ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2021
Просмотров: 810
Скачиваний: 2
26
4.2
М етод
макси мального
пр авд опод оби я
д ля
непр ер ы вной
случ айной
вели ч и ны
П усть
ξ
–
случ ай ная
ве ли ч и на
,
расп ре де ле нная
п о
п ок азате льному
зак ону
с
не и зве стны м
п араме тром
λ
:
≥
<
=
−
0
,
0
,
0
)
(
x
e
x
x
P
x
λ
ξ
λ
З адач а
состои т
в
п острое ни и
ме тодом
мак си мальног о
п равдоп одоби я
оце нк и
∃
λ
п араме тра
λ
п о
вы бороч ны м
знач е ни ям
x
1
,x
2
,..,x
n
.
П о
аналог и и
с
п ре ды дущ и м
разде лом
оп ре де ли м
функ ци ю
п равдоп одоби я
раве нством
L x x
x
p x
e
n
i
n
i
n
x
x
n
( ,
,..,
)
( )
.
(
...
)
1
2
1
1
=
=
=
−
+ +
∏
ξ
λ
λ
К ак
ви дно
,
функ ци я
п равдоп одоби я
зави си т
не
тольк о
от
вы бороч ны х
знач е ни й
,
но
и
от
не и зве стног о
п араме тра
расп ре де ле ни я
λ
.
К ак
и
вы ше
,
за
оце нк у
не и зве стног о
п араме тра
λ
п ри ме м
так ое
ч и сло
∃
λ
,
к оторое
доставляе т
мак си мум
функ ци и
п равдоп одоби я
.
Снова
п е ре ходи м
к
лог ари фму
функ ци и
п равдоп одоби я
,
п ри ме няе м
не обходи мое
услови е
эк стре мума
и
п осле
не слож ны х
вы ч и сле ни й
п олуч ае м
:
1
1
1
ln
ln
ln
(
...
) ,
(
...
)
0
1
ˆ
,
...
n
n
n
L
n
L
n
x
x
x
x
n
x
x
x
∂
λ
λ
∂λ
λ
λ
=
−
+ +
= −
+ +
=
=
=
+ +
ч то
е сте стве нно
,
п оск ольк у
мате мати ч е ск ое
ож и дани е
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
и ме ю щ е й
п ок азате льное
расп ре де ле ни е
с
п араме тром
λ
,
равно
1/
λ
.
В
Mathcad
для
моде ли ровани я
вы борк и
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
и ме ю щ е й
п ок азате льное
расп ре де ле ни е
,
п ре дназнач е на
функ ци я
rexp(k,
λ
),
к оторая
форми руе т
ве к тор
и з
k
случ ай ны х
ч и се л
,
расп ре де ле нны х
п ок азате льно
с
п араме тром
λ
.
З АДАН И Е
6
Смоде ли руй те
не ск ольк о
вы борок
объ е ма
n
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
,
и ме ю щ е й
п ок азате льное
расп ре де ле ни е
с
п араме тром
λ
== 0.1N,
г де
N
–
номе р
вари анта
.
Для
одной
вы борк и
п острой те
г рафи к
функ ци и
п равдоп одоби я
.
Най ди те
оце нк у
мак си мальног о
п равдоп одоби я
п араме тра
λ
к ак
функ ци ю
объ е ма
вы борк и
.
В ы п олни те
вы ч и сле ни я
для
n = 10N, 20N,.... 50N
п ри
N < =15
и
для
n = N, 2N,..., 10N
п ри
N > 15.
И зобрази те
на
г рафи к е
зави си мость
оце нк и
от
объ е ма
вы борк и
.
Сравни те
п олуч е нны е
оце нк и
с
заданны м
знач е ни е м
п араме тра
.
27
П ор я д ок
вы полнени я
зад ани я
1.
Смоде ли руй те
вы борк у
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
и ме ю щ е й
эк сп оне нци альное
расп ре де ле ни е
с
заданны м
знач е ни е м
п араме тра
λ
.
2.
О п ре де ли те
лог ари фм
функ ци и
мак си мальног о
п равдоп одоби я
и
и зобрази те
е г о
г рафи к
.
3.
Смоде ли руй те
не ск ольк о
вы борок
разног о
объ е ма
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
и ме ю щ е й
эк сп оне нци альное
расп ре де ле ни е
с
заданны м
знач е ни е м
п араме тра
λ
.
4.
В ы ч и сли те
оце нк у
мак си мальног о
п равдоп одоби я
п араме тра
λ
к ак
функ ци ю
объ е ма
вы борк и
.
5.
И зобрази те
на
г рафи к е
зави си мость
оце нк и
мак си мальног о
п равдоп одоби я
от
объ е ма
вы борк и
.
П р и мер
вы полнени я
зад ани я
В
п ри ве де нном
ни ж е
фраг ме нте
рабоч е г о
док уме нта
вы п олне ны
тре буе мы е
вы ч и сле ни я
для
эк сп оне нци альног о
расп ре де ле ни я
с
п араме тром
λ
=2.
28
5.
П РО В Е РКА
С Т АТ И С Т И Ч Е С КИ Х
ГИ П О Т Е З
О
П АРАМ Е Т РАХ
Н О РМ АЛЬ Н О
РАС П РЕ ДЕ ЛЕ Н Н О Й
С ЛУ Ч АЙ Н О Й
В Е ЛИ Ч И Н Ы
П усть
дана
не к оторая
оце нк а
∃
θ
,
п острое нная
п о
вы борк е
и з
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
.
Е сть
основани я
сч и тать
,
ч то
и сти нное
знач е ни е
оце ни вае мог о
п араме тра
равно
θ
0
.
О днак о
вы бороч ное
знач е ни е
∃
θ
вряд
ли
буде т
совп адать
с
θ
0
,
п оск ольк у
∃
θ
–
случ ай ная
ве ли ч и на
.
В
связи
с
эти м
возни к ае т
воп рос
,
п ри
к ак ом
отк лоне ни и
∃
θ
от
θ
0
и
с
к ак ой
сте п е нью
уве ре нности
мож но
утве рж дать
,
ч то
и сти нное
знач е ни е
оце ни вае мог о
п араме тра
∃
θ
отли ч но
от
θ
0
.
О тве том
на
этот
воп рос
мож е т
служ и ть
ве роятность
(
вы ч и сле нная
в
п ре дп олож е ни и
θ
=
θ
0
)
тог о
,
ч то
∃
θ
-
θ
0
больше
не к оторог о
фи к си рованног о
ч и сла
,
о
ве ли ч и не
к оторог о
буде т
ск азано
ни ж е
.
Е сли
эта
ве роятность
мала
,
то
мы
являе мся
сви де те лями
малове роятног о
собы ти я
,
т
.
е
.
отли ч и е
эмпирич ес ко го
знач е ни я
∃
θ
от
гипо т ет ич ес ко го
знач е ни я
θ
0
п ре дставляе тся
зна ч имым
,
и
г и п оте за
о
том
,
ч то
θ
=
θ
0
,
долж на
бы ть
отве рг нута
.
Е сли
ж е
эта
ве роятность
ве ли к а
,
то
отк лоне ни е
∃
θ
от
θ
0
,
п о
-
ви ди мому
,
обусловле но
е сте стве нной
случ ай ностью
,
и
,
сле довате льно
,
г и п оте за
о
том
,
ч то
∃
θ
=
θ
0
,
мож е т
бы ть
п ри нята
.
Наша
задач а
состои т
в
вы работк е
общ е г о
п одхода
к
п роце дуре
,
к оторая
назы вае тся
п рове рк ой
г и п оте з
.
П усть
∃
θ
–
вы бороч ное
знач е ни е
оце ни вае мог о
п араме тра
θ
и
п усть
p
∃
θ
–
п лотность
ве роятносте й
случ ай ной
ве ли ч и ны
∃
θ
п ри
услови и
,
ч то
θ
=
θ
0
На
ри с
. 1
и зображ е н
г рафи к
функ ци и
p
∃
θ
,
на
к отором
отме ч е ны
точ к и
θ
left
и
θ
right
,
для
к оторы х
вы п олне ны
услови я
:
P
left
(
∃
)
.
θ θ
α
≤
=
0 5
,
P
right
(
∃
)
.
θ θ
α
>
=
0 5
,
г де
α
–
не к оторое
малое
ч и сло
.
Это
ч и сло
и ме е т
п ростой
смы сл
:
е сли
ве роятность
собы ти я
не
п ре вы шае т
α
,
то
собы ти е
малове роятно
,
т
.
е
.
е сли
вы ч и сле нное
знач е ни е
∃
θ
ок аж е тся
вне
п роме ж утк а
(
θ
left
,
θ
right
),
то
е сть
все
основани я
усомни ться
в
том
,
ч то
и сти нное
знач е ни е
п араме тра
θ
равно
θ
0
,
и
в
этом
случ ае
г и п оте зу
о
том
,
ч то
θ
=
θ
0
,
сле дуе т
отве рг нуть
(
отк лони ть
).
Е сли
ж е
∃
θ
п оп адае т
в
и нте рвал
(
θ
left
,
θ
right
),
то
г и п оте за
о
том
,
ч то
θ
=
θ
0
,
мож е т
бы ть
п ри нята
.
В е роятность
α
,
и сп ользованная
п ри
вы ч и сле ни и
и нте рвала
(
θ
left
,
θ
right
)
,
назы вае тся
уро внем
зна ч имо с т и
;
области
знач е ни й
∃
θ
,
п ри
к оторы х
г и п оте за
отве рг ае тся
и ли
п ри ни мае тся
,
назы ваю тся
соотве тстве нно
о бла с т ью
о т кло нения
(
крит ич ес ко й
о бла с т ью
)
и
о бла с т ью
принят ия
гипо т езы
.
В
п ри ве де нном
на
ри с
. 1
п ри ме ре
к ри те ри й
п рове рк и
г и п оте зы
бы л
двус т о ро нним
,
п оск ольк у
знач и мы ми
бы ли
отк лоне ни я
∃
θ
от
θ
0
в
обе
стороны
.
Е сли
отк лоне ни я
знач и мы
тольк о
в
одну
сторону
(
∃
θ
>
θ
0
и ли
∃
θ
<
θ
0
)
,
то
строятся
о дно с т о ро нние
крит ерии
.
29
Ри с
. 1.
О бласти
п ри няти я
и
отк лоне ни я
г и п оте з
Сле дуе т
обрати ть
вни мани е
на
то
,
ч то
в
рассматри вае мы х
нами
задач ах
п ри няти е
и ли
отк лоне ни е
г и п оте зы
не
носят
к ате г ори ч е ск ог о
харак те ра
.
Ре ше ни е
об
отк лоне ни и
и ли
п ри няти и
г и п оте зы
мож е т
ок азаться
оши боч ны м
:
г и п оте за
отк лоняе тся
,
хотя
она
на
самом
де ле
ве рна
(
оши бк а
перво го
ро да
),
и
г и п оте за
п ри ни мае тся
,
хотя
она
на
самом
де ле
не ве рна
(
оши бк а
вт о ро го
ро да
)
.
5.1
П р овер ка
ги потезы
о
ч и словом
знач ени и
математи ч еского
ож и д ани я
пр и
и звестной
д и спер си и
П усть
М
ξ
= a
–
не и зве стная
ве ли ч и на
,
а
ди сп е рси я
D
ξ
=
σ
2
и зве стна
.
Сформули руе м
нуле вую
г и п оте зу
H
0
о
том
,
ч то
не и зве стны й
п араме тр
а
раве н
заданному
ч и слу
a
0
,
т
.
е
.
H
0
: a=a
0
.
Альте рнати вную
г и п оте зу
H
1
мож но
сформули ровать
тре мя
сп особами
:
1)
H
1
: a
≠
a
0
;
2)
H
1
: a > a
0
;
3)
H
1
:
a < a
0
.
Рассмотри м
п одробно
к аж ды й
и з
эти х
тре х
случ ае в
.
О брати мся
к
п е рвому
случ аю
:
нуле вая
г и п оте за
H
0
: a = a
0
и
альте рнати вная
г и п оте за
H
1
: a
≠
a
0
.
З адади мся
не к оторы м
уровне м
знач и мости
α
и
вы ч и сли м
п о
вы борк е
∃
( ,
,..,
)
x
x x
x
n
=
1
2
знач е ни е
к ри те ри я
0
2
.
x
a
n
ϕ
σ
−
=
Е сли
г и п оте за
H
0
ве рна
,
то
случ ай ная
ве ли ч и на
ϕ
и ме е т
стандартное
нормальное
расп ре де ле ни е
,
и
здравы й
смы сл
п одск азы вае т
,
ч то
в
больши нстве
эк сп е ри ме нтов
ве ли ч и на
ϕ
буде т
мало
отли ч аться
от
нуля
.
Е сли
ж е
е е
отк лоне ни я
от
нуля
ве ли к и
,
то
это
,
ск оре е
все г о
,
ук азы вае т
на
оши боч ность
г и п оте зы
H
0
.
П ри дади м
п ри ве де нны м
соображ е ни ям
боле е
ч е тк ую
форму
.
В ы де ли м
для
к ри те ри я
ϕ
–
крит ич ес кую
о бла с т ь
,
т
.
е
.
ук аж е м
так и е
знач е ни я
ϕ
,
п ри
к оторы х
г и п оте зу
H
0
сле дуе т
отве рг нуть
.
На
ри с
. 2
и зображ е на
п лотность
расп ре де ле ни я
к ри те ри я
ϕ
(
п лотность
стандартног о
нормальног о
расп ре де ле ни я
).
30
Ри с
. 2.
К ри ти ч е ск ая
область
для
альте рнати вной
г и п оте зы
H
1
:a
≠
a
0
О п ре де ли м
г рани цы
к ри ти ч е ск ой
области
x
l,
α
и
x
r,
α
так
,
ч тобы
P
x
P
x
l
r
(
)
, (
)
.
,
,
ϕ
α
ϕ
α
α
α
<
=
>
=
2
2
К ри ти ч е ск и е
точ к и
x
l,
α
и
x
r,
α
расп олож е ны
си мме три ч но
относи те льно
нуля
,
п равая
являе тся
к орне м
уравне ни я
Ф
(x
r,
α
)= 1
—
0.5
α
,
а
ле вая
вы ч и сляе тся
п о
формуле
x
l,
α
= - x
r,
α
.
К ог да
к ри ти ч е ск ая
область
най де на
,
мож но
вы ч и сли ть
п о
вы борк е
знач е ни е
к ри те ри я
ϕ
и
п рове ри ть
,
п оп адае т
ли
оно
в
к ри ти ч е ск ую
область
.
Е сли
ϕ
< x
l,
α
и ли
ϕ
> x
r,
α
,
то
г и п оте за
H
0
отве рг ае тся
и
п ри ни мае тся
г и п оте за
H
1
.
Е сли
ж е
x
l,
α
<
ϕ
<x
r,
α
то
п ри ни мае тся
г и п оте за
H
0
.
Ни ж е
п ри ве де н
фраг ме нт
рабоч е г о
док уме нта
Mathcad,
соде рж ащ и й
п рове рк у
г и п оте зы
о
ве ли ч и не
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
нормально
расп ре де ле нной
случ ай ной
ве ли ч и ны
H
0
:
а
= 1
п ри
альте рнати вной
г и п оте зе
H
1
:
а
≠
1.
Рассмотри м
второй
случ ай
с
нуле вой
г и п оте зой
H
0
:
а
= a
0
и
альте рнати вной
г и п оте зой
H
1
:
а
> a
0
.
Снова
задади мся
не к оторы м
уровне м
знач и мости
α
и
вы ч и сли м
п о
вы борк е
∃
( ,
,..,
)
x
x x
x
n
=
1
2
знач е ни е
к ри те ри я
ϕ
σ
= −
x
a
n
0
2
,
г де
1
1
.
n
i
i
x
x
n
=
=
∑