ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1324
Скачиваний: 6
— 11 —
Сходимость в пространстве
s
.
Пусть
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
∈
s
и
x
n
= (
x
n
1
, x
n
2
, . . . , x
n
k
, . . .
)
∈
s
такие, что
при
n
→ ∞
ρ
(
x
n
, x
) =
∞
X
k
=1
|
x
n
k
−
x
k
|
2
k
(1 +
|
x
n
k
−
x
k
|
)
→
0
.
Для любого фиксированного
k
∈
N
|
x
n
k
−
x
k
|
2
k
(1 +
|
x
n
k
−
x
k
|
)
≤
ρ
(
x
n
, x
)
.
Для достаточно больших
n
∈
N
из последнего неравенства получим оценку
|
x
n
k
−
x
k
| ≤
2
k
ρ
(
x
n
, x
)
1
−
2
k
ρ
(
x
n
, x
)
.
Отсюда следует, что
|
x
n
k
−
x
k
| →
0
при
n
→ ∞
для любого
k
∈
N
, то есть из
сходимости по метрике следует покоординатная сходимость.
Проверим справедливость обратного утверждения. Возьмем
ε >
0
. Выбе-
рем
m
∈
N
такое, чтобы
P
∞
k
=
m
+1
1
/
(2
k
)
< ε/
2
. Тогда для всех
n
∈
N
ρ
(
x
n
, x
)
<
m
X
k
=1
|
x
n
k
−
x
k
|
2
k
(1 +
|
x
n
k
−
x
k
|
)
+
ε
2
.
Так как число слагаемых в сумме конечно и фиксировано, то в силу покоор-
динатной сходимости
(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)
h
m
X
k
=1
|
x
n
k
−
x
k
|
2
k
(1 +
|
x
n
k
−
x
k
|
<
ε
2
i
.
Таким образом,
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)[
ρ
(
x
n
, x
)
< ε
]
, то есть
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
при
n
→ ∞
. Итак, в пространстве
s
сходимость по метрике равносильна
сходимости покоординатной.
Замечание.
Нетрудно видеть, что в пространствах
l
p
(1
≤
p <
∞
)
и
m
из
сходимости по метрике следует покоординатная сходимость. Обратные утвер-
ждения, как получается при решении задач 4.3 и 4.4, неверны.
•
Задачи:
4.3. В каких из пространств
s
,
m
,
l
p
(
p
≥
1)
сходятся последовательности:
1)
x
n
= (1
,
2
, ..., n,
0
,
0
, ...
)
;
2)
x
n
= (1
,
1
, ...,
1
| {z }
n
,
0
,
0
, ...
)
;
3)
x
n
= (
n
−
1
, n
−
1
, ..., n
−
1
|
{z
}
n
,
0
,
0
, ...
)
;
4)
x
n
= (
n
−
1
, n
−
1
, ..., n
−
1
|
{z
}
n
2
,
0
,
0
, ...
)
?
— 12 —
4.4. Привести пример последовательности
{
x
n
}
, которая принадлежала бы
m
и
l
2
, сходилась в
m
и не сходилась в
l
2
.
§
5. Полнота метрических пространств
Пусть
{
X, ρ
}
– метрическое пространство. Последовательность
{
x
n
} ⊂
X
называется
фундаментальной
, если
(
∀
ε >
0)(
∃
N
∈
N
)(
∀
n, m
≥
N
)[
ρ
(
x
n
, x
m
)
< ε
]
или, что то же самое,
(
∀
ε >
0)(
∃
N
∈
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
p
≥
0)[
ρ
(
x
n
+
p
, x
n
)
< ε
]
.
Очевидно, что всякая сходящаяся последовательность является фундамен-
тальной. Обратное утверждение неверно. В качестве примера рассмотрим
множество рациональных чисел
Q
с метрикой
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
. Последова-
тельность рациональных чисел
x
n
= (1 + 1
/n
)
n
является фундаментальной,
но не сходится в пространстве
Q
.
•
Задачи:
5.1. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в метри-
ческом пространстве ограничена.
5.2. Пусть
{
x
n
}
– фундаментальная последовательность в метрическом
пространстве такая, что некоторая ее подпоследовательность
{
x
n
k
}
сходится
при
k
→ ∞
к элементу
x
0
. Доказать, что
x
n
→
x
0
.
5.3. Пусть последовательность
{
x
n
}
в метрическом пространстве такая,
что ряд
P
∞
k
=1
ρ
(
x
k
, x
k
+1
)
сходится. Доказать, что последовательность
{
x
n
}
фундаментальна.
5.4. Пусть
{
x
n
}
,
{
y
n
}
– фундаментальные последовательности в метри-
ческом пространстве. Доказать, что при
n
→ ∞
последовательность чисел
λ
n
=
ρ
(
x
n
, y
n
)
сходится.
Метрическое пространство называется
полным
, если всякая фундамен-
тальная последовательность в нем сходится. Соответственно, метрическое
пространство называется
неполным
, если в нем существует фундаменталь-
ная последовательность, которая не сходится.
Простейшим примером полного пространства является пространство ве-
щественных чисел
R
1
с метрикой
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
. Связано это с тем, что
свойство фундаментальности числовой последовательности означает необ-
ходимое и достаточное условие (критерий Коши) сходимости этой последо-
вательности. Пространство же рациональных чисел
Q
, с той же метрикой
ρ
(
x, y
) =
|
x
−
y
|
, является неполным.
— 13 —
Примеры полных метрических пространств.
1.
Дискретное
пространство полно. Следует из того, что всякая фунда-
ментальная последовательность в нем, начиная с некоторого номера, стаби-
лизируется.
2.
Пространство
R
n
p
, где
1
≤
p <
∞
. Пусть
{
x
m
} ⊂
R
n
p
— фундамен-
тальная последовательность. Здесь
x
m
= (
x
m
1
, x
m
2
, . . . , x
m
n
)
. Тогда
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
m
≥
N
)(
∀
q
≥
0)
h
ρ
(
x
m
+
q
, x
m
) =
³
n
X
k
=1
|
x
m
+
q
k
−
x
m
k
|
p
´
1
/p
< ε
i
.
Отсюда получим
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
m
≥
N
)(
∀
q
≥
0)(
∀
k
= 1
, n
)
h
|
x
m
+
q
k
−
x
m
k
|
< ε
i
.
Последнее означает, что для фиксированного
k
числовая последовательность
{
x
m
k
}
∞
m
=1
является фундаментальной в
R
1
и тогда она сходится. Следователь-
но,
(
∀
k
= 1
, n
)(
∃
x
k
∈
R
1
) [
x
k
= lim
m
→∞
x
m
k
]
.
Таким образом, определен элемент
(
x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
x
∈
R
n
p
, к которому
последовательность
{
x
m
}
сходится покоординатно. Но покоординатная схо-
димость в
R
n
p
равносильна сходимости по метрике, поэтому
ρ
(
x
m
, x
)
→
0
при
m
→ ∞
. Итак,
R
n
p
для
1
≤
p <
∞
– полное пространство.
♥
Аналогично доказывается полнота пространств
R
n
∞
и
C
n
p
для
1
≤
p
≤ ∞
.
Пространство
C
[
a, b
]
.
Пусть
{
x
n
} ⊂
C
[
a, b
]
— фундаментальная после-
довательность, то есть
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
p
≥
0)
h
ρ
(
x
n
+
p
, x
n
) = max
a
≤
t
≤
b
|
x
n
+
p
(
t
)
−
x
n
(
t
)
|
< ε
i
.
Последнее утверждение равносильно тому, что
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
p
≥
0)(
∀
t
∈
[
a, b
])
h
|
x
n
+
p
(
t
)
−
x
n
(
t
)
|
< ε
i
.
(11)
Следовательно, при фиксированном
t
∈
[
a, b
]
числовая последовательность
{
x
n
(
t
)
}
фундаментальна в
R
1
. Тогда определена функция
x
(
t
)
, которая явля-
ется поточечным пределом последовательности
{
x
n
(
t
)
}
. Теперь в (11)
p
→ ∞
.
Получим
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
t
∈
[
a, b
])
h
|
x
(
t
)
−
x
n
(
t
)
| ≤
ε
i
.
(12)
Выражение (12) означает, что функция
x
(
t
)
является равномерным пределом
последовательности
{
x
n
(
t
)
}
.
— 14 —
Покажем, что функция
x
(
t
)
непрерывна. Пусть
t
0
∈
[
a, b
]
. По
ε >
0
, ис-
пользуя (12), выберем
m
∈
N
такое, что
(
∀
t
∈
[
a, b
]) [
|
x
m
(
t
)
−
x
(
t
)
|
< ε/
3]
.
Выберем также
δ
=
δ
(
m
)
>
0
такое, что
(
∀
t
∈
[
a, b
]) [ (
|
t
−
t
0
|
< δ
)
→
(
|
x
m
(
t
0
)
−
x
m
(
t
)
|
< ε/
3)]
.
Тогда для
t
таких, что
|
t
−
t
0
|
< δ
выполнена оценка
|
x
(
t
)
−
x
(
t
0
)
| ≤ |
x
(
t
)
−
x
m
(
t
)
|
+
|
x
m
(
t
)
−
x
m
(
t
0
)
|
+
|
x
m
(
t
0
)
−
x
(
t
0
)
|
< ε.
Итак,
x
∈
C
[
a, b
]
. Осталось вспомнить, что в
C
[
a, b
]
сходимость по метрике
равносильна равномерной сходимости последовательности функций, то есть
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
при
n
→ ∞
.
♥
Пространство
l
p
(1
≤
p <
∞
)
.
Пусть
{
x
n
}
, где
x
n
= (
x
n
1
, x
n
2
, . . . , x
n
k
, . . .
)
,
— фундаментальная последовательность в
l
p
. Тогда
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
q
≥
0)
h
ρ
(
x
n
+
q
, x
n
) =
³
∞
X
k
=1
|
x
n
+
q
k
−
x
n
k
|
p
´
1
/p
< ε
i
.
Отсюда следует, что
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
q
≥
0)(
∀
k
)
h
|
x
n
+
q
k
−
x
n
k
|
< ε
i
.
Итак, для любого фиксированного
k
∈
N
числовая последовательность
{
x
n
k
}
сходится. Пусть
x
n
k
→
x
k
при
n
→ ∞
. Обозначим
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
.
Нужно показать:
а)
x
∈
l
p
, то есть
P
∞
k
=1
|
x
k
|
p
<
∞
;
б)
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
.
а) Зафиксируем
m
∈
N
. Тогда
(
∀
n
≥
N
)(
∀
q
≥
0)
h³
m
X
k
=1
|
x
n
+
q
k
−
x
n
k
|
p
´
1
/p
< ε
i
.
Перейдем к пределу при
q
→ ∞
. Получим
(
∀
n
≥
N
)
h³
m
X
k
=1
|
x
k
−
x
n
k
|
p
´
1
/p
≤
ε
i
.
(13)
Далее, фиксируя
n
≥
N
, установим оценку
³
m
X
k
=1
|
x
k
|
p
´
1
/p
≤
³
m
X
k
=1
|
x
k
−
x
n
k
|
p
´
1
/p
+
³
m
X
k
=1
|
x
n
k
|
p
´
1
/p
≤
ε
+
³
∞
X
k
=1
|
x
n
k
|
p
´
1
/p
=
c
(
ε, n
)
<
∞
,
из которой следует, что ряд
P
∞
k
=1
|
x
k
|
p
сходится и
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
∈
l
p
.
— 15 —
б) Из оценки (13), справедливой для всех
m
∈
N
и
n
≥
N
, при
m
→ ∞
получим
³
∞
X
k
=1
|
x
k
−
x
n
k
|
p
´
1
/p
≤
ε.
Итак,
ρ
(
x
n
, x
)
→
0
при
n
→ ∞
и полнота пространства
l
p
доказана.
♥
•
Задачи:
5.5. Доказать, что всякое метрическое пространство с конечным числом
элементов является полным.
5.6. Доказать полноту пространства
s
.
5.7. Доказать полноту пространства
m
.
Пространство
C
1
[
a, b
]
не является полным. Для простоты считаем, что
[
a, b
] = [
−
1
,
1]
. В пространстве
C
1
[
−
1
,
1]
рассмотрим последовательность
функций
x
n
(
t
) =
0
,
−
1
≤
t
≤
0
nt,
0
≤
t
≤
1
/n
1
,
1
/n
≤
t
≤
1
.
Фундаментальность последовательности
{
x
n
}
в
C
1
[
−
1
,
1]
следует из того, что
для всех
m
≥
n
при
n
→ ∞
ρ
(
x
n
, x
m
) =
Z
1
−
1
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
|
dt
=
Z
1
/n
0
|
x
n
(
t
)
−
x
m
(
t
)
|
dt <
1
2
n
→
0
.
Последовательность функций
{
x
n
}
на
[
−
1
,
1]
поточечно сходится к раз-
рывной функции
y
(
t
) =
(
0
,
−
1
≤
t
≤
0
1
,
0
< t
≤
1
.
Предположим, что существует функция
z
∈
C
1
[
−
1
,
1]
и
ρ
(
x
n
, z
)
→
0
при
n
→ ∞
. Тогда
Z
1
−
1
|
y
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt
≤
Z
1
−
1
|
y
(
t
)
−
x
n
(
t
)
|
dt
+
Z
1
−
1
|
x
n
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt
=
1
2
n
+
ρ
(
x
n
, z
)
→
0
при
n
→ ∞
.
Получили, что
R
1
−
1
|
y
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt
= 0
. Из равенства
0 =
Z
0
−
1
|
y
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt
+
Z
δ
0
|
y
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt
+
Z
1
δ
|
y
(
t
)
−
z
(
t
)
|
dt,