Файл: Методические указания к лабораторным работам для студентов специальности 140101.doc

, а в ячейке I19 вычислим значение критерия Бартлетта, введя формулу =1/I17*(D25*LN(I18)-G25). В итоге получаем значение критерия В=3,3870.

Затем в ячейку I20 запишем значение критерия Пирсона
χ²= 12,5960, найденное по табл. П 2.4 или с помощью функции ХИ2ОБР для  = 0,05 и ν = 6.

Так как В < ² = 12,6, то измерения признаются равноточными. Этот вывод записывается в ячейку А26.
Задание 3
Считаем, что во всех опытах проводилось по 4 опыта. Записываем в ячейку А28 заголовок Задание3. Далее определяем, что наибольший разброс данных (наибольшая дисперсия) наблюдался в первой серии опытов, копируем значение дисперсии в ячейку В29, в ячейку В30 из ячейки С25 переносим сумму дисперсий и в ячейке В31 по (4.13) вычисляем значение критерия Кохрена:

.

В ячейку В32 запишем значение G_кр=0,480, найденное по
табл. П 2.5 для  = 0,05, ν = n–1 = 3 и k = 7.

Так как , то признаем измерения равноточными и заносим этот вывод в ячейку А33.

Общий вид рабочего листа лабораторной работы №4 показан на рис. 4.1.


Рис. 4.1. Общий вид второй части лабораторной работы № 4
Лабораторная работа №5

Сглаживание результатов экспериментов

и построение парных линейных зависимостей

методом наименьших квадратов
Допустим, что для исследования взаимосвязи величин х и y были проведены n измерений и получен набор n пар значений x_i и y_i. Экспериментальные точки дают некоторый разброс относительно истинных значений, связанный с наличием случайных ошибок. При интерпретации этих данных необходимо ответить на следующие вопросы:

1. 
   Можно ли с заданной вероятностью утверждать, что существует связь между величинами x и y?
   
2. 
   Если связь существует, то какой вид функции
   

, (5.1)

описывает результаты эксперимента?

3. 
   Какие численные значения коэффициентов a,b,c,... функции (x) обеспечивают наилучшее согласование экспериментальных и расчетных данных?
   
4. 
   Согласуется ли с результатами эксперимента (адекватно ли математическое описание результатов) выбранный вид функции  (x) ?
   
5. 
   В каком диапазоне с заданной вероятностью находится математическое ожидание величины y(x)?
   

---

Экспериментальные данные желательно обработать так, чтобы по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x и вместе с тем сгладить отклонения, связанные с влиянием случайных неконтролируемых факторов. Задача сводится к выбору типа зависимости (5.1), чтобы эта зависимость в некотором смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные. Уравнение (5.1) называется уравнением регрессии, а параметры a, b, c … – коэффициентами регрессии.

Метод наименьших квадратов предполагает, что наилучшим приближением считается такое, при котором достигается минимум суммы квадратов отклонений расчетных и наблюдаемых значений y, то есть выполняется условие

(5.2)

где – значение y, рассчитанное по зависимости при x = x_i.

Следует заметить, что в данном случае величины x_i и y_i известны из опыта. При заданном виде функции сумма квадратов отклонений результатов эксперимента от линии регрессии (величина U) является только функцией параметров a,b,c..., т.е. U = U(a,b,c,...).

Необходимым условием минимума многопараметрической непрерывной функции на неограниченном диапазоне изменения параметров является равенство нулю частных производных по параметрам. Отсюда выполнение условия , представленного в виде

, (5.3)

будет обеспечено при

(5.4)

Количество уравнений в системе (5.4) равно количеству подлежащих определению параметров a, b, c,... Решая эту систему, можно найти значения параметров.

Еще раз отметим, что в общем виде эту систему решить нельзя, для этого необходимо задаться конкретным видом функции (x).

Наиболее часто в качестве уравнения регрессии используются алгебраические многочлены вида

---

ё (5.5)

Подставляя (5.5) и (5.3) в (5.4), получим систему уравнений для определения неизвестных параметров a и b:

, (5.6)

откуда, опуская индексы суммирования и проводя преобразования, получим систему из двух линейных уравнений:

. (5.7)

Решая систему (5.7) по правилу Крамера, получим

, (5.8)

. (5.9)

Вычисление коэффициентов по формулам (5.8) и (5.9) при ручной обработке экспериментальных данных целесообразно проводить в табличной форме (табл. 5.1).
Таблица 5.1 Методика первичной обработки результатов эксперимента

№№ опытов	x	y	x2	y2	xy	x+y	(x+y)2
1
2
3
…
n
	хi	yi	хi2	yi2	xiyi	(xi+yi)	(xi+yi)2

---

Для контроля правильности вычислений в табл. 5.1 используется выражение

. (5.10)

Разброс значений x_i и y_i относительно их средних значений определяется дисперсиями, которые рассчитываются по формулам:

(5.11)

. (5.12)

Качество аппроксимации оценивается по сумме квадратов отклонений экспериментальных значений y_i от рассчитанных по (5.5) . Мерой расхождения служит остаточная дисперсия

. (5.13)

Адекватность описания результатов эксперимента уравнением регрессии проверяется по критерию Фишера:

(5.14)

Полученное значение сравнивают с табличным F_кр,взятым из таблицы распределения Фишера по числу степеней свободы ν₁ = n₁-1,
ν₂ = n₂ - 1 и уровню значимости . При F > F_кр принимается, что уравнение регрессии соответствует результатам экспериментов, в противном случае уравнение регрессии признается неадекватным.

Представление результатов эксперимента уравнением (5.5) совершенно не означает, что между случайными величинами x и y действительно существует линейная зависимость. Для оценки меры линейной связи между двумя переменными используется коэффициент корреляции:

(5.15)

величина которого находится в пределах -1  r_xy  1. Для вычисления более удобно представить выражение (5.15) в виде:

. (5.16)

Знак коэффициента корреляции определяет направление изменения одной величины при изменении другой. При r_xy > 0 увеличение значения x приводит в среднем к увеличению y, при r_xy < 0 – к уменьшению y. Абсолютная величина r_xy определяет тесноту линейной связи между x и y

---

. При все значения y будут находиться на прямой, описываемой уравнением (5.5). При r_xy=0 величины x и y линейно независимы.

Поскольку значения величин x и y могут быть отягощены случайными погрешностями, то и параметры уравнения регрессии a и b, коэффициент регрессии r_xy и значения , рассчитываемые по найденному уравнению регрессии, также представляют собой случайные величины.

Для того чтобы коэффициент корреляции r_xy значимо отличался от нуля, необходимо выполнение условия:

(5.17)

Параметр t_кр определяется из таблицы t–распределения Стьюдента по числу степеней свободы и выбранному уровню значимости .

Доверительные интервалы, внутри которых с заданным уровнем значимости  находятся истинные значения оцениваемых параметров, определяются выражениями:

(5.18)

, (5.19)

где средние квадратичные отклонения рассчитываются по формулам:

, (5.20)

, (5.21)
откуда доверительные интервалы линии регрессии составят

. (5.22)
Задание на лабораторную работу
Для варианта исходных данных в табл. П 1.3:

– определить коэффициенты уравнения линейной регрессии;

– проверить адекватность регрессионного уравнения;

– определить коэффициент корреляции переменных х и у;

– оценить значимость коэффициента корреляции;

– найти доверительные интервалы коэффициентов и уравнения регрессии;

---