Файл: matmod.pdf

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Общее определение

Пусть необходимо исследовать некоторую совокупность

S

свойств

реального объекта

A

с помощью математики.

Для этого мы строим “математический объект”

A

′

– систему

уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических
фигур, или комбинацию того и другого и т.д.

Исследование

A

′

средствами математики должно ответить на

поставленные вопросы относительно

S

.

В этих условиях

A

′

называется математической моделью

объекта

A

относительно совокупности

S

его свойств.

2014

6 / 74

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо
класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью
математической символики. Математическое моделирование – метод
познания, прогнозирования, управления.

Обычно различают следующие

типы математических моделей.

1. Прямая задача,

когда по заданным локальным законам (физическим, химическим,
биологическим, экономическим и т.д.), действующим внутри
исследуемой системы, нужно ответить на вопрос,

как будет вести

себя система в целом

.

В этом случае все параметры исследуемой системы известны и
изучается поведение модели в различных условиях.

2014

7 / 74

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

2. Обратная задача –

определение параметров модели путем сопоставления наблюдаемых
данных и результатов моделирования.
По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессы
управляют поведением объекта, и находят определяющие параметры
модели.
В обратной задаче

требуется определить значения параметров

модели по известному поведению системы как целого

.

3. Проектирование управляющих систем.

Это совершенно особая область моделирования, которая имеет дело с
автоматизированными информационными системами и
автоматизированными системами управления.

2014

8 / 74

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Общая схема математического моделирования

построение

модели




y

реальный объект

⇃

содержательная модель

⇃

математическая модель

−→

решение математической задачи

x




истолкование

результатов

Первый этап – построение математической модели:

Исходя из реального объекта, формулируются интересующие нас
свойства на языке той или иной науки (механическая, физическая,
биологическая и т.п. модель) —

содержательная модель

.

Формулируются соответствующие

гипотезы

(

постулаты модели

).

На основе содержательной модели выписываются
соответствующие уравнения. Перевод на формальный
математический язык – переход к

математической модели

.

2014

9 / 74

Л.1. Понятие математической модели. Основные требования

Второй этап – изучение математической модели

(решение

полученной математической задачи).

Выбор метода и его реализация (включая разработку алгоритма и
компьютерный эксперимент)

!

Все элементы мат. модели являются метками реальных
элементов. Это позволяет в процессе решения мат. задачи
привлекать дополнительные сведения, позволяющие упростить
процесс решения или выделить требуемое решение из нескольких
возможных.

Третий этап – интерпретация результата исследования

математической модели.

Проверка, удовлетворяет ли модель критерию практики.
Может включать контроль правильности (

верификацию

) модели

на основе сравнения результата с другими известными фактами.

Анализ модели и ее модификация.

2014

10 / 74