ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.04.2021
Просмотров: 806
Скачиваний: 2
16
И з
п ри ве де нны х
в
док уме нте
г рафи к ов
ви дно
,
ч то
для
малы х
z
ве ли ч и ну
K(z)
мож но
п олож и ть
равной
нулю
,
а
для
z >
2
мож но
сч и тать
K(z)
равной
е ди ни це
.
З адади мся
ве роятностью
α
так ой
,
ч то
собы ти е
,
п рои сходящ е е
с
ве роятностью
1-
α
,
п ре дставляе тся
п рак ти ч е ск и
достове рны м
.
В ы ч и сли м
к оре нь
Z
α
уравне ни я
1
–
K(z)
=
α
,
тог да
не раве нство
:
n
z
x
F
x
F
n
z
x
F
n
n
α
ξ
α
+
<
<
−
)
(
ˆ
)
(
)
(
ˆ
вы п олняе тся
для
все х
де й стви те льны х
х
с
ве роятностью
,
бли зк ой
к
1-
α
.
Т ак и м
образом
,
в
ок ре стности
эмп и ри ч е ск ой
функ ци и
расп ре де ле ни я
п острое н
"
к ори дор
",
в
к отором
ле ж и т
и сти нная
,
те оре ти ч е ск ая
функ ци я
расп ре де ле ни я
F
ξ
(x)
.
С
ростом
п
"
ши ри на
"
этог о
к ори дора
стре ми тся
к
нулю
.
В ме сто
эмп и ри ч е ск ой
функ ци и
расп ре де ле ни я
буде м
и сп ользовать
функ ци ю
нак оп ле нны х
относи те льны х
ч астот
,
п оск ольк у
)
(
ˆ
x
F
n
= F
k
,
для
x
∈
(
ξ
k-
1
,
ξ
k
]
и
знач е ни я
функ ци й
совп адаю т
вне
п роме ж утк а
[x
min
, x
max
].
На
сле дую щ е й
страни це
п ри ве де н
фраг ме нт
рабоч е г о
док уме нта
Mathcad
с
п острое ни е м
95%-
ног о
"
к ори дора
"
для
функ ци и
расп ре де ле ни я
случ ай ной
ве ли ч и ны
п о
п ри ве де нной
вы борк е
.
Ука за ние
.
К ак
уж е
отме ч алось
вы ше
,
в
к ач е стве
эмп и ри ч е ск ой
функ ци и
расп ре де ле ни я
и сп ользована
эмп и ри ч е ск ая
функ ци я
нак оп ле нны х
ч астот
.
З аме ти м
,
ч то
Mathcad
вме сто
г рафи к а
ступ е нч атой
функ ци и
строи т
ломаную
ли ни ю
,
сое ди няя
"
ступ е ньк и
"
ве рти к альны ми
отре зк ами
п рямы х
.
К оре нь
уравне ни я
1
–
К
(z)
=
α
п рощ е
все г о
най ти
г рафи ч е ск и
,
и сп ользуя
оп е раци ю
Trace
п унк та
Graph
ме ню
Format),
к ак
точ к у
п е ре се ч е ни я
г рафи к а
K(z)
и
п рямой
у
= 1-
α
.
Ни ж е
п ри ве де н
фраг ме нт
ок на
Mathcad
с
ок ном
отображ е ни я
к оорди нат
точ к и
п е ре се ч е ни я
.
17
18
Для
оце нк и
п лотности
расп ре де ле ни я
случ ай ной
ве ли ч и ны
мож но
восп ользоваться
п оли г оном
ч астот
,
к оторы й
п ре дставле н
вы ше
.
П ри
не
оч е нь
строг и х
ог рани ч е ни ях
док азано
,
ч то
вы бороч ная
п лотность
ве роятносте й
,
т
.
е
.
п оли г он
ч астот
,
с
ростом
объ е ма
вы борк и
до
бе ск оне ч ности
стре ми тся
к
и сти нной
,
те оре ти ч е ск ой
п лотности
расп ре де ле ни я
и ссле дуе мой
случ ай ной
ве ли ч и ны
.
З АДАН И Е
3
П острой те
для
вы борк и
,
сформи рованной
в
задани и
1, 95%-
ны й
"
к ори дор
"
для
функ ци и
расп ре де ле ни я
и ссле дуе мой
случ ай ной
ве ли ч и ны
.
П ор я д ок
вы полнени я
зад ани я
1.
П роч и тай те
фай л
,
сохране нны й
п ри
вы п олне ни и
задани я
1.
2.
О п ре де ли те
стати сти к у
К олмог орова
—
функ ци ю
K(z)
и
п острой те
е е
г рафи к
.
3.
О п ре де ли те
знач е ни е
ве ли ч и ны
α
.
4.
Ре ши те
г рафи ч е ск и
уравне ни е
1 - K(z)
=
α
.
5.
П острой те
"
к ори дор
"
для
те оре ти ч е ск ой
функ ци и
расп ре де ле ни я
.
П р и мер
вы полнени я
зад ани я
П ри ме р
п острое ни я
95%-
ног о
"
к ори дора
"
функ ци и
расп ре де ле ни я
для
и ссле дуе мой
во
все х
п ри ме рах
этог о
разде ла
вы борк и
250
знач е ни й
случ ай ной
ве ли ч и ны
п ри ве де н
вы ше
.
3.
Т О Ч Е Ч Н Ы Е
О Ц Е Н КИ
П АРАМ Е Т РО В
РАС П РЕ ДЕ ЛЕ Н И Й
П ре дп олож и м
,
ч то
функ ци я
расп ре де ле ни я
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
зави си т
от
не и зве стног о
п араме тра
θ
: P(
ξ
<X) = F
ξ
(x,
θ
).
Е сли
x
1
,x
2
,..,x
n
–
вы борк а
и з
г е не ральной
совок уп ности
случ ай ной
ве ли ч и ны
ξ
,
то
оце нк ой
θ
ˆ
п араме тра
θ
назы вае тся
п рои звольная
функ ци я
от
вы бороч ны х
знач е ни й
θ
ˆ
=
θ
ˆ
( x
1
,x
2
,..,x
n
).
К оне ч но
,
и сп ользуе мы е
на
п рак ти к е
оце нк и
n
θ
ˆ
(x
1
,x
2
,..,x
n
)
не
совсе м
п рои звольны е
функ ци и
:
они
обладаю т
рядом
свой ств
,
к оторы е
обе сп е ч и ваю т
в
19
не к отором
смы сле
оп ти мальное
и звле ч е ни е
и нформаци и
и з
вы борок
.
Рассмотри м
эти
свой ства
.
Т оч еч ны е
оценки
математи ч еского
ож и д ани я
Сле дуе т
отме ти ть
,
ч то
знач е ни е
оце нк и
θ
ˆ
ме няе тся
от
вы борк и
к
вы борк е
и
,
знач и т
,
θ
ˆ
е сть
случ ай ная
ве ли ч и на
.
Е сте стве нно
п отре бовать
,
ч тобы
знач е ни я
этой
случ ай ной
ве ли ч и ны
в
больши нстве
эк сп е ри ме нтов
бы ли
бли зк и
к
знач е ни ю
оце ни вае мог о
п араме тра
.
Этог о
мож но
дости г нуть
,
е сли
для
лю бог о
знач е ни я
n
мате мати ч е ск ое
ож и дани е
ве ли ч и ны
n
θ
ˆ
равно
и сти нному
(
те оре ти ч е ск ому
)
знач е ни ю
п араме тра
θ
ˆ
: M
n
θ
ˆ
=
θ
.
О це нк и
n
θ
ˆ
,
удовле творяю щ и е
услови ю
M
n
θ
ˆ
=
θ
,
назы ваю тся
нес мещ енными
.
Не сме щ е нность
оце нк и
означ ае т
,
ч то
эта
оце нк а
не
не се т
в
се бе
си сте мати ч е ск ой
оши бк и
.
Е щ е
одно
важ ное
свой ство
,
к оторы м
долж ны
обладать
оце нк и
,
—
состояте льность
.
О це нк а
n
θ
ˆ
назы вае тся
с о с т о ят ельно й
оце нк ой
п араме тра
θ
,
е сли
для
лю бог о
ε
>0
сп раве дли во
: lim P(|
θ
n
^-
θ
|<
ε
) =1.
П оясни м
смы сл
п осле дне г о
раве нства
.
П усть
ε
>0
–
к ак
уг одно
малое
п олож и те льное
ч и сло
.
Т ог да
с
ростом
п
расте т
наша
уве ре нность
в
том
,
ч то
знач е ни е
оце нк и
n
θ
ˆ
отли ч ае тся
от
и сти нног о
знач е ни я
п араме тра
θ
не
боле е
ч е м
на
ве ли ч и ну
ε
,
т
.
е
.
с
ростом
объ е ма
вы борк и
уве ли ч и вае тся
точ ность
ре зультата
.
П равда
,
зде сь
п ри ходи тся
отой ти
от
тради ци онног о
п оняти я
точ ности
:
не т
г аранти и
,
ч то
|
n
θ
ˆ
-
θ
|<
ε
,
однак о
утве рж дае тся
,
ч то
,
нач и ная
с
не к оторог о
п
,
собы ти е
|
n
θ
ˆ
-
θ
|<
ε
станови тся
п рак ти ч е ск и
достове рны м
.
В ообщ е
г оворя
,
для
оце нк и
одног о
и
тог о
ж е
п араме тра
мож но
п ри думать
мног о
разли ч ны х
не сме щ е нны х
и
состояте льны х
оце нок
.
Рассмотри м
не ск ольк о
п ри ме ров
.
П усть
x
1
, x
2
, .., x
n
–
вы борк а
и з
г е не ральной
совок уп ности
,
соотве тствую щ е й
случ ай ной
ве ли ч и не
ξ
с
не и зве стны м
мате мати ч е ск и м
ож и дани е м
M
ξ
=
θ
и
и зве стной
ди сп е рси е й
D
ξ
=
σ
2
.
П острои м
не ск ольк о
оце нок
не и зве стног о
п араме тра
M
ξ
=
θ
.
Нап ри ме р
,
е сли
n
θ
ˆ
(1)
=x
1
,
то
M
n
θ
ˆ
(1)
=x
1
,
т
.
е
.
рассматри вае мая
оце нк а
являе тся
нес мещ енно й
о ценко й
.
П оск ольк у
знач е ни е
n
θ
ˆ
(1)
=x
1
вообщ е
не
зави си т
от
объ е ма
вы борк и
n,
то
оце нк а
n
θ
ˆ
(1)
не
являе тся
с о с т о ят ельно й
.
Рассмотри м
друг ую
оце нк у
:
(2)
1
2
2
...
ˆ
.
(
1)
2
n
n
x
x
nx
n n
θ
+
+ +
=
+
Най де м
20
(2)
1
2
2
...
ˆ
(
1)
2
2
(1
2
...
)
(
1)
2
(
1)
,
(
1)
2
n
n
n
M
M
n n
n
n n
n n
n n
ξ
ξ
ξ
θ
θ
θ
θ
+
+ +
=
=
+
=
⋅
+ + + =
+
+
=
⋅
=
+
т
.
е
.
и ме е м
не сме щ е нную
оце нк у
.
П рове ри м
е е
состояте льность
.
.
)
1
(
3
)
1
2
(
2
6
)
1
2
)(
1
(
)
1
(
4
)
...
2
1
(
)
1
(
4
2
)
1
(
...
2
ˆ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
2
(
σ
σ
σ
ξ
ξ
ξ
θ
+
+
=
+
+
⋅
+
=
=
+
+
+
⋅
+
=
+
+
+
+
=
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
D
D
n
n
П оск ольк у
0
ˆ
)
2
(
→
n
D
θ
п ри
n
→
∞
,
то
,
сог ласно
зак ону
больши х
ч и се л
,
для
ε
> 0
сп раве дли во
lim (
∃
)
( )
P
n
θ
θ ε
2
1
− <
=
,
т
.
е
.
и ме е м
состояте льную
оце нк у
.
Рассмотри м
е щ е
одну
оце нк у
не и зве стног о
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
:
(3)
1
2
...
ˆ
,
n
n
x
x
x
n
θ
+
+ +
=
у
к оторой
(
)
(
)
M
n
M
M
M
n
D
n
D
D
D
n
n
n
n
n
n
n
n
∃
...
∃
...
( )
( )
θ
ξ
ξ
ξ
θ
θ
θ
ξ
ξ
ξ
σ
σ
3
1
2
3
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
0
=
+
+ +
=
=
=
+
+ +
=
=
→
п ри
n
→
∞
,
т
.
е
.
п осле дняя
оце нк а
так ж е
не сме щ е нная
и
состояте льная
.
К ак ой
ж е
оце нк е
отдать
п ре дп оч те ни е
?
Для
тог о
ч тобы
отве ти ть
на
этот
воп рос
,
сравни м
ди сп е рси и
п осле дни х
двух
оце нок
.
П оск ольк у
D
n
D
n
n n
n
n
n
n
n
∃
,
∃
(
)
(
)
(
)
( )
( )
θ
σ
θ
σ
σ
3
2
2
2
2
2 2
1
3
1
1
1
3
1
=
=
+
+
=
+
−
+
,
то
D
D
n
n
∃
∃
( )
( )
θ
θ
2
3
>
,
т
.
е
.
оце нк а
n
θ
ˆ
(3)
дае т
ме ньши й
разброс
ок оло
знач е ни й
п араме тра
θ
и
,
сле довате льно
,
п ре дп оч ти те льне е
.
В
так ом
случ ае
г оворят
,
ч то
оце нк а
n
θ
ˆ
(3)
эффект ивнее
оце нк и
n
θ
ˆ
(2)
.
Т е п е рь
е сте стве нно
п остави ть
воп рос
о
п острое ни и
самой
эффе к ти вной
оце нк и
–
об
оце нк е
с
ми ни мальной
ди сп е рси е й
.
Т ак ая
оце нк а
назы вае тся
эффект ивно й
оце нк ой
.
Док азано
,
ч то
эффе к ти вной
оце нк ой
мате мати ч е ск ог о
ож и дани я
нормально
расп ре де ле нной
случ ай ной