ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.06.2021
Просмотров: 1047
Скачиваний: 3
18
2
1
x
y
.
Полученное уравнение представляет собой параболу, у кото-
рой ось лежит на оси 0x, ветви направлены в положительном
направлении оси 0х.
Траектория результирующего колебания точки представляет
собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника ам-
плитуд со сторонами 2A
1
, 2A
2
.
Для построения траектории найдем значения y, соответствую-
щие ряду значений x.
х
–1
0
1
у
0
7
,
0
2
1
±1
Определим направление движения.
В начальный момент при t
0 имеем: x
1, y
1. Точка нахо-
дится в положении
а
.
При t
1 с получим x
– 1, y
0. Материальная точка нахо-
дится в вершине параболы
b
.
При t
2 с получим x
1, y
– 1. Материальная точка нахо-
дится в положении
c
.
После этого она будет двигаться в обратном направлении.
Ответ:
2
1
x
y
.
19
1.3. Волны в упругой среде.
Рекомендуется изучить §§ 93-98 учебного пособия И.В. Саве-
льева "Курс общей физики", т.2. М. Наука, 1982 г.
Процесс распространения колебаний в упругой среде называ-
ется волной. В волновом процессе имеет место следующее соот-
ношение:
= vT,
где
– длина волны,
Т – период колебаний,
v – скорость распространения волны (фазовая скорость).
Уравнение плоской волны имеет вид:
)
kr
t
cos(
A
v
r
t
cos
A
s
,
где s – смещение колеблющейся точки от положения равновесия,
A – амплитуда колебаний,
– частота колебаний,
2
v
k
– волновое число,
r – расстояние, пройденное волной от источника колебаний
до рассматриваемой точки.
Разность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на рас-
стояниях r
1
и r
2
, от источника колебаний, равна:
2
r
r
2
1
2
1
2
,
где
1
2
r
r
– разность хода волн.
Уравнение стоячей волны:
)
t
cos(
)
kr
cos(
A
2
s
,
где
и
– постоянные, которые определяются начальными и
граничными условиями
)
kr
cos(
A
2
)
r
(
A
.
в
.
ст
– амплитуда стоячей волны,
)
t
(
)
t
(
.
в
.
ст
– фаза стоячей волны.
20
Пример 7.
Плоская монохроматическая волна распространяется
вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси
0x в среде, не поглощающей энергию, со скоростью v
15 м/с.
Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях x
1
5 м и
x
2
5,5 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз
/5. Амплитуда волны A
0,04 м. Определить: 1) длину
волны
, 2) уравнение волны, 3) смещение s
1
первой точки в мо-
мент времени t
1
3 с.
Решение:
Уравнение плоской монохроматической волны,
распространяющейся вдоль оси x имеет вид:
x
2
t
cos
A
v
x
t
cos
A
s
,
где s – смещение колеблющейся точки,
A – амплитуда волны,
x
2
t
– фаза волны,
T
2
– циклическая частота колебаний,
vT – длина волны (наименьшее расстояние между точка-
ми волны, колебания которых отличаются по фазе на 2
).
Разность фаз колебаний двух точек волны:
1
2
x
x
2
.
Отсюда:
)
м
(
5
)
5
5
,
5
·(
5
2
)
x
x
(
2
1
2
.
T
2
,
v
T
.
Следовательно:
6
5
15
·
2
v
2
T
2
.
21
Искомое уравнение волны:
x
5
2
t
6
cos
04
,
0
s
.
Смещение первой точки в момент времени t
1
3 с:
)
м
(
04
,
0
5
·
5
2
3
6
cos
04
,
0
s
1
.
Ответ: 1)
= 5 м, 2)
x
5
2
t
6
cos
04
,
0
s
, 3) s
1
= 0,04 м.
Пример 8.
Один конец упругого стержня длиной L соединен с
источником гармонических колебаний s(t)
A sin
t. Другой ко-
нец жестко закреплен. Определить характер колебаний в любой
точке стержня. Найти координаты точек стержня, в которых ам-
плитуда колебаний минимальна и максимальна.
Решение:
Колебания от источника колебаний (x
0) бу-
дут распространяться вдоль стержня, т.е. вдоль
стержня (вдоль оси x) будет распространяться
упругая волна частоты
со скоростью v. Дойдя
до места закрепления волна отразится, при этом
ее фаза меняется на
(жесткое закрепление).
До точки с координатой х отраженная волна проходит путь:
r = L + (L –x) = 2L – x.
Уравнение падающей волны:
kx
t
sin
A
v
x
t
sin
A
t
,
x
s
0
1
,
где
2
v
k
– волновое число,
– длина волны.
Уравнение отраженной волны:
Дано:
v
15 м/с
x
1
5 м
x
2
5,5 м
/5
A
0,04 м
t
1
3 с
1)
= ?
2) s(x,t) = ?
3) s
1
= ?
Дано:
s(t)
Asin
t
s(L,t)
0
s(х,t)
?
x
min
= ?
x
max
= ?
kL
2
kx
t
sin
A
x
L
2
k
t
sin
A
t
,
x
s
2
,
kL
2
kx
t
sin
A
s
2
.
22
Наложение падающей и отраженной волн образуют стоячую
волну, которая и определяет характер колебаний в любой точке
стержня:
kL
2
kx
t
sin
A
kx
t
sin
A
)
t
,
x
(
s
)
t
,
x
(
s
t
,
x
s
2
1
)
kL
t
cos(
)
x
L
(
k
sin
A
2
.
Амплитуда стоячей волны:
)
x
L
(
k
sin
A
2
)
x
(
A
.
в
.
ст
.
Амплитуда колебаний точек зависит от их координаты x.
Найдем координаты узлов, т.е. точек где амплитуда колебаний
минимальна.
A
ст.в
.
0,
если:
k(L-x)
m
, (m
0, 1, 2, ...).
m
)
x
L
(
2
,
2
m
L
x
min
.
Найдем координаты пучностей, т.е. точек где амплитуда коле-
баний максимальна.
A
ст.в
.
2А,
если:
2
)
1
m
2
(
)
x
L
(
k
, (m
0, 1, 2, ...).
2
)
1
m
2
(
)
x
L
(
2
,
4
)
1
m
2
(
L
x
max
.
Ответ:
)
kL
t
cos(
)
x
L
(
k
sin
A
2
)
t
,
x
(
s
,
2
m
L
x
min
, m
0, 1, 2, ... ,
4
)
1
m
2
(
L
x
max
, m
0, 1, 2, ... .
23
2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА.
2.1. Интерференция света.
Для решения задач по этой теме нужно изучить по учебному по-
собию И. В. Савельева "Курс общей физики", т.2, §§119-122.
Интерференция волн возможна лишь в случае, если волны ко-
герентные. Обычно два любых независимых источника света не
являются когерентными. Когерентные световые волны можно
получить, разделив с помощью некоторой оптической системы
волну, излучаемую одним источником, на две части. Соответ-
ствующие две волны, пройдя различные оптические пути, накла-
дываются, создавая интерференционную картину.
Задачи на интерференцию света делятся в основном на две
группы.
К задачам первой группы относятся случаи интерференции,
полученной с помощью зеркала Ллойда, зеркал Френеля, в опыте
Юнга и др. В этих задачах нередко для расчета интерференцион-
ной картины удобно данную оптическую систему заменить дру-
гой, эквивалентной, считая при этом, что имеется не один, а два
когерентных источника (примеры 9, 10).
Вторую группу составляют задачи на интерференцию в пло-
скопараллельных, клинообразных тонких слоях, а также задачи
на кольца Ньютона. При решении этих задач следует обратить
внимание на то, что разность фаз когерентных волн при встрече,
а следовательно, результат интерференции, обусловлены двумя
причинами: оптической разностью хода и условиями отражения
обеих волн.
Если отражение происходит от границы с оптически более
плотной средой, фаза волны претерпевает изменение на
.
Если отражение происходит от границы с оптически менее
плотной средой, то скачка фазы не происходит.
24
Пример 9.
Источник монохроматического света (
= 0,5 мкм) и
плоское зеркало М расположены, как показано на рисунке. Опре-
делить: 1) что будет наблюдаться на экране в точке Р, где сходят-
ся лучи SP и S
1
МP – усиление или ослабление освещенности, ес-
ли SP = L = 1 м, и
а
= 2 мм, SМ = МР, 2) как изменится освещен-
ность в точке Р, если на пути луча SP перпендикулярно к нему
поместить плоскопараллельную пластинку стекла (n = 1,55) тол-
щиной h = 6 мкм?
Решение:
Источник света S и его изображение в зеркале S
1
можно рас-
сматривать как два источника когерентных волн, идущих по
направлениям SP и S
1
МP. В результате их наложении в точке
экрана Р будет наблюдаться интерференция, т.е. либо усиление,
либо ослабление освещенности.
Условие ослабления или усиления света определяется величи-
ной оптической разности хода волн
.
Если разность хода кратна нечетному числу длин полуволн,
т.е.
2
)
1
m
2
(
, где m = 0, 1, 2, ..., то наблюдается минимум
освещенности, если
2
m
2
, т.е. кратна четному числу длин
полуволн, то наблюдается максимум освещенности.
1) Рассмотрим оптическую разность хода в первом случае. Так
как волны идут в воздухе, то можно считать оптическую длину
пути равной геометрической длине пути.
25
Путь первой волны:
SP = L.
Путь второй волны:
2
2
2
2
1
L
d
1
L
d
L
MP
S
.
Геометрическая разность хода рассматриваемых волн:
1
L
d
1
L
L
L
d
1
L
2
2
2
2
.
геом
.
Используем разложение в степенной ряд:
...
x
2
·
1
)
1
m
(
m
x
1
m
1
)
x
1
(
2
m
.
Ограничимся двумя первыми членами разложения. Это можно
сделать, т.к.
6
2
2
10
·
16
L
d
x
<<1.
Получим:
2L
d
1
L
d
2
1
1
L
1
L
d
1
L
Δ
2
2
2
2
1
2
2
геом.
.
Для определения полной оптической разности хода учтем, что
вторая волна отражается от среды оптически более плотной (зер-
кало), чем та среда, в которой она распространялась (воздух),
следовательно, при отражении фаза волны меняется на
=
. В
оптической разности хода появится добавочный член, соответ-
ствующий этой разности фаз.
На основании формулы, связывающей разность фаз с разно-
стью хода:
2
,
Дано:
= 0,5·10
–6
м
L = 1 м
а = 2·10
–3
м
h = 6·10
–6
м
n = 1,55
?
2
2
можно найти:
.
доб
2
или
2
.
доб
.
26
Таким образом, полная оптическая разность хода интерфери-
рующих волн будет равна:
2
L
2
d
2
.
доб
.
геом
1
.
Сравним
1
с
2
:
33
1
10
·
5
,
0
10
·
16
1
L
d
2
L
2
d
2
2
6
6
2
2
1
.
33
2
1
– нечетное число, следовательно, в точке Р будет
наблюдаться минимум освещенности.
2) Если поместить на пути луча SP стеклянную пластинку, то
изменится оптическая длина пути первой волны, она складывает-
ся из оптической длины пути в воздухе (L – h)n
воздух
(h – толщина
стеклянной пластинки), и оптической длины пути в стеклянной
пластинке hn
стекло
. Вся оптическая длина пути первой волны бу-
дет равна (здесь учтено что n
воздух
= 1, n
стекло
= n):
h
)
1
n
(
L
hn
)
h
L
(
SP
,
Оптическая длина пути второй волны остается прежней
2
L
d
1
L
2
2
MP
S
1
.
Таким образом, оптическая разность хода волн:
h
)
1
n
(
h
)
1
n
(
L
2
L
d
1
L
1
2
2
SP
MP
S
2
1
.
Сравним
2
с
2
:
20
13
33
10
·
5
,
0
10
·
6
)·
1
55
,
1
(
2
33
h
)
1
n
(
2
2
2
6
6
1
2
.
20
2
2
–четное число, следовательно, в точке Р будет наблю-
даться максимум освещенности.
27
Примет 10.
Расстояние между щелями в опыте Юнга 0,5 мм. Рас-
стояние от щелей до экрана 1 м. Опыт проводится с красным све-
том (
= 0,7 мкм). Определить расстояние между интерференци-
онными максимумами на экране.
Решение:
Пусть на экране Э, вдоль которого расположена ось 0х, в точке
А с координатой x
m
находится максимум m-го порядка, а в точке
В с координатой x
m–1
находится максимум (m-1)-го порядка, то-
гда ширина интерференционной полосы
х = x
m
– x
m–1
.
Для того, чтобы в точках А и В наблюдались максимумы,
необходимо, чтобы оптическая разность хода волн, идущих от
щелей S
1
и S
2
, (двух когерентных источников света), была равна
четному числу длин полуволн, или целому числу длин волн:
m
= S
2
A –S
1
A = m
, где m = 0, 1, 2, … .
Из
S
1
AC по теореме Пифагора:
(S
1
A)
2
= L
2
+ (OA – OC)
2
.
Из
S
2
AD по теореме Пифагора:
(S
2
A)
2
= L
2
+ (OA + OD)
2
,
где ОС = ОD =
2
d
, ОА = x
m
.
Дано:
d = 0,5·10
–3
м
L = 1 м
= 0,7·10
–6
м
х = ?