ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 793
Скачиваний: 1
В первой строке программы стираются значения всех идентификато-
ров. Инструкции в строках 1 и 2 подавляют вывод предупреждений о
наличии идентификаторов с похожими именами (следует использовать
только после отладки). В строках 4 – 10 задаются численные значения
ключевых параметров задачи. Идентификаторы
L
и
U min
обозначают
полуширину и минимальную энергию потенциальной ямы;
n
и
h
–
количество узлов расчетной сетки и её шаг. Идентификатор
W
пред-
ставляет собой максимальное значение энергии
на графике
(в расчетах
не используется). В строках 11, 12 запрограммированы функции
U
(
x
)
и
q
(
E, x
)
. В строке 13 генерируются необходимые для реализации списки
длиной
n
, элементы которых содержат нули. Значение идентификатора
r
(строка 14) содержит номер узла сшивки. В 15-строке присваиваются
значения параметрам
d
1
и
d
2
, которые необходимы для при использо-
вании метода Нумерова (формулы (16) и (17)). Обратим внимание, что
d
1
и
d
2
присвоены значения одного знака. Это необходимо при расчете
квантовых состояний, имеющих чётное число узлов внутри интервала
[
a, b
]
(в том числе и основного состояния - ноль узлов). В противном
случае, строго говоря, величины
d
1
и
d
2
должны иметь противопо-
ложные знаки. Функция вычисления производной в заданном узле рас-
четной сетки по формуле (19) находится в строках 16 – 18. Функция
N um
, вычисляющая для заданной энергии функции
ψ
>
(
x
)
,
ψ
<
(
x
)
в
узлах сетки и
f
, запрограммирована в строках 19 – 44. В учебных
целях в представленном листинге не используется метод бисекции, так
как ввод энергии с клавиатуры (строка 45) лучше позволяет понять ал-
горитм решения задачи. В последующих строках программы осуществ-
ляется вывод численного значения
f
для введенного
e
(напомним, что
в СКМ Mathematica по умолчанию «
E
» является основанием натураль-
ного логарифма), а также графики.
Приведем результаты работы программы для двух значений энергии.
Для
e
=
−
0
.
89
а. е. получаем
f
= 0
.
640026056
и график, представлен-
ный на рис. 6(a). Из этого графика следует, что функции
ψ
>
(
x
)
и
ψ
<
(
x
)
очень сильно отличаются, разность производных
f
также весь-
ма значительна. То есть, данное значение
e
весьма далеко от точного
16
(a)
(b)
Рис. 6. Волновые функции, полученные интегрированием «вперед» и
«назад» для: a)
e
=
−
0
.
89
а. е.; b)
e
=
−
0
.
6915749
а. е.
собственного значения. Заметим, что на этом же графике изображе-
на потенциальная яма. Это сделано для наглядности. Ясно, что
U
(
x
)
и волновые функции имеют различные размерности – следует иметь
это в виду. Далее, при
e
=
−
0
.
6915749
а. е. разность производных
f
= 1
.
551988378
·
10
−
7
, функции
ψ
>
(
x
)
и
ψ
<
(
x
)
на рис. 6(b) сливаются.
Это значение энергии вычислено по точной аналитической формуле (8)
и напечатано с 7-ю значащими цифрами после десятичной точки (на-
помним, что в СКМ Mathematica десятичные дроби имеют мантиссу с
15 знаками); ниже представлен соответствующий код:
1
Ek[k_Integer] := N[Umin + Pi^2*(k^2/(8*L^2))];
2
tt = "-----------------------------";
3
tau = " E, a.u."; tev = " E, eV";
4
Print[tt];
5
Print["k", "
", tau, "
", tev];
6
Print[tt];
7
For[k = 1, k <= 5, k = k + 1, Ea = Ek[k];
8
ua = PaddedForm[Ea, {12, 7}]; Ev = 27.212*Ea;
9
uv = PaddedForm[Ev, {12, 7}]; Print[k, ua, uv]];
10
Print[tt];
Результат выполнения этого кода:
17
-----------------------------
k
E, a.u.
E, eV
-----------------------------
1
-0.6915749
-18.8191352
2
0.2337006
6.3594594
3
1.7758262
48.3237836
4
3.9348022
107.0738375
5
6.7106284
182.6096211
-----------------------------
Функция на рис. 6(b), согласно осцилляционной теореме, является вол-
новой функцией основного состояния. Заметим, что прямое сравнение
полученной функции с аналитической зависимостью (9) некорректно,
так как не выполнена квантово-механическая нормировка, то есть, ин-
теграл (7) не равен единице. Выполнить квантово-механическую нор-
мировку рассчитанной волновой функции предоставляется читателю.
1.1.4. Условия задач.
Ниже предлагаются задачи по модификации и практическому ис-
пользованию программы из параграфа 1.1.3.
Задача №1.
Дополнить программу квантово-механической нормиров-
кой волновых функций и выполнить сравнение вычисленных
ψ
k
(
x
)
с
аналитическими результатами (9) для основного и первых 4-х возбуж-
денных состояний.
Задача №2.
Модифицировать программу, вставив в неё процедуру
уточнения собственного значения методом бисекции (см. блок-схему
на рис. 5) и финальную квантово-механическую нормировку волновой
функции.
Задача №3.
Электрон находится в потенциальном поле
U
(
x
) =
V
0
·
v
(
x
)
,
где
v
(
x
) =
∞
,
x /
∈
(
−
L,
+
L
);
−
1 + (
x
+
L
)
/
(2
·
L
)
, x
∈
(
−
L,
+
L
)
,
18
V
0
= 20
эВ,
L
= 2
˚
A. Найти энергии, нормированные волновые функ-
ции и плотности вероятности для основного и 1-го возбужденного со-
стояний. Вычислить средние значения
x
и
x
2
в этих состояниях. Про-
верить ортогональность полученных волновых функций.
Задача №4.
Электрон находится в потенциальном поле
U
(
x
) =
V
0
·
v
(
x
)
,
где
v
(
x
) =
∞
,
x /
∈
(
−
L,
+
L
);
0
.
25
·
x
2
−
1
, x
∈
(
−
L,
+
L
)
,
V
0
= 10
эВ,
L
= 2
˚
A. Найти энергии, нормированные волновые функ-
ции и плотности вероятности для основного и 2-го возбужденного со-
стояний. Вычислить, с какой вероятностью частицу можно обнаружить
в этих состояниях на интервале
[
−
L,
−
L/
2]
. Найти средние значения
импульса и квадрата импульса в данных состояниях.
Задача №5.
Электрон находится в потенциальном поле
U
(
x
) =
V
0
·
v
(
x
)
, где
v
(
x
) =
∞
,
x /
∈
(
−
L,
+
L
);
−
sin
πx
L
,
x
∈
(
−
L,
+
L
)
,
V
0
= 15
эВ,
L
= 2
˚
A. Найти энергии и нормированные волновые функ-
ции для основного и 3-го возбужденного состояний, а также плотности
вероятности и средние значения кинетической и потенциальной энергий
для этих состояний.
Задача №6.
Электрон находится в потенциальном поле
U
(
x
) =
V
0
·
v
(
x
)
,
где
v
(
x
) =
∞
,
x /
∈
(
−
L,
+
L
);
−
sin
πx
L
,
x
∈
(
−
L,
+
L
)
,
V
0
= 5
эВ,
L
= 2
˚
A. Найти энергии, нормированные волновые функ-
ции и плотности вероятности для основного и 2-го возбужденного со-
стояний. Используя полученные данные, проверить непосредственным
вычислением справедливость соотношения неопределенностей Гейзен-
берга.
19
Задача №7.
Электрон находится в потенциальном поле
U
(
x
) =
V
0
·
v
(
x
)
,
где
v
(
x
) =
∞
,
x /
∈
(
−
L,
+
L
);
−
(
x/L
)
2
,
x
∈
(
−
L,
+
L
)
,
V
0
= 1
эВ,
L
= 2
˚
A. Найти энергии, нормированные волновые функции
и плотности вероятности для основного и 3-го возбужденного состоя-
ний. Найти средние значения
h
(∆
x
)
2
i
,
h
(∆
p
x
)
2
i
и их произведения в
данных состояниях.
Задача №8.
Электрон находится в потенциальном поле
U
(
x
) =
V
0
·
v
(
x
)
,
где
v
(
x
) =
∞
,
x /
∈
(
−
L,
+
L
);
−
1 +
exp
(
−
5
x
2
)
,
x
∈
(
−
L,
+
L
)
,
V
0
= 25
эВ,
L
= 5
˚
A. Найти энергии, нормированные волновые функ-
ции и плотности вероятности для основного, 1-го и 2-го возбужденного
состояний, а также средние значения импульса, кинетической энергии
и вероятность обнаружения частицы в интервале [ - 0.4 ˚
A, + 0.4 ˚
A ] в
этих состояниях.
Задача №9.
Электрон находится в потенциальном поле
U
(
x
) =
V
0
·
v
(
x
)
,
где
v
(
x
) =
∞
,
x /
∈
(
−
L,
+
L
);
−
1
,
x
∈
(
−
L,
−
L/
2)
∨
(0
,
+
L
);
0
,
x
∈
(
−
L/
2
,
0)
,
V
0
= 15
эВ,
L
= 2
˚
A. Найти энергии, нормированные волновые функ-
ции и плотности вероятности для основного и 1-го возбужденного со-
стояний. Используя волновые функции, найти средние значения кине-
тической энергии в этих состояниях и сравнить результаты с прибли-
женной оценкой
h
T
i ≈
~
2
/
(8
ma
2
)
, где
a
- линейный размер области, в
которой движется частица, а
m
– её масса.
20