Когда говорят о решении системы линейных уравнений (СЛАУ), то имеют в виду, что дана система из N уравнений с N неизвестными, имеющая одно и только одно решение, которое и надо найти. В матричном виде это записывается, как Ax = b, где A - матрица размером nn, b и x - вектора с n компонентами. Вектор неизвестных умножается на матрицу коэффициентов и приравнивается к вектору правой части. Существует большое число методов решения задачи. Рассмотрим лишь некоторые из них.

3.1. Решение СЛАУ методом Гаусса

Метод Гаусса (обычный и модифицированный) - простейший метод, используемый на практике. Процедура решает неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

. (3.1)

Записывают расширенную матрицу из коэффициентов и свободных членов:

. (3.2)

Вначале находят отличный от нуля коэффициент при x₁ . Соответствующую строку матрицы переставляют с первой (если это необходимо). Получают матрицу с диагональным элементом a₁₁  отличным от нуля. Разделив элементы этой строки на диагональный элемент a₁₁ , получают:

.

При помощи этой строки исключают x₁  из исходной системы путем вычитания из последующих строк первой, умноженной на соответствующий элемент первого столбца:

Описанную выше процедуру применяют к остальным уравнениям системы. Операции повторяют требуемое число раз, пока не приводят систему к треугольному виду:

Теперь легко определить x_n , x_n-1 , ..., x₁ .

3.2. Решение СЛАУ методом Гаусса-Жордана

Метод Гаусса-Жордана позволяет решать систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (3.1).

Записывают расширенную матрицу из коэффициентов и свободных членов, состоящую из n строк и n+1 столбцов (3.2).

Вначале добиваются, чтобы диагональный i-тый элемент был отличен от нуля. Для этого соответствующую i-тую строку меняют местами со следующими за ней до тех пор, пока не будет найден ненулевой i-тый диагональный элемент. Если такой элемент найти не удается, то система уравнений не имеет единственного решения. Таким образом, добиваются получения матрицы с диагональными элементами отличными от нуля.

Строки расширенной матрицы системы (то же, что и уравнения) можно менять местами, корни при этом не меняются. Решение системы не изменится, если умножить правую и левую части каждого уравнения на любое число, отличное от нуля.

Деля элементы i-той строки на диагональный элемент a_ii , добиваются, чтобы i-тый диагональный элемент стал равен единице:

, где i = 1..n; j = 1..n+1.

Например, в случае, если i = 1, матрица примет вид:

.

Поскольку уравнения системы можно умножать на любые числа, а также складывать и вычитать, то элементы расширенной матрицы, стоящие в i-том столбце, кроме диагонального, можно обратить в 0. Для этого умножают i-тую строку на a_ki, где k  i, и произведение вычитают из k-той строки: . Например, если i = 1, а k = 2 матрица примет вид:

---

.

Аналогично поступают со всеми элементами первого столбца, кроме диагонального. Следующий шаг решения состоит в обнулении всех элементов столбцов, исключая диагональные, что приводит к следующему результату:

Таким образом, система принимает вид:

,

откуда нетрудно найти искомое решение.

Метод Гаусса-Жордана можно использовать для нахождения обратной матрицы. Для поиска значений элементов матрицы, обратной заданной

А(NN): этим методом, необходимо составить

расширенную матрицу размером n2n, дополнив исходную единичной n-мерной матрицей:

.

Над полученной расширенной матрицей совершают преобразования, описанные выше для случая решения системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана. В результате преобразований получают матрицу вида:

.

Полученная после преобразований по методу Гаусса-Жордана матрица будет содержать значения элементов матрицы обратной матрице А(nn) на месте дописанной ранее единичной матрицы.

Например. Закон сохранения материи в химических реакциях сводится к решению системы линейных уравнений. Для корректного составления системы линейных уравнений, описывающих химическую реакцию, необходимо выразит ее в виде матричного произведения: .

В прямоугольной матрице [A] каждая строка описывает атом, а каждый столбец – молекулу (см. таблицу 3.1). В векторе-столбце [S] число элементов равняется столбцов в матрице [A] и каждый элемент представляет собой «неизвестный» стехиометрический коэффициент соответствующей молекулы в суммарном преобразовании. Условно считают, что эти элементы положительны для продуктов и отрицательны для реагирующих веществ. Матрицу [A] называют стехиометрической.

Например, если в реакционной смеси показано присутствие HI, HCl, Cl₂, I₂, то возможные элементарные реакции между ними могут быть представлены матрицей описанной в таблице 3.1, а вектор-столбец будет иметь вид:

.

Таблица 3.1

Построение стехиометрической матрицы для реакционной смеси, содержащей HI, HCl, Cl₂, I₂.

Номер строки	Атом	Число соответствующих атомов в молекулах
		HI	Cl2	HCl	I2
1	H	1	0	1	0
2	Cl	0	2	1	0
3	I	1	0	0	2

Здесь  - стехиометрические коэффициенты, которые необходимо найти (₁ - для HI; ₂ - для HCl; ₃ - Cl₂,. ₄ –для I₂. Для определения [S] перемножим матрицы [S] и [A] и приравняем элементы полученного вектора столбца нулю:

.

В системе из трех уравнений с четырьмя неизвестными для решения одна переменная должна быть выбрана произвольно. Принимая ₄ = 1, получим ₁ = -2; ₂ = -1; ₃ = 3. Тогда конечная реакции имеет вид

2HI + Cl₂,= 2HCl + I₂.

3.3. Решение СЛАУ методом Крамера

Метод Крамера, как правило, используется только в теоретических исследованиях для доказательства принципиальной разрешимости исследуемых задач. На практике его не используют из-за низкой скорости работы.

---

Метод Крамера позволяет решать неоднородную систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (3.1).

Процедура поиска корней позволяет найти решение, если определитель основной матрицы коэффициентов A=(a_ij) не равен нулю. Для нахождения i-го корня ищут определитель, получаемый заменой i-того столбца матрицы А=(a_ij) на столбец значений правых частей уравнений:

для всех i = 1..n.

Тогда i-тый корень уравнения находят как

и

где ‑ алгебраическое дополнение a_ij.

Например, для матрицы размером 33 дополнение элемента a₁₂:

,

а определитель матрицы:

.

3.4. Итерационный метод решения системы линейных

алгебраических уравнений (метод Гаусса-Зейделя)

Приведенные выше методы решения СЛАУ носят конечный характер, что является их преимуществом. Однако во многих практических случаях системы уравнений предпочтительно решать итерационными методами, задав необходимую точность решения. Эти методы более удобны в их реализации с помощью вычислительных машин.

Рассмотрим систему из n уравнений c n неизвестными (3.1). По-прежнему полагают, что диагональные коэффициенты не равны нулю.

Задают начальное приближение решения системы уравнений: . Подставляют эти значения в первое уравнение и вычисляют первое приближение первого корня , используя нулевые приближения всех остальных корней. Затем находят первое приближение всех последующих корней, используя уже вычисленные первые приближения предыдущих и нулевые приближения последующих. Тогда k-тое приближение к решению задается формулой

.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все не станут достаточно близки к . Критерием близости можно, например, задать условие или , где определяют максимальное значение разности для всех i.

3.5. Решение системы нелинейных уравнений

При решении ряда задач и описания многих процессов нередко используют системы нелинейных уравнений. Линейные задачи являются частным случаем более сложных нелинейных задач и ее можно разрешить методами, предназначенными для нелинейных задач. Однако в большинстве случаев удобнее использовать методы описанные выше.

Для решения систем нелинейных уравнений можно применить метод Ньютона, используемый для решения к группе итерационных методов решения нелинейного уравнения с одним неизвестным. Чтобы найти приближенное решение уравнения вида , выбирается начальное приближение , которое потом уточняется по следующей итерационной формуле: .

Предполагается, что для системы уравнений вид итерационной формулы сохраняется:

, где ‑ вектор переменных,

‑ вектор значений функций,

‑ матрица Якоби,

‑ обращенная матрица Якоби, которую можно получить описанным ранее методом Гаусса-Жордана. В свою очередь, произведение находят как произведение двух матриц С = AB у которых число строк первой равно числу столбцов второй: (n ‑ число строк матрицы A и число столбцов матрицы B).

---

ЗАДАНИЯ

1. Даны нормированные масс-спектры (фиктивные) четырех углеводородов.

	12	13	14	15	16	24	25	26	27	28	29	30
CH4	1	3	12	100	25
C2H6			2	80		3	4	13	37	24	100	70
C2H4	4	7	48	13		2	7	21	18	100
C2H2	5	23	57	2		40	45	100

Даны интенсивности четырех различных смесей этих четырех углеводородов:

Высота пика	Смесь 1	Смесь 2	Смесь 3	Смесь 4
Масса 14	119	169	326	60
Масса 15	195	284	501	113
Масса 26	134	168	433	21
Масса 28	124	148	124	100

Исходя из приведенных данных, рассчитайте состав каждой смеси. (В этом задании калибровочные коэффициенты, связывающие интенсивности пиков с концентрациями соответствующих компонентов, также равны 1).

2. Определить концентрации четырех компонентов смеси помощью закона Бера. Толщину поглощающего слоя принять равной 1,0 см.

Длина волны	Молярный коэффициент поглощения, л/(мольсм)
	n-ксилол	м-ксилол	о-ксилол	этил-бензол	общее поглощение
12,5	1,5020	0,0514	0	0,0408	0,10130
13,0	0,0261	1,1516	0	0,0820	0,09943
13,4	0,0342	0,0355	2,5320	0,2933	0,21940
14,3	0,0340	0,0684	0	0,3470	0,03396

3. Для определения концентрации компонентов газовой смеси можно использовать масс-спектроскопию, если наблюдаемая высота пика является линейной функцией парциального давления:

, где H_i – наблюдаемая высота пика, n – число компонентов, S_ij – чувствительность прибора к j – тому газу при определенном значении m/e, измеренная для чистого газа, P_j – парциальное давление j – того газа. Рассчитать мольную долю каждого газа в следующих смесях.

а) Смесь углеводородов:

m/e	Чувствительность				Общая высота пика
	этилцикло- пентан	цикло- гексан	цикло- гептан	метил- цикло- гексан
69	121,00	22,40	27,10	23,00	87,60
83	9,35	4,61	20,70	100,00	58,80
84	1,38	74,90	1,30	6,57	47,20
98	20,20	0,00	32,80	43,80	100,00

б) Смесь водорода и углеводородов:

m/e	Чувствительность							Общая высота пика
	H2	CH4	C2H4	C2H6	C3H6	C3H8	n-C5H12
2	16,87	0,165	0,202	0,317	0,234	0,182	0,110	17,1
16	0	27,70	0,962	0,062	0,730	0,131	0,120	65,1
26	0	0	22,35	13,05	4,420	6,001	3,043	186,0
30	0	0	0	11,28	0	1,110	0,371	82,7
40	0	0	0	0	9,850	1,684	2,108	84,2
44	0	0	0	0	0,299	15,98	2,107	63,7
72	0	0	0	0	0	0	4,670	119,7

---

Полное давление в системе равно 3,9910^‑2 мм.рт.ст.

4. Даны четыре емкости с растворами кислоты различной концентрации. Если смешать растворы в определенном соотношении, то получится кислота заданной процентной концентрации:

Концентрация конечного раствора, %	Доля кислоты в общей смеси
	1, %	2, %	3, %	4, %
25	1	1	1	1
20	4	3	2	1
25	4	1	1	4
22	4	1	4	1

Найдите концентрации кислот в каждом сосуде: 1, 2, 3 и 4.

5. Пусть в некоторой системе одновременно протекают две химические реакции. Они характеризуются выходами U₁ и U₂. Зависимость выхода, выраженного в %, в достаточно узкой области описывается двумя линейными относительно четырех параметров уравнениями:

U₁ = 10 + 1∙C₁ ‑ 2∙C₂ + 2.0∙pH + 0.5∙(T -300);

U₂ = 15 ‑ 1∙C₁ ‑ 1∙C₂ + 1.2∙pH + 0.9∙(T -300);

T – температура в градусах Кельвина; C₁ – концентрация вещества 1, моль/л; C₂ ‑ концентрация вещества 2, моль/л.

Найти pH 4 и температуру в градусах Кельвина при C₁ = C₂ = 2 моль/л, если выходы в этих условиях составляют U₁ = 36% и U₂ = 51,8%.

6. Найти мольные доли компонентов раствора (H₂SO₄, HSO₄^-, SO₄^2-) для заданного pH и исходной концентрации кислоты, решив систему уравнений. Например, для С₀=0,1 и H=2.76.

Диссоциация кислоты по первой ступени H₂SO₄  H⁺ + HSO₄^-

описывается константой диссоциации: .

Диссоциация кислоты по второй ступени HSO₄^-  H⁺ + SO₄^2-

описывается константой диссоциации: .

Уравнение материального баланса: .

7. Зависимость температуры плавления бинарной металлической системы от ее состава описывается соотношениями.

Найти состав эвтектической смеси и температуру плавления эвтектического сплава, если температуры плавления чистых компонентов T₁ = 316.15 К, Т₂ = 235,45 К, а энтальпии их плавления H₁ = 17200 Дж , H₂ = 18800 Дж.

8. Дана следующая схема химических реакций: .

Скорость расходования и накопления вещества описывается формулой:

.

Скорость реакции измерена при четырех различных концентрациях и температурах (см. табл.). Рассчитать четыре параметра уравнения Аррениуса k₀₁, E₁, k₀₂, E₂.

[A]	[B]	T	w
1	1	300	1.96610‑3
1	2	310	-0.0975
2	1	320	0.2435
1	1	330	-0.06219

IV. ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть функция y = F(x) задана таблицей своих значений: , i = 0,1, ‑ n. Требуется найти многочлен фиксированной степени m, для которого минимально среднеквадратичное отклонение (СКО):

. (4.1)

Так как многочлен определяется своими коэффициентами, то фактически нужно подобрать набор коэффициентов , отвечающий минимуму функции

.

Используя необходимое условие экстремума, , k = 0,1,‑m формируют так называемую нормальную систему метода наименьших квадратов:

---

Смотрите также файлы

• 4. Изобразительное искусство западной европы.doc

• цветы изо.doc

• Istoria_evrointegratsii.doc

• DiplomatiaEvropy_SShA.doc

• IGPZS_Ivanov_Yu_A.doc