Файл: Лекции по теоретической метрологии.doc

перемешивания случайных (стохастических) результатов воспроизведения измеряемых величин и случайных погрешностей измерений этих величин. Дополнительные искажения могут внести неисключенные систематические составляющие, вне зависимости от источников их появления (возможны систематические изменения при многократном воспроизведении номинально одинаковых измеряемых величин и/или систематические погрешности измерений одной физической величины).

Статистическая обработка некоторых произвольных «исправленных» результатов (любых стохастически изменяющихся значений, будь то результаты измерений или результаты многократного воспроизведения номинально одинаковых величин) рассмотрена во многих литературных источниках. Корректно выполненная статистическая обработка «исправленных» результатов измерений отличается строгой постановкой задачи и соблюдением требований метрологической нормативной документации (ГОСТ 8.207-76, МИ 1317-86 и др.).

Статистическая обработка исправленных результатов прямых измерений

Подготовка массива результатов измерений к статистической обработке заключается в «исправлении результатов измерений». Задача-максимум состоит в исключении из результатов измерений всех систематических составляющих, задача минимум – в исключении переменных систематических составляющих. Следует признать, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляющие, а также всегда остаются неисключенные остатки систематических погрешностей. Методы выявления, оценки и исключения систематических погрешностей и методы оценки неисключенных остатков систематических погрешностей рассмотрены в соответствующем модуле.

Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же физической величины.

1. Расчет среднего арифметического значения X_ср(получение точечной оценки результата измерения)

_n

X_ср = Σ X_i.

^{i =1}

2. Расчет отклонений V_i результатов наблюдений от среднего арифметического

V_i = X_ср – X_i .

2a. Проверка правильности расчетов значений отклонений и среднего арифметического

---

_n

Σ V_i ≈ 0.

^{i =1}

Если сумма значимо отличается от нуля, то либо неправильно рассчитаны отклонения, либо среднее арифметическое значение и отклонения. Несущественные отклонения от нуля возможны из-за округления среднего арифметического.

3. Расчет оценки с к о результатов наблюдений

_________________________

˜ / _n

σ_X = √ [1/(n-1)] ∙ Σ (Xср – Xi) <sup>2

i =1</sup>

4. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

При n > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона ² (рекомендуется использовать при n > 100) или Мизеса-Смирнова ². При 15 < n < 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий (W).

Проверки по критериям согласия проводят при уровне значимости q от 10 % до 2 %. Принятые значения уровней значимости приводят в описании методики выполнения измерений или обработки результатов измерений.

При n ≤ 15 проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.

5. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

При наличии результатов, подозрительных на наличие грубой погрешности, определяют критерий ν для статистического отбраковывания экстремальных результатов X_extr и сравнивают его с критическим значением ν'

ν = ( |X_extr – X_ср| / σ) > ν'.

При нормальном распределении погрешностей можно применять упрощенную процедуру отбраковывания экстремальных отклонений, например, по критерию 3σ

|V_extr| > 3σ.

Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что проверяемый результат содержит грубую погрешность и должен исключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с п.1.

6. Расчет оценки среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки с к о среднего арифметического значения)

---

_˜˜ __

σ_Xср = σ_X /√ n

7. Расчет значения границы погрешности результата измерения Δ (по модулю)

Δ = t σ_Xср;

где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа результатов наблюдений n и принятой доверительной вероятности Р;

Р – доверительная вероятность.

Обычно принимают Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи – те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями, либо существенно затруднены возможности повторения измерительного эксперимента и т.д.

При наличии известных оценок частных неисключенных систематических составляющих погрешностей Θ_i рассчитывают границы неисключенной систематической составляющей погрешности

_{_________}

/_m

Θ = k √ Σ Θ_i² ,

^{i =1}

причем k принимают равным 1,1 при Р = 0,95 или 1,4 при Р = 0,99, если m > 4; при m < 4 k = f(m, l) – см. таблицу 1 или графики в ГОСТ 8.207-76, а

l = Θ₁/Θ₂,

где Θ₁ – максимальная систематическая составляющая погрешности,

Θ₂ – ближайшая к максимальной систематическая составляющая погрешности.

Таблица 1 – Значения k для различных l и m

l	m
	1	2	3
0,5 1,0 2,0...4,0 5,0...7,0	1,20 1,28 1,18 1,06	1,35 1,37 1,25 1,12	1,40 1,42 1,28 1,15

Пренебрежимо малыми по сравнению со случайной составляющей систематические погрешности считают при их значении менее 0,8σ_Xср. Случайной погрешностью пренебрегают по сравнению с неисключеной систематической составляющей при Θ > 8,0σ_Xср.

В случае промежуточных значений 0,8σ_Xср ≤ Θ ≤ 8,0σ

---

_Xср в качестве границы погрешности результата измерения принимают значение Δ, определяемое как результат компонирования распределений случайной и систематической погрешностей. В этом случае считают, что неисключенные систематические погрешности в результате их самопроизвольной рандомизации имеют равновероятное распределение (худший из возможных вариантов), а границу определяют из выражения

Δ = Кσ_u ,

где К– коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей.
________

_{˜ ˜ / m}

К = (t σ_Xср + Θ)/(σ_Xср + √ Σ Θ_i² /3 ) ,

^{i =1}

σ_u – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения, который вычисляют с использованием зависимости

_____________

_{/ ˜ m}

σ_u = ( √ σ²_Xср + Σ Θ_i² /3 ) .

^{i =1}

8. Запись результата измерения A в установленной форме

Q = X_ср ± Δ, Р,

где X_ср – точечная оценка результата измерений, рассчитанная как среднее арифметическое значение для всей серии наблюдений;

Δ – доверительная граница результата измерений, которую рассчитывают с использованием зависимостей ˜ ˜

Δ = t σ_Xср; или Δ = Кσ_u,

где t – коэффициент Стьюдента;

К – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

σ_u – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения при наличии случайной и неисключенной систематической погрешностей;

Р – доверительная вероятность.
Статистическая обработка результатов косвенных измерений

Порядок статистической обработки результатов косвенных измерений можно представить следующим образом:

1. Статистическая обработка результатов прямых измерений и нахождение X_{ср i} и σ_{ср i} .

2. Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки результата косвенных измерений)

Q = f(X_ср1, X_ср2,..., X

---

_{ср n}).

3. Определение оценки каждой частной погрешности с учетом ее весового коэффициента

E_Xi =k_iσ_{ср i} ,

где k_i = дf/дX_i

|X_i = X_{i ср}.

4. Определение оценки погрешности (среднего квадратического отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратического отклонения (оценка погрешности косвенного измерения) рассчитывается с учетом коэффициента корреляции R<sub>ij

___________________________</sub>

˜ / _{n n}

σ_Q = √ Σ (E_Xi)² + Σ R_ij E_i E_j ,

^{i =1 i,j =1}

Значение коэффициента корреляции R_ij можно рассчитать с использованием зависимости

Σ (X_i – X_iср) (X_j – X_jср)

R_ij = -------------------------------

n(n – 1) σ_i σ_j

При практическом отсутствии корреляции между величинами, получаемыми в результате прямых измерений, что имеет место, например, в независимых измерениях длин для определения объема или длин и массы для расчета плотности

_{_____________}

˜ / _n

σ_Q = √ Σ (E_Xi)<sup>2

i =1</sup>

5. Определение значения коэффициента Стьюдента t в зависимости от выбранной доверительной вероятности Р и запись результата косвенного измерения в установленной форме

Q = X_jр± tσ_Qi, Р = 0,...

Формы представления результатов измерений

Общая форма представления результата измерения в соответствии с требованиями МИ 1317–86 включает:

• 
  точечную оценку результата измерения;
  
• 
  характеристики погрешности результата измерения (или их статистические оценки);
  
• 
  указание условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей.
  

В качестве точечной оценки результата измерения при измерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии.

---