
16
R
2
.
Рекомендуемая литература: [1], гл.I; [2], гл.II; [3], гл.2; [4], гл.3, 4.
3. Постоянное магнитное поле
Постоянное магнитное поле в вакууме создается постоянными токами.
Распределение токов в пространстве характеризуется объемной плотностью
j
(
r
)
, а на поверхности — поверхностной плотностью
i
(
r
)
. Кроме того, в про-
странстве может быть задан линейный ток
J
, текущий по очень тонкому
длинному проводнику.
Индукция постоянного магнитного поля
B
удовлетворяет уравнениям
Максвелла
div
B
= 0
,
(3.1)
rot
B
=
4
π
c
j
:
.
(3.2)
Интегральная форма второго из них
I
L
B
d
l
=
4
π
c
Z
S
j
d
S
(3.3)
называется теоремой о циркуляции магнитной индукции или законом Ампе-
ра. Поверхностный интеграл в правой части
J
=
Z
S
j
d
S
(3.4)
дает полный ток
J
через поверхность
S
, опирающуюся на контур
L
. Теорема
о циркуляции наиболее просто позволяет найти индукцию магнитного поля,
когда распределение тока обладает аксиальной симметрией или симметрией
относительно плоскости.
От двух уравнений первого порядка (3.1), (3.2) удобно перейти к одному
уравнению второго порядка на векторный потенциал
A
, который определя-
ется соотношением
B
= rot
A
.
(3.5)
36
Векторный потенциал определен неоднозначно, так как индукция
B
не
меняется, если перейти к другому векторному потенциалу при помощи пре-
образования
A
0
=
A
+ grad
χ,
(3.6)
где
χ
=
χ
(
r
)
— произвольная функция. Пользуясь неоднозначностью в вы-
боре векторного потенциала, на него накладывают дополнительное условие
div
A
= 0
.
(3.7)
В этом случае векторный потенциал магнитного поля удовлетворяет уравне-
нию Пуассона
∆
A
=
−
4
π
c
j
.
(3.8)
Согласно (3.8), (3.5) векторный потенциал и магнитная индукция поля
объемных токов представляются объемными интегралами
A
(
r
) =
1
c
Z
j
(
r
0
)
dV
0
|
r
−
r
0
|
,
(3.9)
B
(
r
) =
1
c
Z
[
j
(
r
0
)
,
r
−
r
0
]
|
r
−
r
0
|
3
dV
0
.
(3.10)
Формулу (3.10) можно получить также из закона Био===Савара и принципа
суперпозиции.
В случае линейного тока величины
A
и
B
получаются из выражений
(3.9), (3.10) с помощью замены
j
(
r
0
)
dV
0
→
Jd
l
0
,
(3.11)
которая преобразует объемные интегралы (3.9), (3.10) в криволинейные. Ана-
логично, для поверхностных токов в интегралах (3.9), (3.10) следует сделать
замену
j
(
r
0
)
dV
0
→
i
(
r
0
)
dS
0
.
(3.12)
На больших расстояниях
r
от ограниченной области, в которой текут
токи, векторный потенциал и индукция магнитного поля принимают вид
A
(
r
) =
[
Mr
]
r
3
,
(3.13)
B
(
r
) =
3(
Mr
)
r
r
5
−
M
r
3
,
(3.14)
где
M
— магнитный момент системы. В случае объемных токов
M
=
1
2
c
Z
[
rj
(
r
)]
V .
(3.15)
37
В случае плоского контура магнитный момент определяется произведением
тока
J
на площадь контура
S
(т.е. не зависит от формы контура) и направлен
по нормали к плоскости контура
n
:
M
=
J
c
S
n
.
(3.16)
Энергию магнитного поля
U
=
1
8
π
Z
B
2
dV
(3.17)
можно также вычислить по формуле
U
=
1
2
c
Z
jA
dV.
(3.18)
Сила
F
, приложенная к объемному току во внешнем магнитном поле с
индукцией
B
, имеет вид
F
=
1
c
Z
[
jB
]
dV,
(3.19)
а магнитная энергия взаимодействия указанного тока с внешним магнитным
полем выражается через векторный потенциал
A
этого поля
U
=
1
c
Z
jA
dV.
(3.20)
Если индукция
B
внешнего магнитного поля мало меняется на протяже-
нии области пространства, где текут токи, то энергия взаимодействия (3.20)
выражается через магнитный момент
M
токов
U
=
MB
.
(3.21)
Физическая величина
MB
в магнитостатике не является потенциальной энер-
гией. В связи с этим вводят в рассмотрение потенциальную функцию
V
, ко-
торая оказывается равной
−
MB
. Потенциальная функция позволяет пред-
ставить силу, приложенную к магнитному моменту во внешнем магнитном
поле в обычной форме
F
=
−
grad
V
. Таким образом, в квазиоднородном
внешнем поле
B
на магнитный момент действует сила
F
=
∇
(
MB
)
(3.22)
и момент сил
K
= [
MB
]
.
(3.23)
38
Суммарную объемную силу (3.19) можно заменить системой поверхност-
ных сил, приложенных к поверхности объема
V
, внутри которого текут токи
с объемной плотностью
j
,
F
α
=
1
c
Z
V
[
jB
]
α
dV
=
I
S
T
αβ
n
β
dS,
(3.24)
где
n
— орт внешней нормали замкнутой поверхности
S
, ограничивающей
объем
V
, а
T
αβ
— максвелловский тензор натяжений:
T
αβ
=
1
4
π
µ
B
α
B
β
−
1
2
B
2
δ
αβ
¶
.
(3.25)
Примеры решения задач
Задача 1.
По бесконечному цилиндру радиуса
R
параллельно его оси те-
чет однородный ток с объемной плотностью
j
. Найти индукцию магнит-
ного поля внутри и снаружи цилиндра.
Наиболее просто задача решается с помощью теоремы о циркуляции. Из
симметрии системы следует, что вектор индукции
B
в произвольной точке
направлен по касательной к окружности с центром на оси цилиндра и плоско-
стью, ортогональной оси. Величина вектора
B
зависит только от расстояния
r
до оси цилиндра. Выбирая окружность радиуса
r
в качестве контура для
теоремы о циркуляции (3.3), при
r > R
получим
B
·
2
πr
=
4
π
c
jπR
2
. Аналогич-
но при
r < R
имеем
B
·
2
πr
=
4
π
c
jπr
2
. Из этих равенств находим магнитную
индукцию:
B
=
2
πjr
c
при
r
6
R
,
2
πjR
2
cr
при
r > R
.
J
Задача 2.
По плоскости
xy
параллельно оси
y
течет однородный ток с
постоянной плотностью
i
. Найти индукцию магнитного поля.
Магнитная индукция над плоскостью при
z >
0
направлена вдоль оси
x
, а при
z <
0
— противоположно
x
(в этом можно убедиться, рассмотрев
вклад двух линий тока, расположенных симметрично по отношению к данной
точке). Выберем прямоугольный контур, одна сторона которого проходит над
плоскостью в направлении
x
, а другая — симметрично ей под плоскостью.
Из теоремы о циркуляции получим:
2
Bl
=
4
π
c
il
, т.е.
B
=
2
πi
c
.
J
39
Задача 3.
Заряд
Q
однородно заполняет объем шара радиуса
R
. Найти
магнитную индукцию
B
в центре шара, если последний вращается вокруг
своего диаметра с постоянной угловой скоростью
ω
.
Поместим начало координат в центр шара и направим ось
z
вдоль вектора
ω
. Согласно (3.10) магнитная индукция в центре шара дается выражением
B
(0) =
1
c
Z
[
r j
(
r
)]
r
3
dV,
где штрих у переменной интегрирования опущен. В результате вращения
внутри шара имеется ток с объемной плотностью
j
(
r
) =
ρ
v
=
ρ
[
ω
r
]
, где
ρ
=
3
Q
4
πR
3
. Раскрывая двойное векторное произведение, получаем
B
(0) =
1
c
Z
ρ
r
2
ω
−
(
ω
r
)
r
r
3
dV.
Вектор
B
(0)
не имеет проекций на оси
x
и
y
(проверьте!) и может быть
представлен как
B
(0) =
ω
c
Z
ρ
(1
−
cos
2
θ
)
r
dV.
Полученная формула справедлива для любого тела вращения, внутри кото-
рого распределен заряд с объемной плотностью
ρ
=
ρ
(
r, θ
)
. Вычисляя объ-
емный интеграл в сферических координатах для равномерно заряженного
шара
B
(0) =
ρ
ω
c
R
Z
0
rdr
π
Z
0
(1
−
cos
2
θ
) sin
θdθ
2
π
Z
0
dϕ,
находим
B
(0) =
Q
ω
cR
.
J
Задача 4.
В сферических координатах компоненты вектора
j
средней
объемной плотности орбитального тока, текущего в возбужденном атоме
водорода, равны
j
r
=
j
θ
= 0
,
j
ϕ
=
1
2
·
3
8
e
~
πma
7
r
3
e
−
2
r
3
a
sin
3
θ,
где
a
— боровский радиус,
~
— постоянная Планка,
m
и
e
— масса и за-
ряд электрона, а
r
— расстояние до протона. Орбитальный ток создает в
пространстве магнитное поле. Найти индукцию этого поля в начале коор-
динат.
40