ЗАДАНИЯ

1. Одним из описанных выше численных методов проинтегрируйте широко используемую в статистике функцию erf(x) – функцию ошибок.

.

Величина x задается пользователем. Сравните результаты численного интегрирования с данными справочника по статистике.

2. Проинтегрируйте функции, интеграл которых можно вычислить аналитически, и сравните результаты численного и аналитического методов. В качестве примера можно взять функции f(x)=x² или f(x)=sin(x).

3. Зависимость мольной теплоемкости C_p некоторого гипотетического вещества от температуры задана формулой

Размерность C_p в соответствии с приведенной выше формулой при Т, стремящемся к бесконечности, C_p приближается к значению 3R. Рассчитайте по этой формуле энтальпию Н. Пусть Н=0 при Т=0. Составьте таблицу значений C_p и Н при разных температурах. При вычислении Н нижний предел интегрирования приравняйте нулю. Напоминаем:

4. Постройте график зависимости мольной теплоемкости металла по Дебаю C_p от величины z=Θ/T в интервале z от 0.01 до 3, если выражение для C_p задается следующей формулой:

5. Определить константу равновесия К⁰ при 733 К для реакции

3Н₂ + N₂ 2NH₃,

если , ,

, ,

а зависимости теплоемкостей от температуры выражаются следующим образом

,

,

.

6. Пусть дана одномерная волновая функция: , где N – нормировочный коэффициент, который выбирают так, чтобы выполнялось условие: . Для нормированной волновой функции интеграл перекрывания рассчитывают по формуле: , где - расстояние между атомами. Вычислите интегралы перекрывания при различных расстояниях между атомами.

II. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Нахождение корней уравнения - это одна из древнейших математических проблем, которая не потеряла своей остроты и в наши дни: она часто встречается в самых разнообразных отраслях науки и техники, в том числе и в химических науках и технологиях.

В общем случае, если имеется некоторая функция F(x), то бывает необходимо найти такие значения аргумента x, для которых

F(x)=0. (2.1)

Функция F(x) может быть алгебраической или трансцендентной. Будем предполагать, что она дифференцируема.

Функции, рассматриваемые далее, не имеют аналитических формул для своих корней в противоположность, например, квадратному уравнению. Поэтому приходится пользоваться приближенными методами нахождения корней, которые в основном состоят из двух этапов:

1. Отыскание приближенного значения корня.

2. Уточнения приближенного значения до некоторой степени точности.

Очень часто приближенное значение корня бывает известно из физико-химических соображений, в других случаях можно использовать графические методы оценки приближенного значения корня. Кроме того, существуют специальные методы нахождения приближенного корня для того практически важного случая, когда F(x) является полиномом.

---

Рассмотрим различные методы, относящиеся ко второму этапу нахождения корней уравнения - уточнению первоначального приближения. Численный метод, в котором производится последовательное, шаг за шагом, уточнение первоначального грубого приближения, называется методом итераций. Каждый шаг в таком методе называется итерацией. Если при последовательных итерациях получаются значения, которые все ближе и ближе приближаются к истинному значению корня, то говорят, что метод итераций сходится. В этом разделе будут рассмотрены несколько различных методов итераций для решения уравнений и рассмотрены условия их сходимости.

Следует подчеркнуть, что рассматриваемые методы относятся только к таким функциям F(x), которые непрерывны и дифференцируемы на отрезке нахождения корня.

2.1. Метод последовательных приближений (Метод простых итераций)

Предположим, что уравнение (1.1) переписано в виде

(2.2)

Это преобразование можно сделать различными путями. Например, если

(2.3)

где с0, то можно прибавить к правой и к левой частям x

(2.4)

Наконец, можно преобразовать уравнение к следующему виду:

(2.5)

Очевидно, что значения x, являющиеся корнями этого уравнения, равны .

Пусть x₀ - исходное приближение уравнения (2.2). Тогда в качестве следующего приближения примем

.

В качестве следующего приближения возьмем

.

Продолжая этот процесс дальше, в качестве n-го приближения необходимо положить

(2.6)

Геометрическое представление процесса нахождения коня уравнения (2.2) методом последовательных приближений показано на рис. 2.1 (a,b). Согласно рисунку в процессе решения находят точку пересечения кривых и .

Процесс нахождения корня сводится к следующим этапам:

1. Выбирается некоторое x₀, являющееся начальным приближением (приближенным значением корня).

2. Вычисляется значение f(x₀) (рис.2.1).

3. Для нахождения значения x₁ устанавливают точку пересечения функции с прямой параллельной оси абсцисс и проходящей через точку f(x₀) (рис. 2.1). Абсцисса этой точки - и есть первое приближение корня уравнения (2.2).

4. Значение находят, устанавливая точку пересечения функции с прямой параллельной оси абсцисс и проходящей через точку f(x₁).

5. Процесс повторяется в том же порядке и дальше. На рис. 2.1 последовательность операций показана стрелками. Из рисунка 2.1 видно, что последовательные значения x сходятся к точке пересечения x = a. Процесс останавливается при выполнении условия , где  - точность нахождения корня.

Достаточным условием сходимости метода последовательных приближений является накладываемое на значение производной функции ограничение

. (2.7)

Случай, когда производная функции положительна и меньше 1 иллюстрирует рис.2.1.a, а на рис.2.1.b показано нахождение корня методом последовательных приближений для функции, производная которой отрицательна и больше -1.

---

В случае метод расходится и значение корня найти невозможно. Следует обратить внимание, что неравенство (2.7) должно выполняться при всех значениях x_n, вычисляемых в ходе решения задачи. Если производная в некоторых точках x_i меньше, а в других точках x_j больше 1 по абсолютной величине, то процесс нахождения корня иногда будет сходиться, иногда расходиться, и в таком случае невозможно найти правильный корень.

2.2. Метод деления отрезка пополам (Метод дихотомии)

Иногда используют метод, который сводится к отысканию таких двух значений x_A и x_B , для которых на отрезке [x_A , x_B] функция F(x)из уравнения (2.1) непрерывна и ее значения в на границах этого отрезка имеют разные знаки, т.е. определяются такие x_A и x_B, которые удовлетворяют одному из условий:

F(x_A) < 0 и F(x_B) > 0,

F(x_A) > 0 и F(x_B) < 0,

или иначе оба условия можно задать неравенством

F(x_A)F(x_B) < 0. (2.8)

Тогда между x_A и x_B есть по крайней мере одна точка, где F(x)= 0. Тогда в качестве первого приближения можно принять

В качестве следующего приближения

,

где - границы нового отрезка, на котором выполняется условие F(x^*_A)F(x^*_B) < 0.

Продолжая процесс деления отрезка, границы нового отрезка задают перемещая соответствующую границу предыдущего отрезка в новое значение, так, чтобы F(x_A)F(x_n) > 0. или F(x_B) F(x_n) > 0.

Геометрическое представление процесса нахождения коня уравнения (2.1) методом дихотомии показано на рис. 2.2.

Процесс нахождения корня сводится к следующим этапам:

1. Находят отрезок области определения функции на котором функция непрерывна и меняет знак, т.е выполняется условие (2.8).

2. Находят первое значение корня уравнения (2.1).

. (2.9)

3. Проверяют условия равенства знаков функции в границах и в найденном приближенном значении корня и находят новые границы отрезка поиска решения.

Если F(x_A)F(x)> 0, то левая граница отрезка, отвечающая значению x_A переносится в значение x.

Если F(x_B)F(x)> 0, то правая граница отрезка, отвечающая значению x_B переносится в значение x.

4. Находят новое значение корня по (2.9).

5. Процесс повторяется в том же порядке дальше. На рис. 2.2 последовательность операций указана стрелкой. Из рисунка 2.2 видно, что последовательные значения x сходятся к точке пересечения x_A = x_B. Процесс останавливается при выполнении условия , где  - точность нахождения корня.

Метод дихотомии имеет единственный недостаток – трудность нахождения отрезка, на котором функция меняет знак, т.е. сложность первого этапа приближенного поиска корня.

2.3. Метод Секущих

Этот подход к приближенному нахождению корня уравнения (2.1) так же сводится к отысканию таких двух значений x_A и x_B , для которых на отрезке [x_A , x_B] функция F(x)непрерывна и ее значения в границах этого отрезка удовлетворяют условию (2.8).

Графическое представление поиска корня методом хорд показано на рис.2.3. На отрезке [x_A , x_B] через точки, соответствующие значениям функции в границах отрезка F(x_A) и F(x_B) проводят прямую (“хорду”). Точку пересечения этой прямой с осью абсцисс принимают за приближенное значение корня, которое находят из подобия треугольников ADC и CGB:

---

(2.10)

Процесс нахождения корня сводится к следующим этапам:

1. Находят отрезок области определения функции на котором функция непрерывна и меняет знак, т.е выполняется условие (2.8).

2. Находят первое значение корня уравнения по (2.10).

3. Проверяют условия равенства знаков функции в границах и в найденном приближенном значении корня и находят новые границы отрезка поиска решения путем переноса границы в которой знак функции совпадает со знаком функции в найденном по (2.10) приближенном значении корня.

4. Находят новое значение корня по (2.10).

5. Процесс повторяется в том же порядке дальше. Последовательные значения x_i сходятся к точке пересечения x_A = x_B. Процесс останавливается при выполнении условия , где  -точность нахождения корня.

2.4. Метод касательных (Ньютона-Рафсона)

Одним из наиболее распространенных методов определения корней уравнений является метод касательных (метод Ньютона-Рафсона).

Для нахождения коня уравнения (2.1) этим методом необходимо представлять приблизительное значение корня, т.е. задавать его начальное приближение x₀. В основе метода лежит разложение в ряд Тейлора функции F(x) в окрестности начального приближения x₀:

.

Касательная в точке x₀ задается при помощи двух членов ряда. Если x₀ находится близко от искомого корня, то разность ( x ‑ x₀) мала, и членами, содержащими вторую и выше производные, можно пренебречь. Тогда приближенно можно записать:

или . (2.11)

Геометрическое представление метода проиллюстрировано на рис.2.4. На интервале, где первая и вторая производные функции F(x)сохраняют постоянные знаки, выбирают начальное приближение корня x₀ уравнения (2.1). Через точку F(x₀) проводят касательную, уравнение которой:

.

Полагая, что y = 0, а x – точка пересечения касательной с осью абсцисс, можно ее значение рассчитать по (2.11). Используя в качестве следующего приближения полученное значение абсциссы точки пересечения касательной с осью 0X, повторяют нахождение нового значения корня согласно соотношению

до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность нахождения корня, т.е. .

Метод касательных дает наиболее быстро сходящийся метод, однако не лишен недостатков. Для нахождения корня этим способом необходимо найти значение производной. Так как не всегда возможно найти аналитическое выражение для производной F’(x), то в некоторых случаях на каждом шаге первую производную удобно вычислять по формуле:

Тогда корень уравнения вычисляют используя итерационную формулу

. (2.11*)

Процесс нахождения корня сводится к следующим этапам:

1. Выбирается некоторое x₀, являющееся начальным приближением (приближенным значением корня).

2. Вычисляется значение F(x₀) и F’(x₀), рис.2.4.

3. Проводят касательную к точке, отвечающей значению F(x₀).

4. З начение находят как точку пересечения касательной с осью абсцисс. Это соответствует нахождению коня из соотношения (2.11*).

5. Находят новое значение корня, проводя касательную в предыдущей точке.

6. Процесс повторяется в том же порядке дальше. Последовательные значения x_i сходятся к точке пересечения x = a. Процесс останавливается при выполнении условия , где  -точность нахождения корня.

---

Например. Пусть имеются некоторая слабая кислота (например, уксусная) и вода, которые диссоциируют по уравнениям:

Уравнение материального баланса в кислоте выглядит следующим образом:

.

Раствор электролита в целом электронейтрален, поэтому количество положительных и отрицательных зарядов ионов должно быть одинаково:

.

Исходя из вышеизложенного, зависимость концентрации протонов в растворе от исходной концентрации кислоты выражается соотношением:

.

Если K_a = 1,7710 ^‑5, а K_W = 1,0010 ^‑14 , а концентрация кислоты 0,0001 M, то решив уравнение, можно найти концентрацию ионов водорода в растворе кислоты заданной концентрации.

ЗАДАНИЯ

1. Теплота испарения этилового спирта описывается как функция от температуры на интервале температур от 10С до 150С следующим соотношением

.

Определить температуру, при которой поглощается следующее количество тепла: а) 886,3 Дж/г; б) 855,1 Дж/г; в) 818,4 Дж/г; г) 775,3 Дж/г.

2. Для проведения химической реакции в газовой фазе химические вещества были взяты в стехиометрических количествах. Реакция проводилась при постоянных давлении и температуре. Требуется вычислить равновесный состав смеси (в мольных процентах), если известен десятичный логарифм константы равновесия при этой температуре:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Пусть имеется раствор слабого электролита K₂A, который диссоциирует согласно реакции: . согласно закону разбавления Оствальда, это равновесие можно описать следующей формулой:

.

Рассчитайте степень диссоциации этого электролита при заданных K_C и C₀:

а) K_C  = 0.01, C₀ = 0.001; б) K_C  = 0.01, C₀ = 0.005; в) K_C  = 0.001, C₀ = 0.01.

4. Радиальная волновая функция R(r) 3s ‑ электрона в возбужденном атоме водорода имеет вид:

,

где r – расстояние между электроном и ядром (протоном) в ангстремах, c – нормирующий множитель, . При c = 1 и x = r/a₀ радиальная функция принимает вид: .

Найти значения корней уравнения и расстояний r на отрезке .

5. Найти состав эвтектической смеси бинарной системы, если в эвтектической точке выполняется условие

.

Температуры плавления чистых компонентов T₁ = 117.14 К, Т₂ = 435,47 К, а энтальпии их плавления H₁ = 27805 Дж , H₂ = 13600 Дж.

6. Зависимость константы скорости реакции по теории Эйринга описывается формулой:

,

где h_B – константа Больцмана; h – постоянная Планка.

Найдите температуру T, отвечающую следующим параметрам: k = 0,001 л/c; S^# = -11.8 кал/(мольK); H^# = 25000 кал/моль.

7. В системе протекает синтез монокристалла германия осаждением из газовой фазы. Необходимо рассчитать парциальные давления компонентов газовой фазы, если полное давление постоянно и равно 760 мм рт. ст., а в системе протекают реакции:

Если ввести обозначения: , , , то можно получить уравнение, решение которого позволит получить парциальные давления компонентов газовой фазы:

.

III. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

---

Смотрите также файлы

• 4. Изобразительное искусство западной европы.doc

• цветы изо.doc

• Istoria_evrointegratsii.doc

• DiplomatiaEvropy_SShA.doc

• IGPZS_Ivanov_Yu_A.doc