ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 677
Скачиваний: 5
равный отношению площади сферы
S
= 4
πr
2
к квадрату радиуса.
В
цилиндрической системе координат
(ц.с.к.) положение точки
M
в про-
странстве задается её декартовой координатой
z
и полярными координатами
1
(
ρ, ϕ
)
её проекции на плоскость
xy
. Из рис. 5 видно, что декартовы коорди-
наты точки
M
выражаются через цилиндрические по формулам
z
x
y
M
M
O
f
1
r
r
z
Рис. 5
x
=
ρ
cos
ϕ,
y
=
ρ
sin
ϕ,
z
=
z.
(1.21)
Если точка
M
может занимать любое положение в про-
странстве, то её цилиндрические координаты меняются
в пределах
0
6
ρ <
∞
,
0
6
ϕ <
2
π,
−∞
< z <
∞
.
(1.22)
Рассмотрим область, ограниченную двумя цилиндри-
ческими поверхностями радиусов
ρ
и
ρ
+
dρ
, двумя го-
ризонтальными плоскостями, лежащими на уровнях
z
и
z
+
dz
, и двумя
плоскостями, проходящими через ось
z
и составляющими с осью
x
углы
ϕ
и
ϕ
+
dϕ
. Эту область можно считать прямоугольным параллелепипедом с
ребрами
dρ
,
dz
и
ρdϕ
(рис. 6), объем которого равен
dV
=
ρdρdϕdz.
(1.23)
Если выделить на боковой поверхности цилиндра радиуса
ρ
малый прямо-
угольник между двумя парами координатных линий, то его площадь будет
равна
dS
=
ρdϕdz.
(1.24)
Формулы для элементов объема (1.17), (1.23) и площади (1.18), (1.24)
в сферических и цилиндрических координатах необходимы при вычислении
объемных и поверхностных интегралов в этих системах координат.
Задача 7.
Заряд распределен по объему шара ради-
f
r
f
d
d
r
d
z
z
x
y
Рис. 6
уса
R
с плотностью
ρ
=
ρ
0
(
r/R
)
2
sin
θ
cos
2
ϕ
, где
r, θ, ϕ
— координаты с.с.к. с началом в центре шара. Найти
полный заряд шара.
Вычисляя в с.с.к. объемный интеграл
Z
ρ
(
r
)
dV
, че-
рез который выражается полный заряд
Q
шара, получа-
ем
Q
=
ρ
0
R
2
R
Z
0
r
4
dr
π
Z
0
sin
2
θdθ
2
π
Z
0
cos
2
ϕdϕ
=
π
2
10
ρ
0
R
3
.
J
1
В разделах 2, 3 цилиндрические координаты
ρ
и
ϕ
в ряде случаев обозначаются как
r
и
α
.
16
Задача 8.
Заряд распределен по боковой поверхности цилиндра радиусом
R
и высотой
2
h
с плотностью
σ
=
σ
0
cos
2
ϕ
|
z
|
/h
, где
ϕ, z
– координаты
ц.с.к. с началом в центре цилиндра. Найти полный заряд цилиндра.
Интегрируя по боковой поверхности в ц.с.к., находим
Q
=
Z
σdS
=
σ
0
R
h
2
π
Z
0
cos
2
ϕdϕ
h
Z
−
h
|
z
|
dz
=
π
2
σ
0
Rh.
J
Дифференциальные операции в криволиней-
z
x
y
Q
f
e
Q
e
r
e
f
Рис. 7
ных координатах.
Такие величины как градиент, ди-
вергенция, ротор во многих случаях полезно записывать
в тех или иных криволинейных системах координат. Най-
дем выражения для них в с.с.к. и ц.с.к. из простых гео-
метрических соображений.
В с.с.к. градиент функции
f
может быть разложен по
базисным векторам
e
r
,
e
θ
,
e
ϕ
(рис. 7). Проекция
grad
f
на
некоторое направление совпадает с производной
f
по этому направлению (см.
(1.4)), следовательно, чтобы вычислить компоненты вектора
grad
f
в базисе
e
r
,
e
θ
,
e
ϕ
, нужно вычислить производные
f
по направлениям, определяемым
этими векторами:
(grad
f
·
e
i
) =
∂f
∂l
i
.
Поскольку при малых перемещениях вдоль базисных векторов с.с.к.
dl
r
=
dr,
dl
θ
=
rdθ,
dl
ϕ
=
r
sin
θdϕ
(см. рис. 4), то
grad
f
=
∂f
∂r
e
r
+
1
r
∂f
∂θ
e
θ
+
1
r
sin
θ
∂f
∂ϕ
e
ϕ
.
(1.25)
В ц.с.к. величины бесконечно малых перемещений вдоль
z
x
y
f
e
r
e
z
e
f
Рис. 8
базисных векторов
e
ρ
,
e
ϕ
,
e
z
(рис. 8) равны (см. рис. 6)
dl
ρ
=
dρ,
dl
ϕ
=
ρdϕ,
dl
z
=
dz,
таким образом, в цилиндрических координатах градиент
записывается как
grad
f
=
∂f
∂ρ
e
ρ
+
1
ρ
∂f
∂ϕ
e
ϕ
+
∂f
∂z
e
z
.
(1.26)
Расчет дивергенции и ротора в криволинейных координатах основан на
их инвариантных определениях (1.7), (1.12). Рассмотрим элемент объема в
17
с.с.к. (рис. 4) и подсчитаем поток через его поверхность. Запишем векторное
поле в виде
a
=
a
r
e
r
+
a
θ
e
θ
+
a
ϕ
e
ϕ
и вычислим сначала поток вектора
a
через элементы сфер радиусов
r
+
dr
и
r
:
a
r
(
r
+
dr, θ, ϕ
)
·
(
r
+
dr
)
2
sin
θdθdϕ
−
a
r
(
r, θ, ϕ
)
·
r
2
sin
θdθdϕ
≈
∂
(
r
2
a
r
)
∂r
1
r
2
dV.
Здесь
θ, ϕ
— значения
θ
и
ϕ
в некоторой точке соответствующей грани,
dV
=
r
2
dr
sin
θdθdϕ
, знак «минус» возникает потому, что нормаль имеет
противоположные направления на противоположных гранях. Точно так же
вычисляется поток еще через две пары параллельных граней:
a
θ
(
r, θ
+
dθ, ϕ
)
·
[
dr
·
r
sin (
θ
+
dθ
)
dϕ
]
−
a
θ
(
r, θ, ϕ
)
·
[
dr
·
r
sin
θdϕ
]
≈
∂
(sin
θa
θ
)
∂θ
1
r
sin
θ
dV
и
a
ϕ
(
r, θ, ϕ
+
dϕ
)
·
[
dr
·
rdθ
]
−
a
ϕ
(
r, θ, ϕ
)
·
[
dr
·
rdθ
]
≈
∂a
ϕ
∂ϕ
1
r
sin
θ
dV.
Складывая все три величины и деля на
dV
, находим выражение для дивер-
генции в сферических координатах:
div
a
=
1
r
2
∂
(
r
2
a
r
)
∂r
+
1
r
sin
θ
∂
(sin
θ a
θ
)
∂θ
+
1
r
sin
θ
∂a
ϕ
∂ϕ
.
(1.27)
Из инвариантного определения ротора (1.12) следует, что для определе-
ния компонент
rot
a
в точке
M
в некоторой системе координат требуется
вычислить циркуляцию
a
по трем контурам, ограничивающим бесконечно
малые плоские площадки, включающие точку
M
и перпендикулярные ба-
зисным векторам, проведенным из этой точки. Вычислим циркуляцию
a
по
прямоугольному контуру, ограничивающему нижнюю грань элементарного
элемента объема в ц.с.к. (рис. 6). Поскольку стороны прямоугольника направ-
лены по координатным линиям, а по величине равны
(
ρ
+
dρ
)
dϕ, dρ, ρdϕ, dρ
,
то циркуляция
a
выражается через четыре слагаемых:
a
ϕ
(
ρ
+
dρ, ϕ, z
)(
ρ
+
dρ
)
dϕ
−
a
ρ
(
ρ, ϕ
+
dϕ, z
)
dρ
−
a
ϕ
(
ρ, ϕ, z
)
ρdϕ
+
a
ρ
(
ρ, ϕ, z
)
dρ
≈
≈
·
∂
(
ρa
ϕ
)
∂ρ
−
∂a
ρ
∂ϕ
¸
dρdϕ.
Деля полученное выражение на площадь грани
dS
=
ρdρdϕ
, находим компо-
ненту
rot
a
в направлении базисного вектора
e
z
:
(rot
a
)
z
=
1
ρ
∂
(
ρa
ϕ
)
∂ρ
−
1
ρ
∂a
ρ
∂ϕ
.
(1.28)
18
Аналогично вычисляются две другие компоненты:
(rot
a
)
ρ
=
1
ρ
∂a
z
∂ϕ
−
∂a
ϕ
∂z
,
(1.29)
(rot
a
)
ϕ
=
∂a
r
∂z
−
∂a
z
∂r
.
(1.30)
Точно так же можно найти дивергенцию в цилиндрических и ротор в сфери-
ческих координатах, что предлагается сделать самостоятельно.
Исходя из выражений для
grad
f
и
div
a
, можно найти оператор Лапласа
в криволинейных координатах, вычисляя
∆
f
= div grad
f
.
В с.с.к. оператор
∆
имеет следующий вид:
∆ = ∆
r
+
1
r
2
∆
θϕ
,
(1.31)
где
∆
r
— радиальная, а
1
r
2
∆
θϕ
— угловая часть оператора Лапласа. Посколь-
ку
∆
θϕ
содержит производные по углам
θ, ϕ
, то явное выражение для
∆
r
мож-
но найти, вычисляя результат действия оператора Лапласа на функцию, не
зависящую от угловых переменных.
Задача 9.
Вычислить
∆
f
(
r
)
, где
r
=
|
r
|
=
p
x
2
+
y
2
+
z
2
.
Учитывая, что
∆
f
(
r
) = div grad
f
(
r
) = div
∂f
∂r
r
r
=
r
grad(
r
−
1
∂f /∂r
) +
r
−
1
∂f
∂r
div
r
,
находим
∆
f
(
r
) = ∆
r
f
(
r
) =
∂
2
f
∂r
2
+
2
r
∂f
∂r
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
¶
f .
J
Таким образом,
∆
r
=
1
r
2
∂
∂r
µ
r
2
∂
∂r
¶
.
(1.32)
Полезно иметь в виду, что
∆
f
(
r
)
можно также записать как
∆
f
(
r
) =
1
r
d
2
dr
2
(
rf
(
r
))
.
(1.33)
Задача 10.
Найти результат действия оператора Лапласа на функцию
f
(
ρ
)
, где
ρ
=
p
x
2
+
y
2
.
В декартовых координатах
∆
f
(
ρ
) =
µ
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
¶
f
(
ρ
)
.
19
Вычисляя вторую производную от
f
по
x
,
∂
2
∂x
2
f
=
∂
∂x
µ
x
ρ
∂f
∂ρ
¶
=
x
2
ρ
2
∂
2
f
∂ρ
2
+
1
ρ
∂f
∂ρ
−
x
2
ρ
3
∂f
∂ρ
,
и, аналогично, вторую производную по
y
, находим
∆
f
(
ρ
) =
∂
2
f
∂ρ
2
+
1
ρ
∂f
∂ρ
,
(1.34)
или
∆
f
(
ρ
) =
1
ρ
∂
∂ρ
µ
ρ
∂f
∂ρ
¶
.
J
(1.35)
В справочных целях в приложении приведена полная сводка формул для
градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в сферических и ци-
линдрических координатах.
Задачи для самостоятельного решения
1.25.
Найти выражение для
div
a
в цилиндрических координатах.
1.26.
Найти выражение для
rot
a
в сферических координатах.
1.27.
Вычислить
rot
r
,
div
r
и
grad (
ar
)
(
a
— постоянный вектор) в сфери-
ческой и цилиндрической системах координат.
1.28.
Проверить эквивалентность трех форм для
∆
f
(
r
)
в сферических
координатах:
1
r
2
d
dr
µ
r
2
df
dr
¶
,
1
r
d
2
dr
2
(
rf
)
,
d
2
f
dr
2
+
2
r
df
dr
.
1.29.
Найти результат действия оператора Лапласа на функцию
f
(
ρ
)
(где
ρ
=
p
x
2
+
y
2
), используя выражения для градиента и дивергенции в цилин-
дрических координатах (см. (П.5), (П.6)).
1.30.
Найти сферически симметричное решение уравнения Лапласа
∆
ϕ
= 0
.
1.31.
Найти цилиндрически симметричное решение уравнения Лапласа
∆
ϕ
= 0
.
Рекомендуемая литература: [1], приложение; [2], гл.I; [3], гл.1; [4], гл.1; [5], при-
ложение.
20