ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2021
Просмотров: 2494
Скачиваний: 1
1). Геометрическая прогрессия
(|q|<1)
∑bq
n
= b + b*q + ... = b/1-q
1). Геометрическая прогрессия
(q≥1)
∑bq
n
= b + b*q + ...
2). ∑(1/n
s
) = 1 + 1/2
s
+ 1/3
s
...=
(при S>1)
2). ∑(1/n
s
), S≤1
ПризнакДаламбера.
Теорема:
∑a
n
: а
n
≥0, и lim(a
n+1
/a
n
) = d => d<1 =>рядсходится
d>1 => ряд расходится
Определение:
Положительный ряд, члены которого больше, либо
равны соответствующих членов данного ряда, называется мажорантой.
Практическая часть:
1.Исследуйте числовой ряд на сходимость.
1
n
n
.
)!
n
2
(
)!
1
n
(
5
Решение:
Применим признак Даламбера.
Пусть
n
1
n
n
a
a
lim
P
, тогда если P<1, то ряд сходится; если P>1, то ряд
расходится; если P=1, то требуется дополнительное исследование.
Найдем:
.
)
n
2
2
)(
n
1
2
(
n
)
n
2
1
(
n
5
)
2
n
2
)(
1
n
2
(
)
2
n
(
5
)!
1
n
(
5
)!
n
2
(
)!
2
n
2
(
)!
2
n
(
5
a
a
2
n
1
n
n
1
n
1
0
)
n
2
2
)(
n
1
2
(
n
)
n
2
1
(
5
lim
P
n
, Следовательно, ряд сходится.
2
. Исследуйте числовой ряд на сходимость.
1
n
n
2
.
)!
2
n
(
3
n
Решение:
Применим признак Даламбера.
Пусть
n
1
n
n
a
a
lim
P
, тогда если P<1, то ряд сходится; если P>1, то ряд
расходится; если P=1, то требуется дополнительное исследование.
Найдем:
.
)
n
3
1
(
n
)
n
1
n
2
1
(
n
3
n
)
3
n
(
)
1
n
2
n
(
3
2
n
)!
2
n
(
)!
3
n
(
3
)
1
n
(
a
a
3
2
2
2
2
n
2
1
n
2
n
1
n
1
0
)
n
3
1
(
n
)
n
1
n
2
1
(
3
lim
P
2
n
, Следовательно, ряд сходится.
3. Исследуйте числовой ряд на сходимость.
1
n
2
2
.
n
n
sin
Решение:
Применим признак сравнения. Пусть
2
n
2
2
n
n
1
b
;
n
n
sin
a
.
Очевидно,
что
а
n
b
n
. Ряд
1
n
2
n
1
- это обобщенный гармонический ряд
1
n
s
n
1
. Так как
s=2>1, то ряд
1
n
n
b
сходится. По признаку сравнения ряд
1
n
n
а
тоже
сходится.
Ответ: Ряд сходится.
4. Исследуйте числовой ряд на сходимость.
1
n
2
2
.
n
n
sin
Решение:
Применим признак сравнения. Пусть
2
n
2
2
n
n
1
b
;
n
n
sin
a
.
Очевидно,
что
а
n
b
n
. Ряд
1
n
2
n
1
- это обобщенный гармонический ряд
1
n
s
n
1
. Так как
s=2>1, то ряд
1
n
n
b
сходится. По признаку сравнения ряд
1
n
n
а
тоже
сходится.
Ответ: Ряд сходится.
5. Исследуйте числовой ряд на сходимость.
1
n
n
n
.
1
n
2
1
n
5
3
1
Решение:
Применим признак Коши.
Пусть
n
n
n
a
lim
l
, тогда если l<1, то ряд сходится; если l>1, то ряд
расходится; если l=1, то требуется дополнительное исследование.
Найдем:
.
1
6
5
)
1
6
(
)
1
5
(
lim
1
2
1
5
3
1
lim
1
2
1
5
3
1
lim
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
l
Следовательно, ряд сходится
1. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения.
Указать общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
2. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера:
3. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:
Задания для самосоятельного решения:
1. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения. Указать
общий член ряда, с которым сравнивается данный ряд.
2. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Даламбера:
3. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:
Произвольные ряды. Абсолютно сходящиеся ряды.
Знакочередующиеся ряды, их свойства и приложения
1. Положительные числовые ряды, достаточные признаки
сходимости положительных рядов.
2. Знакочередующиеся ряды и их свойства.
3. Приближенные вычисления с помощью рядов.
4. Исследование произвольных рядов на сходимость.
Теоретическая часть:
Признак Коши
Теорема:
∑a
n
: а
n
≥0, и lim
n
√a
n
= с => c<1 – ряд сходится
c>1 – ряд расходится
Интегральный признак сходимости Коши.
∞ ∞
Теорема:
∑a
n
= ∑ f(n); f(n)>0, и f(x)≥0 – убывающая
n=1 n=1
и непрерывная на [1;+∞) =>
+ ∞
1). Если ∫ f(x)dx – сходится => ряд сходится;
1
+ ∞
2). Если ∫ f(x)dx – расходится => ряд расходится.
1
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Определение:
∑a
n
, называется условно сходящимся <=>
∑a
n
– сходится, а ∑|a
n
| - расходится.
Теорема 1:
∑a
n
– сходится и ∑a
n
= А, то члены этого ряда можно
произвольно объединять в скобки, и от этого сумма ряда не изменится.
Обратная теорема неверна:
Теорема 2:
∑a
n
= А и a
n
>0 => ∑
|
a
|
n
= A (теорема Дирихле):
Знакочередующиеся ряды.
Рассмотрим: C1-C2+C3-C4+....+(-1)
n+1
C
n
+ ..., C
n
>0,
1). C
n
>C
n+1
>0,
∞
Теорема Лейбница:
∑(-1)
n+1
C
n
и =>S =∑(-1)
n+1
C
n
2). limC
n
=0
n=1
Следствие:
1) сумма знакочередующегося ряда не превосходит модуля
первого слагаемого.
2)модуль
остатка
знакочередующегося
ряда
не
превосходит модуля первого оставшегося члена.
Ряды с произвольными членами
Теорема:
∑a
n
, и ∑|a
n
| - сходится =>∑a
n
– сходится.
Определение:
∑a
n
, называется абсолютно сходящимся рядом <=>
∑|a
n
| - сходится.
|
Практическая часть:
1. Исследуйте числовой ряд на сходимость.
2
n
2
.
n
ln
n
1
Решение:
Применим интегральный признак. Рассмотрим несобственный
интеграл
.
2
ln
1
b
ln
1
2
ln
1
lim
2
b
x
ln
1
lim
x
ln
)
x
(ln
d
lim
x
ln
x
dx
b
b
b
2
2
b
2
2