1) дифференциальные уравнения с заданными начальными условиями, как, например, в кинетических задачах;

2) краевая задача, когда известно значение функции или ее производных в определенных точках, а необходимо найти решение между точками;

3) задачи на собственные значения, когда необходимо подобрать параметр наилучшим образом соответствующий заданным краевым условиям.

Рассмотрим численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с одним начальным условием:

y = f(x,y), (5.3)

y(x₀) = y₀ (5.4)

Итак, уравнение (5.3) можно рассматривать как определение кривой через ее производную в координатной плоскости XY. В общем случае уравнению (5.3) удовлетворяет целое семейство кривых, начальное условие (5.4) позволяет выбрать из этого семейства одну определенную кривую, которая проходит через заданную точку (x₀,y₀). Таким образом, решение находится в виде функции y = F(x). Чтобы найти численные значения функции, необходимо просто подставить соответствующие значения x и вычислить y.

В основном существует две категории методов: а) одноступенчатые методы, в которых используется информация о самой кривой в одной точке и не производятся итерации; б) многоступенчатые, в которых следующую точку кривой можно найти итерационными процессами, задав точность вычисления.

5.1. Метод Эйлера решения обыкновенного

дифференциального уравнения первого порядка

Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Надо найти такую функцию , которая удовлетворяла бы как дифференциальному уравнению, так и начальному условию.

Выбирают число x настолько малым, чтобы для всех x в интервале (x₀,x₁), где , значения функции мало отличались от y₀ (функция непрерывна). Тогда для указанного интервала изменения x можно производную в левой части дифференциального уравнения заменить на близкое ей по величине отношение конечных приращений зависимой и независимой переменной: .

Из полученного соотношения выражают формулу, по которой находят y:

,

где есть значение производной y в точке . Иными словами, на этом участке кривая заменяется отрезком прямой (касательной к ней в начале участка).

Таким образом, при заданных значениях x₀ и y₀ можно вычислить искомое значение функции, двигаясь с малым шагом по x вплоть до заданного значения:

. (5.5)

Г еометрический смысл метода Эйлера представлен на рис.5.1. Ошибка определения y прямо пропорциональна длине шага и будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага x.

Из уравнения (5.3) можно записать:

.(5.6)

Если в интеграле (5.6) функцию принять постоянной и равной значению в точке x_i, то величина интеграл будет равна , так что формула (5.6) обращается в формулу (5.5).

Метод Эйлера не всегда дает практически требуемой точности вычислений, однако некоторая модификация алгоритма вычислений повышает точность искомых результатов. Рассмотрим вновь дифференциальное уравнение (5.3) с начальным условием (5.4). Если опять принять функцию постоянной и равной , но равной значению функции не в начале, а в середине участка.

---

Учитывая, что теперь x₁ является серединой отрезка (x₀,x₂), можно найти значение y₂ по формуле:

Так как , то . По найденному значению находят , после чего можно найти , рассматривая участок (x₁,x₃) и т.д.

Таким образом, получают формулу улучшенного метода Эйлера для i  1:

(5.7).

По этой формуле нельзя, однако, отыскать y₁. Для его нахождения используют соотношение (5.5).

5.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка

для решения уравнения первого порядка

Методы Рунге-Кутта обладают следующими отличительными признаками: 1) одноступенчатые; 2) согласуются с радом Тейлора до членов порядка h^P, где P – степень, различная для различных методов и называется порядком метода, а h = x – расстояние между точками; 3) не требуют вычисления производных, а требуют только вычисления значений самой функции. Следует отметить, что рассмотренный ранее метод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка, так как он согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h.

Одним из наиболее часто используемых методов интегрирования дифференциальных уравнений является метод Рунге-Кутта четвертого порядка. Из-за своего широкого применения его просто называют методом Рунге-Кутта. Для случая решения дифференциального уравнения первого порядка (5.3) этот метод сводится к следующим соотношениям:

,

где

Решение уравнения методом Рунге-Кутта приводит к уменьшению ошибки вычисления значения функции в точке x. Ошибка метода прямо пропорциональна четвертой степени шага по x:

5.3. Методы прогноза и коррекции

Отличительной чертой метода Рунге-Кутта является то, что при вычислении следующей точки (x_i+1,y_i+1) используется информация только о точке (x_i,y_i), но не о предыдущих. В методах второго и выше порядков вычисляются значения функции в одной или нескольких промежуточных точках. Наиболее рациональными оказываются методы, сочетающие в себе оба подхода. Такие методы объединены под названием методов прогноза и коррекции. В них сначала «предсказывается» значение y_i+1, а затем «корректируется» тем или иным методом. Процесс корректировки итерационный.

Ч тобы начать решение с помощью метода прогноза и коррекции, часто используют метод Рунге-Кутта. Например, если для прогноза можно взять формулу второго порядка: , где верхний индекс (0) обозначает исходное приближение к y_i+1, т.е. предсказанное значение. Геометрическая интерпретация прогноза представлена на рис. 5.2. Находят угол наклона касательной l₁ в точке (x_i,y_i), после чего через точку (x_i-1,y_i-1) проводится параллельная прямая l₂, и считают, что искомое предсказанное значение будет располагаться в точке пересечения прямой l₂ с ординатой x_i+1.

Для коррекции предсказанного значения усредняют тангенсы наклонов касательных в точках (l₃) и (l₁). Проводят линию l с полученным наклоном через точку и находят новое приближение из точки пересечения этой линии с ординатой (рис. 5.2). Это приближение называют скорректированным и находят из соотношения:

---

.

В общем случае, j – тое приближение к вычисляется по формуле:

для j = 1, 2, 3,… Итерационный процесс прекращается, когда для некоторого .

5.4. Решение систем дифференциальных уравнений

Методы, рассмотренные в данном разделе, легко можно обобщить для системы уравнений первого порядка. Кроме того, уравнения высших порядков можно свести к системе уравнений первого порядка. Например, уравнение второго порядка y = g(y, y, x) можно переписать в следующем виде:

где z – новая зависимая переменная, определяемая вторым уравнением. Таким образом получается система уравнений относительно y и z. Решение данной системы даст функцию и ее производную.

Пусть имеется n неизвестных функций , i = 1,…,n, которые описываются n дифференциальными уравнениями:

.

Начальные условия для системы уравнений первого порядка записываются следующим образом: . Запись системы в векторной форме позволяет упростить вычисления, поэтому вводят:

, , .

Тогда начальная задача для системы дифференциальных уравнений запишется в виде:

. (5.8)

Для решения данной системы могут быть применены методы Эйлера и Рунге-Кутта, описанные для решения дифференциального уравнения первого порядка с начальными условиями и заданным шагом изменения x.

Пример 1. Пусть имеется химическая реакция . Уравнение для скорости этой реакции можно записать соотношением: , где - концентрация к моменту времени t от начала реакции; k₁ , k₂ ‑ константы скорости первой и второй стадии процесса, соответственно; ‑ начальная концентрация соединения A. Необходимо найти зависимость от времени, если заданы начальные условия: . Решение данной задачи сводится к решению дифференциального уравнения, соответствующего кинетическому уравнению системы, с заданными начальными условиями. Решение это можно осуществить, например, методом Эйлера согласно (5.5), задав начальные значения времени и концентраций, а так же шаг интегрирования. Причем решение можно уточнять, уменьшая шаг.

Пример 2. Имеет место кинетическая система:. .

Начальные концентрации:  = 1.0;  = 0.0. Константы скорости k₁ = 10; k₂ = 5. Необходимо найти С_A(0.1) и С_В(0.1). Указанная кинетическая система описывается системой дифференциальных уравнений:

, которую можно привести к виду (5.8).

Если , , , и , то система принимает вид . Можно найти значения корней этой системы в виде таблицы значений концентраций компонентов A и B от времени с шагом . Решать полученную систему можно используя как метод Эйлера, так и метод Рунге-Кутта.

ЗАДАНИЯ

1. Степень радиоактивности пропорциональна количеству остающегося радиоактивного вещества. Дифференциальное уравнение, описывающее эту систему записывается в следующем виде: . При k = 0.01 и принимая, что начальная масса вещества г, найти сколько вещества останется в момент времени . Найдите решение численно с помощью: а) метода Эйлера при ; б) улучшенного метода Эйлера при ; в) метода Рунге-Кутта при ; г) метода прогноза и коррекции с , если известно, что ; д) метода прогноза и коррекции с , если известно, что .

---

2. Пусть скорость радиолиза вещества A пропорциональна заданной безразмерной величине – плотности излучения D.

. Уменьшение величины D приближенное описывается экспоненциальной функцией времени: . Параметры имеют следующие значения: . С помощью метода Эйлера найдите зависимость [A]/[A₀] от времени, задав ее таблично, и вычислите, какой станет [A] через бесконечно большой промежуток времени.

3. Химическая реакция протекает в термически изолированном сосуде. Дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации исходного вещества, имеет вид: . Для константы скорости k выполняется уравнение Аррениуса: . Температура в реакторе меняется в зависимости от степени превращения: , где H – величина, пропорциональная энтальпии реакции. Методом Рунге-Кутта найдите таблично заданную зависимость концентрации c от времени t для эндотермической и экзотермической реакции. Соответствующее дифференциальное уравнение можно получить из приведенных ранее уравнений. Решите аналогичную задачу для реакции второго порядка.

4. Дана реакция разложения a ‑ го порядка: . Тепловой эффект реакции равен H. Реактор помещен в термостат с температурой T_b. Количество тепла, передаваемое от реактора к термостату, пропорционально . Зависимость температуры в реакторе от времени можно описать следующим дифференциальным уравнением: . Величина H пропорциональна энтальпии реакции; D ‑ коэффициент теплопередачи через стенку реактора. Составьте систему дифференциальных уравнений, описывающую процессы в реакторе и напишите программу для решения соответствующей системы методом Эйлера. Найдите зависимость c от времени при заданных значениях параметров при начальном условии . Чтобы устранить трудности вычислений в случае сильно экзотермической реакции следует отрезок, ограниченный начальным и конечным значениями аргумента, разбить на очень большое число частичных отрезков.

5. При описании кинетики процессов растворения лекарственного препарата в определенном объеме жидкости различают твердое вещество F и уже растворенное L. При этом исходят из следующих упрощений: а) скорость расходования растворенного вещества пропорциональна количеству вещества, что соответствует реакции первого порядка; б) скорость растворения твердого вещества F пропорциональна величине F^a и разности , где ‑ растворимость препарата в данной жидкости. Этой модели соответствует система уравнений

.

Методом Рунге-Кутта рассчитайте зависимость скорости расходования лекарственного препарата при следующих значениях параметров: . Начальные условия: .

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Саутин С.Н. Мир компьютеров и химическая технология / С.Н. Саутин, А.Е. Пунин. – Л.: Химия, 1991. – 144 с.

2. Эберт К. Компьютеры. Применение в химии / К. Эберт, Х .Эдерер; Пер. с нем. ‑ М.: Мир, 1988. 416 с.

3. Мак-Кракен Д. Численные методы и программирование на фортране / Д. Мак-Кракен, У. Дорн; Пер. с англ. – М.: Мир, 1977. – 584 с.

4. Джонсон К. Численные методы в химии / К .Джонсон; Пер. с англ. – М.: Мир, 1983. – 504 с.

5. Бактнер Л.М. Математические методы в химической технике / Л.М. Бактнер, М.Е. Позин. – Л.: Химия, 1971. – 824 с.

6. ЭВМ помогает химии: Пер с англ./ Под ред. Г.Вернена, М.Шанона. – Л.: Химия, 1990. – 384 с.

7. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш; Пер. с англ. под ред. Х. Д. Икрамова.—М.: Мир, 1998.—575 c.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы: Учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. вузов / И. В. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. ‑  СПб.: Лаборатория базовых знаний, 2000.—622 с.

---

Составители: Протасова Ирина Валентиновна

Крысанов Вячеслав Александрович

Редактор Тихомирова Ольга Александровна

---

Смотрите также файлы

• 4. Изобразительное искусство западной европы.doc

• цветы изо.doc

• Istoria_evrointegratsii.doc

• DiplomatiaEvropy_SShA.doc

• IGPZS_Ivanov_Yu_A.doc