ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1240
Скачиваний: 3
Л.5. Построение математической модели
f
(
y
) =
Z
b
a
F
(
x
,
y
(
x
)
,
y
′
(
x
))
dx
→
min
,
y
(
a
) =
y
a
,
y
(
b
) =
y
b
,
Пусть функция
F
определена для всех значений своих аргументов и
имеет непрерывные производные. В этих предположениях функция
y
,
на которой функционал принимает экстремальное значение, является
стационарной точкой функционала
f
.
Варьирование функции
y
приводит к
уравнению Эйлера
:
F
′
y
−
d
dx
F
′
y
′
= 0
.
Получаем краевую задачу для дифференциального уравнения второго
порядка.
В некоторых довольно редких случаях эту задачу удается решить
точно. Чаще применяются
прямые методы
, с помощью которых
приближенное решение задачи на экстремум функционала сводится к
аналогичной задаче с конечным числом степеней свободы.
2014
71 / 74
Л.5. Построение математической модели
Задачи оптимального управления
Пример.
Пусть вдоль оси
x
движется материальная точка массы
m
под действием внешней управляемой силы
F
(
t
)
(
|
F
(
t
)
| ≤
F
0
).
Требуется так выбрать внешнюю силу, чтобы за кратчайшее время
(“задача о быстродействии”) точка пришла в начало координат
x
= 0
и
там остановилась.
m
¨
x
(
t
) =
F
(
t
)
,
|
F
(
t
)
| ≤
F
0
,
0
≤
t
≤
T
,
x
(0) =
x
0
,
˙
x
(0) =
v
0
,
x
(
T
) = ˙
x
(
T
) = 0
,
T
→
min
.
Решение.
Если при
t
= 0
:
2
F
0
x
(
t
) +
m
˙
x
(
t
)
|
˙
x
(
t
)
|
>
0
,
то надо полагать
F
(
t
) =
−
F
0
, пока неравенство не обратится в
равенство. После этого переключить
F
(
t
)
на противоположное крайнее
значение и ожидать прихода точки в начало координат, после чего
отключить силу.
2014
72 / 74
Л.5. Построение математической модели
жирная линия:
2
F
0
x
(
t
) +
m
˙
x
(
t
)
|
˙
x
(
t
)
|
= 0
2014
73 / 74
Л.5. Построение математической модели
Одна из общих форм задач оптимального управления:
˙
x
1
(
t
) =
g
1
(
t
,
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
,
u
1
,
u
2
, . . . ,
u
m
)
,
. . . . . . . . .
˙
x
n
(
t
) =
g
n
(
t
,
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
,
u
1
,
u
2
, . . . ,
u
m
)
,
x
1
(
t
0
) =
x
10
,
x
2
(
t
0
) =
x
20
, . . . ,
x
n
(
t
0
) =
x
n
0
,
x
1
(
T
) =
x
1
T
,
x
2
(
T
) =
x
2
T
, . . . ,
x
n
(
T
) =
x
nT
.
Функции
x
i
(
t
) (
i
= 1
, . . . ,
n
)
задают эволюцию системы, функции
u
j
(
t
)
(
j
= 1
, . . . ,
m
) – управление, стесненное заданными ограничениями,
например, вида
|
u
j
(
t
)
|
6
u
j
0
.
Требуется так подобрать управление, чтобы минимизовать
функционал, например, вида
f
(
x
,
u
) =
Z
T
t
0
ϕ
(
t
,
x
1
(
t
)
, . . . ,
x
n
(
t
)
,
u
1
(
t
)
, . . . ,
u
m
(
t
))
dt
→
min
.
2014
74 / 74