ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2474
Скачиваний: 1
.
3
1
3
3
2
x
7
1
x
2
lim
)
x
7
1
x
)(
4
x
(
)
4
x
(
2
lim
)
x
7
1
x
)(
4
x
(
)
x
7
(
1
x
lim
)
x
7
1
x
)(
4
x
(
)
x
7
1
x
)(
x
7
1
x
(
lim
4
x
4
x
4
x
4
x
3)
.
6
1
2
1
2
1
3
2
x
sin
2
x
sin
x
2
x
sin
lim
3
2
x
sin
x
2
x
sin
2
lim
3
1
0
0
x
sin
x
3
x
cos
1
lim
0
x
2
0
x
0
x
Применили следствия из первого замечательного предела.
4)
).
1
(
1
x
3
x
lim
2
x
x
Применим второй замечательный предел.
Сделаем замену
1
z
4
x
.
z
4
1
x
.
0
z
,
x
1
x
4
z
;
z
1
1
x
3
x
. Получим
.
e
)
z
1
(
lim
1
x
3
x
lim
4
1
z
4
0
z
2
x
x
Решите самостоятельно:
1.
.
5
4
)
1
)(
1
2
(
lim
2
4
3
1
x
x
x
x
x
x
2.
.
2
3
lim
2
3
1
x
x
x
x
x
3.
.
2
2
)
2
3
(
lim
2
3
2
2
1
x
x
x
x
x
x
4.
.
2
2
)
1
2
(
lim
2
3
2
2
1
x
x
x
x
x
x
5.
.
2
3
2
1
lim
4
x
x
x
6.
.
2
3
1
lim
3
8
x
x
x
7.
.
1
1
lim
3
2
1
x
x
x
8.
.
)
(
4
sin
)
sin
1
ln(
lim
0
x
x
x
9.
.
1
)
(
10
cos
1
lim
2
0
x
x
e
x
10.
.
3
sin
5
3
lim
2
0
x
x
x
x
11.
.
ln
1
lim
2
1
x
x
x
12.
.
ln
1
1
lim
2
1
x
x
x
x
13.
.
7
sin
3
cos
1
lim
2
x
x
x
14.
.
)
4
(
2
sin
1
lim
2
4
/
x
x
x
Задания для самосоятельного решения:
1. Найти пределы функций:
.
2
3
lim
)
4
;
5
3
lim
)
3
;
6
2
2
lim
)
2
6
2
2
7
4
lim
)
1
5
2
0
2
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
arctg
x
x
x
x
x
x
x
.
)
3
2
(
lim
)
4
;
sin
2
cos
cos
lim
)
3
;
5
9
1
lim
)
2
6
5
3
5
2
lim
)
1
2
3
3
0
5
2
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2. Вычислить:
1).
.
2
sin
lim
1
0
x
x
x
x
2).
.
3
2
lim
0
x
x
x
x
3).
.
4
sin
lim
)
2
/(
2
0
x
x
x
x
Непрерывность функции. Классификация точек разрыва
1. Классификация точек разрыва.
2. Исследование функции на непрерывность
Теоретическая часть
Непрерывность функции. Точки разрыва,
классификация точек разрыва
.
Рассмотрим вопрос о непрерывности функции, для этого проанализируем
рисунки 1−4.
На каждом рисунке изображен график некоторой функции
у=f(х).
y
f
(x)
0
а
x
0
а
Рис.2
x
y
0
а
x
y
f
(а)
x
y
f
(а)
0
а
Рис.1
Р
ис.3
Р
ис.4
На рис.1 в точке
а
функция не является непрерывной, так как в этой
точке не существует значения функции
f(а).
На рис.2 значение функции в
точке
а
существует, но
)
x
(
f
lim
а
x
не существует.Рис.3: в точке
а
значение
функции
f(х)
не существует и
)
x
(
f
lim
а
x
. Рис.4: функция
f(x)
имеет в
точке
а
значение и конечный предел, причем
f(a)
)
x
(
f
lim
а
x
.
Функция
f(х)
называется
непрерывной в точке,
если она в этой точке
определена и существует конечный предел, равный значению функции в этой
точке.
Функция является
непрерывной на некотором промежутке
, если она
непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Если в некоторой точке нарушено хотя бы одно условие непрерывности, то
данная точка называется
точкой разрыва функции
. Точки разрыва
функции могут быть 1 или 2 рода. Перед классификацией точек разрыва
введем понятие односторонних пределов функции:
)
x
(
f
lim
a
x
0
=
)
x
(
f
lim
a
x
a
x
-предел функции в точке
а
слева;
)
x
(
f
lim
a
x
0
=
)
x
(
f
lim
a
x
a
x
-предел функции в точке
а
справа.
Точки
разрыва
функции
1рода
Хотя бы один
из
односторонних
пределов не
существует или
равен
(рис3.)
Неустранимый
разрыв (скачок):
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
lim
a
x
a
x
0
0
о
дносторонние
пределы конечны,
но не равны между
собой (рис.2)
Устранимый
разрыв
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
lim
a
x
a
x
0
0
0
оба односторонних
предела существуют,
конечны и равны
между собой, но не
равны значению
функции в этой точке
(рис.1)
2 рода
Практическая часть:
1. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции:
3
x
при
x
3
x
1
при
)
x
1
(
1
x
при
x
1
)
x
(
f
2
.
Решение
Функция непрерывна в интервалах (-
, 1), (1, 3), (3,+
). Проверим
функцию на непрерывность в точках х
0
=1 и 3. Воспользуемся определением
непрерывности функции f(x) в точке х
0
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
0
0
x
x
0
x
x
0
0
.
1) х
0
=1
.
0
1
1
)
1
(
f
;
0
)
x
1
(
lim
)
x
(
f
lim
;
0
)
x
1
(
lim
)
x
(
f
lim
2
1
x
0
1
x
1
x
0
1
x
Следовательно функция непрерывна в точке х
0
=1.
2) х
0
=3.
.
4
)
3
1
(
)
3
(
f
;
3
x
lim
)
x
(
f
lim
;
4
)
x
1
(
lim
)
x
(
f
lim
2
3
x
0
3
x
2
3
x
0
3
x
Следовательно функция разрывна в точке х
0
=3.
Сделаем чертеж
2
1
0
1
2
3
4
5
6
2
1
1
2
3
4
5
6
7
2. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции
3
x
при
x
6
x
3
x
0
при
x
0
x
при
x
cos
)
x
(
f
2
.
Решение
Функция непрерывна в интервалах (-
, 0), (0, 3), (3,+
). Проверим
функцию на непрерывность в точках х
0
=0 и 3. Воспользуемся определением
непрерывности функции f(x) в точке х
0
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
0
0
x
x
0
x
x
0
0
.
1) х
0
=0
.
0
)
0
(
f
;
0
x
lim
)
x
(
f
lim
;
1
0
cos
x
cos
lim
)
x
(
f
lim
0
x
0
0
x
0
x
0
0
x
Следовательно функция разрывна в точке х
0
=0.
2) х
0
=3.
.
9
3
6
3
)
3
(
f
;
9
18
9
)
x
6
x
(
lim
)
x
(
f
lim
;
3
x
lim
)
x
(
f
lim
2
2
3
x
0
3
x
3
x
0
3
x
Следовательно функция разрывна в точке х
0
=3.
Сделаем чертеж
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
3. Найти точки разрыва функции, Построить график этой функции
3
x
при
10
x
6
x
3
x
0
при
x
2
0
x
при
x
cos
2
)
x
(
f
2
.
Решение
Функция непрерывна в интервалах (-
, 0), (0, 3), (3,+
). Проверим
функцию на непрерывность в точках х
0
=0 и 3. Воспользуемся определением
непрерывности функции f(x) в точке х
0
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
0
0
x
x
0
x
x
0
0
.