ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3449
Скачиваний: 14
§
38. Билинейные и квадратичные формы.
287
3. Докажите, что линейное пространство билинейных форм есть прямая
сумма подпространств симметрических и антисимметрических билиней-
ных форм.
4. Докажите, что каждую билинейную форму ранга
p
можно представить
в виде суммы
p
билинейных форм ранга 1.
5. Найдите матрицу билинейной формы
ϕ
:
R
n
×
R
n
→
R,
если
a
)
ϕ
(
x, y
) =
n
X
i
=1
x
i
y
i
,
b
)
ϕ
(
x, y
) =
X
|
i
−
j
|≤
1
x
i
y
j
,
c
)
ϕ
(
x, y
) =
n
X
i
=1
x
i
!
n
X
j
=1
y
j
!
.
6. Найдите полярную билинейную форму к квадратичной форме
f
:
R
n
→
R
и найдите её матрицу, если
a
)
f
(
x
) =
m
X
k
=1
x
2
k
, m
≤
n,
b
)
f
(
x
) =
n
−
2
X
k
=1
x
k
x
k
+1
.
7. Найдите канонический базис для квадратичной формы
f
:
R
n
→
R
и её
канонический вид, если
а)
f
(
x
) =
−
x
2
1
+
x
1
x
2
−
x
2
2
, n
= 2;
б)
f
(
x
) =
x
2
1
−
2
x
1
x
2
+ 2
x
2
2
−
2
x
2
x
3
+
x
2
3
, n
= 3;
в)
f
(
x
) =
n
−
1
P
i
=1
x
i
x
i
+1
.
8. Приведите следующую пару
f
1
, f
2
:
R
n
→
R
квадратичных форм к сум-
ме квадратов, если
а)
f
1
(
x
) =
x
2
1
+ 2
x
1
x
2
+ 3
x
2
2
, f
2
(
x
) = 4
x
2
1
+ 16
x
1
x
2
+ 6
x
2
2
, n
= 2;
б)
f
1
(
x
) =
x
2
1
+ 2
x
1
x
2
+ 5
x
2
2
, f
2
(
x
) = 2
x
2
1
−
7
/
2
x
1
x
2
−
x
2
2
.
9. При каких значениях параметра
λ
∈
R
данная квадратичная форма
f
:
R
2
→
R
положительно определена или полуопределена, если
288
Глава 3. Линейная алгебра
а)
f
(
x
) =
λx
2
1
−
4
x
1
x
2
+ (
λ
+ 3)
x
2
2
;
б)
f
(
x
) =
−
9
x
2
1
+ 6
λx
1
x
2
−
x
2
2
?
10. Докажите, что введенное в определении 7 отношение на множестве мат-
риц
M atr
n
(
K
)
является отношением эквивалентности.
11. Докажите, что
эквивалентные
самосопряженные
операторы имеют
одинаковую суммарную
алгебраическую
кратность положительных
собственных значений.
12. Докажите, что числа
λ
1
, . . . , λ
n
из формулы (5) являются собственными
значениями оператора
B
−
1
A.
13. Пусть
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
R
)
и квадратичная форма
f
:
R
n
→
R
имеет
вид
f
(
x
) =
n
P
i,j
=1
a
ij
x
i
x
j
.
Найдите её матрицу.
§
39. Ошибки в решениях линейных уравнений
Рассматривается линейное уравнение
Ax
=
b,
(1)
где
A
- обратимый оператор из
L
(
X
)
, X
- линейное конечномерное простран-
ство и
b
∈
X.
Решение этого уравнения единственно и имеет вид
x
0
=
A
−
1
b.
(2)
Однако, если вычисления производятся на компьютере с конечным машин-
ным словом, неизбежны ошибки за счет округления. Более того, даже если
все вычисления были проведены с большой точностью, сам оператор
A
(как,
впрочем, и вектор
b
) мог возникнуть как результат некоторых эксперимен-
тов или некоторых предварительных вычислений, вносящих ошибки. Таким
образом, погрешность могла иметь место в исходной информации, определя-
ющей уравнение (1).
§
39. Ошибки в решениях линейных уравнений
289
Естественным образом возникает задача учета возможных ошибок при
решении уравнения (1). Для их "измерения" будем считать
X
линейным
нормированным пространством и тогда
L
(
X
)
- нормированная алгебра (см.
§
18 и теорему 9 из
§
20).
Лемма 1.
Если
B
∈
L
(
X
)
и
||
B
||
<
1
,
то оператор
I
−
B
обратим и
обратный
(
I
−
B
)
−
1
есть сумма абсолютно сходящегося в
L
(
X
)
ряда
(
I
−
B
)
−
1
=
∞
X
n
−
0
B
n
=
I
+
B
+
B
2
+
· · ·
.
Доказательство.
Из неравенства
||
B
n
|| ≤ ||
B
||
n
, n
≥
1
,
следует аб-
солютная сходимость ряда
∞
P
n
=0
B
n
(в нормированном пространстве
L
(
X
)
) и
поэтому этот ряд сходится (см. теорему 1,
§
34). Пусть
S
- его сумма. Тогда
(
I
−
B
)
S
= (
I
−
B
)
∞
X
k
=0
B
k
= (
I
−
B
) lim
n
→∞
n
X
k
=0
B
k
= lim
n
→∞
n
X
k
=0
B
k
−
n
+1
X
k
=1
B
k
!
=
=
I
−
lim
n
→∞
B
n
+1
=
I.
т.е.
S
= (
I
−
B
)
−
1
.
Лемма доказана.
Т е о р е м а 1.
Пусть оператор
A
∈
L
(
X
)
обратим и оператор
B
∈
L
(
X
)
удовлетворяет условию
||
A
−
1
B
||
<
1
.
Тогда оператор
A
+
B
обра-
тим и
(
A
+
B
)
−
1
=
∞
X
n
−
0
(
−
1)
n
(
A
−
1
B
)
n
A
−
1
,
(3)
причем
||
(
A
+
B
)
−
1
|| ≤
||
A
−
1
||
1
− ||
A
−
1
B
||
≤
||
A
−
1
||
1
− ||
A
−
1
|| ||
B
||
,
||
A
−
1
|| ||
B
||
<
1
.
(4)
Доказательство.
Оператор
A
+
B
представим в виде
A
+
B
=
A
(
I
−
B
0
)
, B
0
=
−
A
−
1
B.
Поскольку
k
B
0
k
<
1
,
то в силу леммы 1 оператор
I
−
B
0
обратим, и по-
этому оператор
A
+
B
является произведением двух обратимых операторов.
290
Глава 3. Линейная алгебра
Тогда
A
+
B
обратим и
(
A
+
B
)
−
1
= (
I
−
B
0
)
−
1
A
−
1
,
т.е. имеет место фор-
мула (3). Оценка (4) следует из неравенства
k
(
A
+
B
)
−
1
k ≤ k
A
−
1
k k
(
I
−
B
0
)
−
1
k ≤ k
A
−
1
k
(1
− k
B
0
k
)
−
1
.
Теорема доказана.
Следствие 1.
k
(
A
+
B
)
−
1
−
A
−
1
k
k
A
−
1
k
≤
k
B
k k
A
−
1
k
1
− k
B
k k
A
−
1
k
=
χ
(
A
)(
k
B
k
/
k
A
k
)
1
−
χ
(
A
)(
k
B
k
/
k
A
k
)
,
k
(
A
+
B
)
−
1
k ≤ k
A
−
1
k
/
(1
− k
B
k k
A
−
1
k
)
,
если выполнено условие
k
B
k k
A
−
1
k
<
1
.
Число
χ
(
A
) =
k
A
k k
A
−
1
k
называется
числом обусловленности
обрати-
мого оператора
A
(
χ
(
B
) =
∞
, если оператор
B
необратим).
Первое неравенство из следствия можно рассматривать как оценку
от-
носительной ошибки
в обратном операторе через относительную ошибку в
исходном операторе, причем относительная ошибка в обратном операторе
имеет одинаковый порядок малости с относительной ошибкой
k
B
k
/
k
A
k
в исходном операторе, если величина
χ
(
A
)
не слишком велика. Отметим, что
χ
(
A
) =
k
A
−
1
k k
A
k ≥ k
A
−
1
A
k
=
k
I
k
= 1
.
Рассмотрим уравнение (1). Вследствие ошибок в вычислениях или неоп-
ределенности начальных данных фактически решается "возмущенное"урав-
нение
(
A
+
B
)˜
x
=
b
+
c.
(˜
1)
Рассмотрим задачу о вычислении ошибки
k
˜
x
0
−
x
0
k
,
где
x
0
- решение уравне-
ния (1) и
˜
x
0
- решение уравнения
(˜
1)
,
при условии, что оператор
B
∈
L
(
X
)
настолько "мал что
k
B
k k
A
−
1
k
<
1
.
Основой для оценок величины
k
˜
x
0
−
x
0
k
служит следующее вытекающее
из теоремы 1 представление вектора
˜
x
0
−
x
0
вида
˜
x
0
−
x
0
= (
A
+
B
)
−
1
(
b
+
c
)
−
A
−
1
b
= [(
A
+
B
)
−
1
−
A
−
1
]
b
+ (
A
+
B
)
−
1
c.
(5)
Т е о р е м а 2.
Имеют место оценки
k
˜
x
0
−
x
0
k ≤
k
B
k k
A
−
1
k
1
− k
B
k k
A
−
1
k
=
k
b
k
+
k
A
−
1
k
1
− k
B
k k
A
−
1
k
k
c
k
,
(6)
§
39. Ошибки в решениях линейных уравнений
291
k
˜
x
0
−
x
0
k
k
x
0
k
≤
χ
(
A
)
1
−
χ
(
A
)(
k
B
k
/
k
A
k
)
k
B
k
k
A
k
+
k
c
k
k
b
k
.
(7)
Доказательство.
Оценка (6) непосредственно следует из равенств (5) и
оценки (4). Относительная погрешность
k
˜
x
0
−
x
0
k
/
k
x
0
k
решения
˜
x
0
,
т.е. оцен-
ка (7) также следует из равенств (5) с учетом неравенства
k
b
k
=
k
AA
−
1
b
k ≤
≤ k
A
k k
A
−
1
b
k
(
k
c
k
/
k
b
k
- относительная погрешность вектора
b
+
c
).
Теперь применим теорему 1 к вопросам оценок собственных значений
операторов и матриц.
Т е о р е м а 3.
Для любого оператора
B
∈
L
(
X
)
имеет место оценка
r
(
B
)
≤ k
B
k
.
Доказательство.
Если
|
λ
|
>
k
B
k
,
то из представления
B
−
λI
=
=
−
λ
I
−
B
λ
и оценки
k
B/λ
k
<
1
следует обратимость оператора
B
−
λI.
Это означает, что
λ
∈
σ
(
B
)
,
т.е.
r
(
B
)
≤ k
B
k
.
Замечание.
Рассмотрим алгебру матриц
M atr
n
(
K
) (
K
=
R
или
K
=
C
)
.
Если
K
n
- линейное нормированное пространство, то
L
(
K
n
)
- нор-
мированная алгебра. Для любой матрицы
A ∈
M atr
n
(
K
)
положим
kAk
=
k
A
k
,
где
A
∈
L
(
K
n
)
имеет матрицу
A
.
Непосредственно из определения нор-
мы в
M atr
n
(
K
)
,
используя изоморфизм алгебр
L
(
K
n
)
и
M atr
n
(
K
)
,
получа-
ем, что
M atr
n
(
K
)
также является нормированной алгеброй. Так, используя
кубическую норму в
K
n
,
в примере 11,
§
18 было получено, что для любой
матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
kAk
= max
1
≤
i
≤
n
n
X
j
=1
|
a
ij
|
.
(8)
Непосредственно из способа доказательства теорем 1 и 3 следует, что её утвер-
ждения верны и для нормированной алгебры
M atr
n
(
K
)
.
Лемма 2.
Если для матрицы
A
= (
a
ij
)
∈
M atr
n
(
K
)
выполнены условия
(
диагонального преобладания
)
|
a
ii
|
>
n
X
j
=1
|
a
ij
|
, i
= 1
, . . . , n,
(9)