ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2021
Просмотров: 809
Скачиваний: 2
21
ве ли ч и ны
являе тся
оце нк а
n
θ
ˆ
=(x
1
+x
2
+
…
+x
n
)/n.
И ме нно
п оэтому
п осле дняя
оце нк а
так
ши рок о
и сп ользуе тся
в
мате мати ч е ск ой
стати сти к е
.
И так
,
вп ре дь
для
оце нк и
не и зве стног о
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
случ ай ной
ве ли ч и ны
буде м
и сп ользовать
выбо ро ч но е
с реднее
,
т
.
е
:
1
2
...
ˆ
.
n
n
x
x
x
x
n
θ
+
+
+ +
= =
Т оч еч ны е
оценки
д и спер си и
Для
ди сп е рси и
σ
2
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
мож но
п ре длож и ть
сле дую щ ую
оце нк у
:
∑
=
−
=
n
i
i
x
x
n
DX
1
2
,
)
(
1
г де
x
–
вы бороч ное
сре дне е
,
Док азано
,
ч то
эта
оце нк а
состояте льная
,
но
с мещ енна я
.
В
к ач е стве
состояте льной
не сме щ е нной
оце нк и
ди сп е рси и
и сп ользую т
ве ли ч и ну
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)
.
1
1
n
n
i
i
i
i
s
x
x
x
nx
n
n
=
=
=
−
=
−
−
−
∑
∑
И ме нно
не сме щ е нностью
оце нк и
s
2
объ ясняе тся
е е
боле е
ч астое
и сп ользовани е
в
к ач е стве
оце нк и
ве ли ч и ны
D
ξ
.
З аме ти м
,
ч то
Mathcad
п ре длаг ае т
в
к ач е стве
оце нк и
ди сп е рси и
ве ли ч и ну
DX
,
а
не
s
2
:
функ ци я
var(x)
вы ч и сляе т
ве ли ч и ну
:
(
)
1
2
1
n
x
mean x
i
i
n
−
=
∑
( )
,
г де
mean(x) -
вы бороч ное
сре дне е
:
1
1
.
n
i
i
x
n
=
∑
З АДАН И Е
4
Най ди те
состояте льны е
не сме щ е нны е
оце нк и
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
М
ξ
и
ди сп е рси и
D
ξ
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
п о
п ри ве де нны м
в
задани и
вы бороч ны м
знач е ни ям
x
1
, x
2
, .., x
n
.
П ор я д ок
вы полнени я
зад ани я
1.
П роч и тай те
с
ди ск а
фай л
,
соде рж ащ и й
вы бороч ны е
знач е ни я
,
и ли
вве ди те
заданную
вы борк у
с
к лави атуры
.
2.
В ы ч и сли те
точ е ч ны е
оце нк и
М
ξ
и
D
ξ
.
П р и мер
вы полнени я
зад ани я
Най ди те
состояте льны е
не сме щ е нны е
оце нк и
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
М
ξ
и
ди сп е рси и
D
ξ
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
п о
вы бороч ны м
знач е ни ям
,
заданны м
сле дую щ е й
табли це й
.
X
904.3
910.2
916.6 928.8 935.0 941.2 947.4 953.6 959.8 966.0 972.2 978.
4
N
1
3
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
22
Для
вы борк и
,
заданной
табли це й
так ог о
ти п а
(
п ри ве де но
вы бороч ное
знач е ни е
и
ч и сло
,
ук азы ваю щ е е
,
ск ольк о
раз
это
знач е ни е
встре ч ае тся
в
вы борк е
),
формулы
для
состояте льны х
не сме щ е нны х
оце нок
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
и
ди сп е рси и
и ме ю т
ви д
:
x
n
n x s
n
n x
x
n
n
i
i
i
k
i
i
i
k
i
i
n
=
=
−
−
=
=
=
=
∑
∑
∑
1
1
1
1
2
2
1
1
,
(
) ,
,
г де
k
–
к оли ч е ство
знач е ни й
в
табли це
; n
i
–
к оли ч е ство
знач е ни й
x
i
в
вы борк е
, n
–
объ е м
вы борк и
.
Фраг ме нт
рабоч е г о
док уме нта
Mathcad
с
вы ч и сле ни ями
точ е ч ны х
оце нок
п ри ве де н
ни ж е
.
И з
п ри ве де нны х
вы ч и сле ни й
ви дно
,
ч то
сме щ е нная
оце нк а
дае т
23
4.
М Е Т О ДЫ
П О ЛУ Ч Е Н И Я
Т О Ч Е Ч Н Ы Х
О Ц Е Н О К
И зве стны
ме тоды
п олуч е ни я
точ е ч ны х
оце нок
:
ме тод
моме нтов
,
ме тод
мак си мальног о
п равдоп одоби я
и
ме тод
наи ме ньши х
к вадратов
.
О це нк и
,
п олуч е нны е
ме тодом
мак си мальног о
п равдоп одоби я
,
обладаю т
хороши ми
а с импт о т ич ес кими
свой ствами
:
п ри
n
→
∞
они
становятся
эффе к ти вны ми
,
не сме щ е нны ми
,
состояте льны ми
.
П ознак оми мся
с
эти м
ме тодом
на
п ри ме рах
.
4.1
М етод
макси мального
пр авд опод оби я
д ля
д и скр етной
случ айной
вели ч и ны
П усть
ξ
–
ди ск ре тная
случ ай ная
ве ли ч и на
,
расп ре де ле нная
п о
зак ону
П уассона
с
не и зве стны м
п араме тром
λ
,
т
.
е
.
P
m
m
e
m
(
)
!
ξ
λ
λ
=
=
−
и
m
1
, m
2
,.., m
n
–
ре зультаты
не зави си мы х
наблю де ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
.
З адач а
состои т
в
п острое ни и
точ е ч ной
оце нк и
не и зве стног о
п араме тра
λ
.
Для
е е
ре ше ни я
вве де м
в
рассмотре ни е
функцию
пра вдо по до бия
,
заданную
раве нством
1
2
1
1
2
2
(
,
,..,
)
(
,
,..,
),
n
n
n
L m m
m
p
m
m
m
ξ
ξ
ξ
=
=
=
=
г де
ξ
1
,
ξ
2
,..,
ξ
n
-
не зави си мы е
случ ай ны е
ве ли ч и ны
,
расп ре де ле нны е
так
ж е
,
к ак
и
случ ай ная
ве ли ч и на
ξ
.
П оск ольк у
случ ай ны е
ве ли ч и ны
ξ
не зави си мы
и
P
m
m
e
i
i
m
i
i
(
)
!
ξ
λ
λ
=
=
−
,
то
1
...
1
2
1
1
2
2
1
(
,
,..,
)
(
) (
)... (
)
.
!..
!
n
m
m
n
n
n
n
n
L m m
m
P
m P
m
P
m
e
m
m
λ
λ
ξ
ξ
ξ
+ +
−
=
=
=
=
=
К ак
ви дно
и з
п осле дне г о
раве нства
,
функ ци я
п равдоп одоби я
зави си т
тольк о
от
ре зультатов
наблю де ни й
m
1,
m
2
,.., m
n
и
от
не и зве стног о
п араме тра
λ
.
З а
оце нк у
не и зве стног о
п араме тра
λ
п ри ме м
так ое
ч и сло
∃
λ
,
к оторое
доставляе т
мак си мум
функ ци и
п равдоп одоби я
.
П ри
ре ше ни и
задач
оты ск ани я
мак си мума
функ ци и
п равдоп одоби я
ч ащ е
все г о
находят
мак си мум
функ ци и
ln
L
:
ln
ln
!...
!
(
...
) ln
ln(
!...
!),
...
L
m
m
e
n
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
i
n
=
= −
+
+ +
−
+ +
−
+
λ
λ
λ
λ
1
1
1
к оторая
дости г ае т
мак си мума
в
той
ж е
точ к е
,
ч то
и
функ ци я
п равдоп одоби я
L(m
1
,m
2
,.. m
n
).
И з
не обходи мог о
услови я
эк стре мума
и ме е м
и ск омую
оце нк у
∃
(
,...,
)
λ
=
1
1
n
m
m
n
не и зве стног о
п араме тра
λ
.
∂
∂λ
λ
ln
...
L
n
m
m
= − +
+ +
=
1
1
0
24
В сп омни м
,
ч то
мате мати ч е ск ое
ож и дани е
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
,
и ме ю щ е й
расп ре де ле ни е
П уассона
с
п араме тром
λ
,
равно
М
ξ
=
λ
и
ч то
эффе к ти вной
,
не сме щ е нной
,
состояте льной
оце нк ой
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
ξ
п о
вы борк е
m
1
,m
2
,.. m
n
являе тся
ве ли ч и на
m
n m
m
n
=
+ +
=
1
1
(
...
)
∃
λ
.
В
Mathcad
для
моде ли ровани я
вы борк и
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
расп ре де ле нной
п о
зак ону
П уассона
,
п ре дназнач е на
функ ци я
rpois(k,
λ
)),
к оторая
форми руе т
ве к тор
и з
k
случ ай ны х
ч и се л
,
расп ре де ле нны х
п о
П уассону
с
п араме тром
λ
.
З АДАН И Е
5
Смоде ли руй те
не ск ольк о
вы борок
объ е ма
п
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
,
и ме ю щ е й
расп ре де ле ни е
П уассона
с
п араме тром
λ
=0.1N, N
–
номе р
вари анта
.
Для
одной
вы борк и
п острой те
г рафи к
функ ци и
п равдоп одоби я
.
Най ди те
оце нк у
мак си мальног о
п равдоп одоби я
п араме тра
λ
к ак
функ ци ю
объ е ма
вы борк и
.
В ы п олни те
вы ч и сле ни я
для
n = 10N, 20N,..., 50N
п ри
N
<
=15
и
для
n = N, 2N,...,
10N
п ри
N > 15.
И зобрази те
на
г рафи к е
зави си мость
оце нк и
от
объ е ма
вы борк и
.
Сравни те
п олуч е нны е
оце нк и
с
заданны м
знач е ни е м
п араме тра
.
П ор я д ок
вы полнени я
зад ани я
1.
Смоде ли руй те
вы борк у
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
и ме ю щ е й
расп ре де ле ни е
П уассона
с
заданны м
знач е ни е м
п араме тра
λ
.
2.
О п ре де ли те
лог ари фм
функ ци и
мак си мальног о
п равдоп одоби я
и
и зобрази те
е г о
г рафи к
.
3.
Смоде ли руй те
не ск ольк о
вы борок
разног о
объ е ма
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
,
и ме ю щ е й
расп ре де ле ни е
П уассона
с
заданны м
знач е ни е м
п араме тра
λ
.
4.
В ы ч и сли те
оце нк у
мак си мальног о
п равдоп одоби я
п араме тра
λ
к ак
функ ци ю
объ е ма
вы борк и
.
5.
И зобрази те
на
г рафи к е
зави си мость
оце нк и
мак си мальног о
п равдоп одоби я
от
объ е ма
вы борк и
.
П р и мер
вы полнени я
зад ани я
В
п ри ве де нном
ни ж е
фраг ме нте
рабоч е г о
док уме нта
вы п олне ны
тре буе мы е
вы ч и сле ни я
для
расп ре де ле ни я
П уассона
с
п араме тром
λ
= 3.
25