ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1232
Скачиваний: 3
Л.5. Построение математической модели
8. Задачи на экстремум с конечным числом степеней
свободы
Два класса задач на экстремум:
задачи с конечным числом степеней свободы, для которых
искомыми являются
точка экстремума и экстремальное
значение функции
конечного числа аргументов
f
(
x
)
→
min
,
a
≤
x
≤
b
задачи на экстремум функционала, в которых искомой является
функция
(обычно говорят о
целевом функционале
).
f
(
y
) =
Z
b
a
F
(
x
,
y
(
x
)
,
y
′
(
x
))
dx
→
min
,
y
(
a
) =
y
a
,
y
(
b
) =
y
b
2014
61 / 74
Л.5. Построение математической модели
Метод наискорейшего спуска
f
(
x
,
y
,
z
)
→
min
Функция
f
определена при всех значениях своих аргументов и
непрерывна вместе со своими частными производными.
−
grad
f
=
−∇
f
= (
−
f
′
x
(
x
,
y
,
z
)
,
−
f
′
y
(
x
,
y
,
z
)
,
−
f
′
z
(
x
,
y
,
z
))
f
0
(
t
) =
f
(
x
0
−
k
0
f
′
x
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
t
,
y
0
−
k
0
f
′
y
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
t
,
z
0
−
k
0
f
′
z
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
t
)
M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
⇒
f
0
(
t
)
=
⇒
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
В точке
M
1
функция
f
минимальна вдоль линии (прямой)
наискорейшего спуска, определенной в точке
M
0
.
f
i
(
t
) =
f
(
x
i
−
k
i
f
′
x
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
t
,
y
i
−
k
i
f
′
y
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
t
,
z
i
−
k
i
f
′
z
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
t
)
M
i
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
=
⇒
f
i
(
t
)
=
⇒
M
i
+1
(
x
i
+1
,
y
i
+1
,
z
i
+1
)
k
i
=
|∇
f
|
M
i
−
1
2014
62 / 74
Л.5. Построение математической модели
Применяются другие методы спуска: покоординатный спуск, спуск
по случайным направлениям и др. Направление спуска может
непрерывно подправляться:
x
i
+1
=
x
i
−
k
i
f
′
x
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
h
Функция
f
может иметь несколько локальных минимумов.
Неформальные обсуждения и прикидки, позволяющие хотя бы
грубо нащупать искомую точку, весьма желательны.
Если задача на минимум содержит параметр, то можно, найдя
точку минимума при некотором начальном значении параметра,
последовательно ее перестраивать, совершая шаги по параметру.
2014
63 / 74
Л.5. Построение математической модели
Задачи на условный экстремум
Аргументы целевой функции связаны конечными уравнениями
(
связями
), причем число независимых связей должно быть меньше
числа аргументов.
f
(
x
,
y
,
z
)
→
min
,
g
(
x
,
y
,
z
) = 0
.
Одна связь,
3
−
1 = 2
степени свободы.
Наиболее благоприятен случай, когда совокупность уравнений
связи можно заменить эквивалентным параметрическим
представлением аргументов.
x
=
x
(
u
,
v
)
,
y
=
y
(
u
,
v
)
,
z
=
z
(
u
,
v
)
Тогда рассматриваемая задача сведется к задаче на безусловный
минимум
f
(
x
(
u
,
v
)
,
y
(
u
,
v
)
,
z
(
u
,
v
))
→
min
2014
64 / 74
Л.5. Построение математической модели
Экстремум с ограничениями
Задачи, в которых аргументы целевой функции связаны конечными
неравенствами (
высвобождающими связями
), число которых
может быть любым.
f
(
x
,
y
,
z
)
→
min
Пусть
V
– область пространства, определенная неравенствами:
h
1
(
x
,
y
,
z
)
≤
0
,
h
2
(
x
,
y
,
z
)
≤
0
(
∗
)
Пока (*) – строгие, используется градиентный метод в
простейшем варианте,
M
0
→
f
0
(
t
)
→
M
1
.
Пусть первое неравенство нарушилось (точка
M
1
вышла из
V
).
Необходимо спроецировать точку
M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
,
)
на поверхность
h
1
(
x
,
y
,
z
) = 0
:
h
1
(
x
1
+
h
′
1
x
(
M
0
)
t
,
y
1
+
h
′
1
y
(
M
0
)
t
,
z
1
+
h
′
1
z
(
M
0
)
t
) = 0
.
2014
65 / 74