ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 17.04.2021
Просмотров: 1333
Скачиваний: 6
— 51 —
в)
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
г)
|
x
(
a
)
|
+
Z
b
a
|
x
0
(
t
)
|
dt
?
21.16. Показать, что в задачах 19.13 и 19.14 множества
M
n
, N
n
, N
1
явля-
ются подпространствами линейного нормированного пространства
l
2
.
Обсудим вопрос о пополнении линейного нормированного пространства.
Приведем без доказательства утверждение из [5, с.69].
Теорема 24.
Всякое линейное нормированное пространство
E
можно рас-
сматривать как линейное многообразие, плотное в некотором банаховом про-
странстве
F
.
Такое банахово пространство
F
, существующее в силу теоремы 1, называ-
ется пополнением линейного нормированного пространства
E
. Заметим, что
F
является для
E
метрическим пополнением относительно метрики, порож-
денной нормой пространства
E
.
§
22. Ряды в нормированных пространствах
Пусть
E
– линейное нормированное пространство и последовательность
{
x
k
}
∞
k
=1
⊂
E
. Формальное выражение
P
∞
k
=1
x
k
называется
рядом
в простран-
стве
E
.
Рассмотрим последовательность частичных сумм
{
S
n
}
∞
n
=1
⊂
E
, где
S
n
=
P
n
k
=1
x
k
. Если
S
n
→
S
∈
E
при
n
→ ∞
, то ряд
P
∞
k
=1
x
k
называется
сходя-
щимся
в пространстве
E
и считают, что
P
∞
k
=1
x
k
=
S
.
Теорема 25.
Пусть
E
– линейное нормированное пространство. Для того
чтобы ряд
P
∞
k
=1
x
k
сходился в
E
, необходимо, а в случае полноты простран-
ства
E
и достаточно, чтобы
(
∀
ε >
0)(
∃
N
)(
∀
n
≥
N
)(
∀
p
∈
N
)
h °
°
°
n
+
p
X
k
=
n
+1
x
k
°
°
°
< ε
i
.
(23)
Доказательство.
Необходимость. Пусть ряд сходится, то есть последова-
тельность
{
S
n
}
сходится. Тогда эта последовательность является фундамен-
тальной. Теперь (23) следует из равенства
k
S
n
+
p
−
S
n
k
=
k
P
n
+
p
k
=
n
+1
x
k
k
.
Достаточность. Пусть пространство
E
полное и выполняется (23). Тогда
из отмеченного выше равенства следует фундаментальность последователь-
ности частичных сумм
{
S
n
}
, что означает сходимость этой последовательно-
сти, а значит и ряда
P
∞
k
=1
x
k
.
♥
Простейшие свойства сходящихся рядов
в линейном нормиро-
ванном пространстве.
1.
Если ряд
P
∞
k
=1
x
k
сходится, то
x
k
→
Θ
при
k
→ ∞
.
— 52 —
2.
Если ряд
P
∞
k
=1
x
k
=
S
и ряд
P
∞
k
=1
y
k
=
P
, то для любых чисел
α
и
β
ряд
P
∞
k
=1
(
αx
k
+
βy
k
)
сходится и
P
∞
k
=1
(
αx
k
+
βy
k
) =
αS
+
βP
.
Доказательство
этих свойств рекомендуется провести самостоятельно.
Если в линейном нормированном пространстве
E
ряд
P
∞
k
=1
x
k
такой, что
сходится числовой ряд
P
∞
k
=1
k
x
k
k
, то ряд
P
∞
k
=1
x
k
называется
абсолютно схо-
дящимся
в
E
.
Теорема 26.
Пусть
E
– банахово пространство. Тогда всякий абсолютно
сходящийся в
E
ряд сходится в
E
.
Доказательство.
Пусть ряд
P
∞
k
=1
x
k
абсолютно сходится в
E
. Заметим,
что
(
∀
n
∈
N
)(
∀
p
∈
N
)
h °
°
°
n
+
p
X
k
=
n
+1
x
k
°
°
°
≤
n
+
p
X
k
=
n
+1
k
x
k
k
i
.
Теперь сходимость ряда
P
∞
k
=1
x
k
следует из сходимости ряда
P
∞
k
=1
k
x
k
k
и
теоремы 25.
♥
§
23. Фактор-пространство линейного нормированного пространства
Пусть
E
– линейное нормированное пространство и
L
0
– подпространство
E
, то есть является в
E
замкнутым линейным многообразием. Рассмотрим
фактор-множество
E/L
0
, которое, как было показано ранее, является линей-
ным пространством. Определим в
E/L
0
норму, положив для каждого класса
смежности
L
∈
E/L
0
k
L
k
= inf
x
∈
L
k
x
k
.
(24)
Покажем, что для (24) выполняются аксиомы нормы.
Первая аксиома.
Очевидно, что
k
L
k ≥
0
. Если
L
= Θ
∈
E/L
0
, то есть
L
=
L
0
, то
k
Θ
k
=
k
L
0
k
= inf
x
∈
L
0
k
x
k
= 0
.
Покажем, что если
k
L
k
= 0
, то
L
=
L
0
или
L
= Θ
∈
E/L
0
. Для этого
покажем, что всякий класс смежности
L
∈
E/L
0
является замкнутым мно-
жеством в
E
.
Действительно, пусть
x
0
∈
L
. Существует последовательность
{
x
n
} ⊂
L
такая, что
x
0
= lim
n
→∞
x
n
. Заметим, что
x
n
−
x
1
∈
L
0
. Тогда при
n
→ ∞
получим
x
n
−
x
1
→
x
0
−
x
1
∈
L
0
=
L
0
. Следовательно,
x
0
∈
[
x
1
] =
L
, то есть
L
=
L
.
Итак, пусть
k
L
k
= 0
. Тогда по определению точной нижней границы су-
ществует последовательность
{
x
n
} ⊂
L
такая, что
k
x
n
k →
0
при
n
→ ∞
.
Таким образом,
x
n
→
Θ
∈
L
=
L
. Получили, что
L
= [Θ] =
L
0
= Θ
∈
E/L
0
.
— 53 —
Вторая аксиома.
Если
λ
= 0
, то для любого
L
∈
E/L
0
получим
k
λL
k
=
k
Θ
k
= 0 =
|
λ
| k
L
k
. Пусть
λ
6
= 0
. Тогда для
L
∈
E/L
0
возьмем
класс смежности
λ L
=
{
λx
|
x
∈
L
}
. Следовательно,
k
λL
k
= inf
y
∈
λL
k
y
k
= inf
x
∈
L
k
λx
k
=
|
λ
|
inf
x
∈
L
k
x
k
=
|
λ
| k
L
k
.
Третья аксиома.
Пусть
L
1
, L
2
∈
E/L
0
. Зададим
ε >
0
. По определению
k
L
1
k
и
k
L
2
k
найдутся
x
0
1
∈
L
1
и
x
0
2
∈
L
2
такие, что
k
x
0
1
k
<
k
L
1
k
+
ε/
2
и
k
x
0
2
k
<
k
L
2
k
+
ε/
2
. Тогда
k
L
1
+
L
2
k
=
inf
x
∈
L
1
+
L
2
k
x
k
=
inf
x
1
∈
L
1
, x
2
∈
L
2
k
x
1
+
x
2
k ≤ k
x
0
1
+
x
0
2
k ≤
k
x
0
1
k
+
k
x
0
2
k
<
k
L
1
k
+
k
L
2
k
+
ε .
Так как
ε >
0
произвольно, то
k
L
1
+
L
2
k ≤ k
L
1
k
+
k
L
2
k
.
Установили, что выражение (24) является нормой в
E/L
0
.
Теорема 27.
Пусть
L
0
– подпространство банахова пространства
E
. Тогда
фактор-пространство
E/L
0
с нормой (2) является банаховым пространством.
Доказательство.
Пусть
{
L
n
}
– фундаментальная последовательность в
E/L
0
. Тогда
(
∃
n
1
∈
N
)(
∀
n
≥
n
1
)(
∀
m
≥
n
1
) [
k
L
n
−
L
m
k
<
1
/
2]
.
Зафиксируем
L
n
1
. Затем
(
∃
n
2
> n
1
)(
∀
n
≥
n
2
)(
∀
m
≥
n
2
) [
k
L
n
−
L
m
k
<
1
/
(2
2
)]
.
Зафиксируем
L
n
2
и, действуя далее подобным образом, получим подпоследо-
вательность
{
L
n
k
} ⊂ {
L
n
}
такую, что
(
∀
k
∈
N
) [
k
L
n
k
+1
−
L
n
k
k
<
1
/
(2
k
)]
.
Покажем, что
{
L
n
k
}
сходится в
E/L
0
при
k
→ ∞
. Добавим к
{
L
n
k
}
∞
k
=1
еще
L
n
0
=
L
0
. Выберем элементы
x
k
∈
L
n
k
+1
−
L
n
k
, где
k
= 0
,
1
,
2
, ...
, так,
что
k
x
k
k ≤
2
k
L
n
k
+1
−
L
n
k
k
. Рассмотрим ряд
P
∞
k
=1
x
k
. Покажем, что этот ряд
абсолютно сходится. Заметим, что
∞
X
k
=1
k
x
k
k ≤
∞
X
k
=1
1
2
k
−
1
=
∞
X
k
=0
1
2
k
= 2
.
Из полученной оценки и теоремы 3 следует сходимость ряда
P
∞
k
=1
x
k
, то есть
P
∞
k
=1
x
k
=
x
∈
E
. Определим класс смежности
[
x
] =
L
∈
E/L
0
. Из леммы 4
следует, что
N
−
1
X
k
=0
x
k
∈
N
−
1
X
k
=0
(
L
n
k
+1
−
L
n
k
) =
L
n
N
−
L
0
=
L
n
N
.
— 54 —
Поэтому при
N
→ ∞
k
L
−
L
n
N
k ≤
°
°
°
x
−
N
−
1
X
k
=0
x
k
°
°
°
=
°
°
°
∞
X
k
=
N
x
k
°
°
°
→
0
.
Таким образом,
L
n
N
→
L
∈
E/L
0
при
N
→ ∞
. Тогда (задача 5.2) и ис-
ходная последовательность
L
n
→
L
при
n
→ ∞
, то есть
E/L
0
– банахово
пространство.
♥
§
24. Эквивалентные нормы
Пусть в линейном пространстве
E
заданы две нормы:
k
x
k
1
и
k
x
k
2
. Эти две
нормы называются
эквивалентными
(обозначение
k
x
k
1
∼ k
x
k
2
), если
(
∃
m >
0)(
∃
M >
0)(
∀
x
∈
E
) [
m
k
x
k
2
≤ k
x
k
1
≤
M
k
x
k
2
]
.
Отношение эквивалентности норм, очевидно, удовлетворяет следующим
свойствам:
a)
k
x
k ∼ k
x
k
– рефлексивность;
б)
(
k
x
k
1
∼ k
x
k
2
)
−→
(
k
x
k
2
∼ k
x
k
1
)
– симметричность;
в)
(
k
x
k
1
∼ k
x
k
2
)
∧
(
k
x
k
2
∼ k
x
k
3
)
−→
(
k
x
k
1
∼ k
x
k
3
)
– транзитивность.
•
Задачи:
24.1. Доказать, непосредственно получая необходимые оценки, эквивалент-
ность в
R
n
норм:
k
x
k
1
,
k
x
k
2
,
k
x
k
∞
.
24.2. Доказать, что в пространстве
C
1
[
a, b
]
эквивалентны нормы :
а)
k
x
k
1
= max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
б)
k
x
k
2
=
|
x
(
a
)
|
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
,
в)
k
x
k
3
=
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt
+ max
a
≤
t
≤
b
|
x
0
(
t
)
|
?
Теорема 28.
Пусть в линейном пространстве
E
заданы эквивалентные
нормы
k
x
k
1
∼ k
x
k
2
. Тогда:
1) всякая последовательность
{
x
n
} ⊂
E
, фундаментальная в норме
k
x
k
1
,
будет фундаментальной и в норме
k
x
k
2
;
2) если
k
x
n
−
x
k
1
→
0
при
n
→ ∞
, то и
k
x
n
−
x
k
2
→
0
;
3) если
E
– линейное пространство с нормой
k
x
k
1
является банаховым
пространством, то и с нормой
k
x
k
2
пространство
E
является банаховым.
Доказательство
рекомендуется проделать в качестве упражнения.
•
Задача.
24.3. Доказать, что в линейном пространстве
C
[
a, b
]
не эквивалентны
— 55 —
нормы:
k
x
k
= max
a
≤
t
≤
b
|
x
(
t
)
|
,
k
x
k
1
=
Z
b
a
|
x
(
t
)
|
dt.
Теорема 29.
Во всяком конечномерном линейном нормированном про-
странстве любые нормы эквивалентны.
Доказательство.
Пусть
E
–
k
-мерное линейное нормированное простран-
ство. Следовательно,
E
=
L
(
e
1
, e
2
, ..., e
k
)
, где
{
e
i
}
k
i
=1
– базис в
E
. Пусть
x
∈
E
и
k
x
k
– одна из норм этого элемента. Разложим элемент
x
по базису:
x
=
P
k
i
=1
ξ
i
e
i
. Определим в
E
новую норму
k
x
k
2
= (
P
k
i
=1
|
ξ
i
|
2
)
1
/
2
. (Аксиомы
нормы рекомендуется проверить самостоятельно.) Покажем, что
k
x
k ∼ k
x
k
2
.
Оценка в одну сторону следует из аксиом нормы и неравенства Гельдера.
k
x
k
=
°
°
°
k
X
i
=1
ξ
i
e
i
°
°
°
≤
k
X
i
=1
|
ξ
i
| k
e
i
k ≤
³
k
X
i
=1
|
ξ
i
|
2
´
1
/
2
³
k
X
i
=1
k
e
i
k
2
´
1
/
2
=
M
k
x
k
2
,
где
M
= (
P
k
i
=1
k
e
i
k
2
)
1
/
2
. Получили
(
∀
x
∈
E
) [
k
x
k ≤
M
k
x
k
2
]
.
Установим обратное неравенство. Для вещественного пространства
E
оп-
ределим функцию
f
:
R
k
2
→
R
1
следующим образом:
f
(
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
k
) =
k
P
k
i
=1
ξ
i
e
i
k
.
Заметим, что для случая комплексного пространства
E
заданная формула
определяет функцию
f
:
C
k
2
→
R
1
. Функция
f
непрерывна, так как
|
f
(
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
k
)
−
f
(
η
1
, η
2
, ..., η
k
)
|
=
¯
¯
¯
°
°
°
k
X
i
=1
ξ
i
e
i
°
°
°
−
°
°
°
k
X
i
=1
η
i
e
i
°
°
°
¯
¯
¯
≤
°
°
°
k
X
i
=1
(
ξ
i
−
η
i
)
e
i
°
°
°
≤
M
³
k
X
i
=1
|
ξ
i
−
η
i
|
2
´
1
/
2
.
Рассмотрим функцию
f
на множестве
S
[Θ
,
1] =
{
(
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
k
)
|
P
k
i
=1
|
ξ
i
|
2
= 1
}
.
Это множество в
R
k
2
(
E
вещественное), либо в
C
k
2
(
E
комплексное), является
ограниченным и замкнутым, что следует из равенства
S
[Θ
,
1] =
B
[Θ
,
1]
∩
CB
(Θ
,
1)
. Тогда множество
S
[Θ
,
1]
является компактным. По теореме Вей-
ерштрасса функция
f
достигает на
S
[Θ
,
1]
свою точную нижнюю границу.
Следовательно,
³
∃
(
ξ
0
1
, ξ
0
2
, ..., ξ
0
k
)
∈
S
[Θ
,
1]
´ ³
∀
(
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
k
)
∈
S
[Θ
,
1]
´
h
f
(
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
k
)
≥
inf
S
[Θ
,
1]
f
(
ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
k
) =
f
(
ξ
0
1
, ξ
0
2
, ..., ξ
0
k
)
i
.