ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.06.2021
Просмотров: 1048
Скачиваний: 3
(S
1
A)
2
= L
2
+
2
m
2
d
x
,
(S
2
A)
2
= L
2
+
2
m
2
d
x
.
Вычтем из второго уравнения первое:
28
(S
2
A)
2
– (S
1
A)
2
= L
2
+
2
m
2
d
x
– L
2
–
2
m
2
d
x
=
d
x
2
4
d
2
d
x
2
x
4
d
2
d
x
2
x
m
2
m
2
m
2
m
2
m
,
(S
2
A – S
1
A)·(S
2
A + S
1
A) = 2x
m
d.
Так как OA<<L, OC<<L, OD<<L, то можно положить:
S
1
A = S
2
A = L,
тогда получим:
m
·2L = 2x
m
d,
m
m
d
L
x
,
1
m
1
m
d
L
x
,
d
L
)
)
1
m
(
m
(
d
L
)
(
d
L
x
x
x
1
m
m
1
m
m
,
)
м
(
10
·
4
,
1
10
·
5
,
0
10
·
7
,
0
d
L
x
3
3
6
.
Ответ:
х = 1,4 мм.
Пример 11.
На толстую стеклянную пластинку (n
2
= 1,5), покры-
тую тонким слоем пленки (n
1
= 1,4), под углом
i
= 30° падает пу-
чок лучей монохроматического света (
= 0,52 мкм). Определить
минимальную толщину пленки, если отраженный свет макси-
мально ослаблен.
Решение:
29
На границу раздела воздух - пленка падает плоская монохро-
матическая волна, угол падения которой
i
. На границе раздела
волна частично отражается (1), частично преломляется (2). Угол
преломления
r
. Преломленная волна, достигнув границы раздела
пленка - стекло, также частично преломляется и частично отра-
жается (2'). Волна 2', претерпев преломление на границе пленка -
стекло, выходит в воздух (2"). Волны 1 и 2" будут когерентными
и при наложении интерферируют.
Результат интерференции зависит от того, какому условию
удовлетворяет оптическая разность хода.
Отраженный свет максимально ослаблен, следовательно, при
интерференции выполняется условие минимума:
2
)
1
m
2
(
, где m = 0, 1, 2, ... .
Запишем оптическую разность хода волн 1 и 2'' (n
воздух
= 1):
1
= (AB + BC)n
1
– AD·n
воздух
.
Если выразить величины через толщину пленки и угол паде-
ния, то получим:
i
2
2
1
1
sin
n
d
2
.
Проанализируем условия отражения. Так как показатель пре-
ломления воздуха (n
воздух
= 1) меньше показателя преломления
вещества пленки (n
1
= 1,4), который в свою очередь меньше пока-
зателя преломления стекла (n
2
= 1,5), то в обоих случаях отраже-
ние происходит от среды оптически более плотной, чем та среда,
в которой идет падающая волна.
Волна 1, отраженная от верхней поверхности пленки, изменит
Дано:
n
1
= 1,4
n
2
= 1,5
i
= 30°
= 0,52 10
–6
м
d
min
= ?
фазу на
и точно также на
изменится фаза волны 2, отражен-
ной от нижней поверхности пленки. Добавочная разность фаз и
разность хода не возникает
доб.
= 0.
Таким образом, оптическая разность хода волн 1 и 2'':
i
2
2
1
.
доб
1
sin
n
d
2
.
Условие минимума освещенности:
2
)
1
m
2
(
sin
n
d
2
2
2
1
i
.
30
Найдем толщину пленки d:
i
2
2
1
sin
n
4
)
1
m
2
(
d
.
Минимальная толщина пленки, если m = 0:
)
м
(
10
·
1
,
0
25
,
0
96
,
1
4
10
·
52
,
0
sin
n
4
d
6
6
2
2
1
min
i
.
Ответ: d
min
= 0,1 мкм.
Пример 12.
На стеклянный клин падает нормальный пучок света
(
= 0,582 мкм). Угол клина равен 20'. Какое число темных ин-
терференционных полос приходится на единицу длины клина?
Решение:
Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина,
отражается как от верхней, так и от нижней грани. Условный ход
лучей показан на рисунке. В действительности падающий, отра-
женный и преломленный лучи направлены вдоль одной прямой.
Отраженные пучки света 1 и 2 когерентны. Поэтому на поверх-
ности клина будет наблюдаться интерференционная картина.
Картина имеет вид чередующихся светлых и темных полос, по-
ложение которых определяется условиями max и min при интер-
ференции.
Темные полосы видны в тех местах, где оптическая разность хода
интерферирующих волн:
2
)
1
m
2
(
, где m = 0, 1, 2, ... .
31
Полная оптическая разность хода волн 1 и 2 складывается из
разности оптических длин путей этих волн
1
, и добавочной раз-
ности хода
доб.
, возникающей за счет разных условий отражения.
Из чертежа видно, что путь волны 1 короче пути волны 2 на
2d
m
, где d
m
– толщина клина, соответствующая m-му минимуму.
Вторая волна проходит путь 2d
m
в стекле с показателем прелом-
ления n, поэтому оптическая разность хода волн I и 2 будет:
1
= 2d
m
n.
Рассмотрим условия отражения на верхней и нижней поверх-
ностях клина.
Луч 1 отражается от стекла, т.е. от среды оптически более
плотной, чем среда, в которой шел падающий луч (воздух), сле-
довательно фаза волны, отраженной от верхней поверхности
клина, меняется на
.
Луч 2 отражается от границы стекло – воздух, т.е. от среды оп-
тически менее плотной, и фаза волны, отраженной от нижней
грани клина, не меняется.
Следовательно, у волн, отраженных от верхней и нижней гра-
ней клина, появляется добавочная разность фаз
доб.
=
, кото-
рой соответствует добавочная разность хода
2
.
доб
.
Итак, полная разность хода интерферирующих волн:
2
n
d
2
m
.
доб
1
.
Для минимума m-го порядка можно записать уравнение:
Дано:
= 0,582·10
–6
м
= 20'
n = 1,5
?
L
N
2
)
1
m
2
(
2
n
d
2
m
. (1)
Аналогично для минимума k-го порядка:
2
)
1
k
2
(
2
n
d
2
k
. (2)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:
k
m
n
d
2
n
d
2
k
m
,
)
k
m
(
)
d
d
(
n
2
k
m
.
32
(d
m
– d
k
) можно определить из
ABC
d
m
– d
k
= АС·sin
,
тогда
2n·AC·sin
= (m – k)
,
где (m – k) – число интерференционных полос, уложившихся на
длине АС. Отсюда число полос на единице длины клина
sin
n
2
AC
k
m
L
N
.
Угол
мал, поэтому sin
=
, если угол
выражен в радианах.
Переведем 20' в радианы:
)
рад
(
10
·
82
,
5
'
20
'
60
1
180
3
0
0
.
)
м
(
10
·
3
10
·
82
,
5
10
·
82
,
5
·
5
,
1
·
2
n
2
sin
n
2
L
N
1
4
7
3
.
Ответ: на единице длины клина в условиях данной задачи укла-
дывается 3 10
4
полос на 1 м или 30полос на 1мм.
Пример 13.
Установка для получения колец Ньютона освещается
белым светом, падающим нормально. Найти:1). радиус четверто-
го синего кольца (
1
= 0,4 мкм), 2) радиус третьего красного
кольца (
2
= 0,63 мкм). Наблюдение производится в проходящем
свете. Радиус кривизны линзы 5 см.
Решение:
33
Для наблюдения колец Ньютона берется установка, состоящая
из плоскопараллельной пластинки и плосковыпуклой линзы с
большим радиусом кривизны R. Между пластинкой и сфериче-
ской поверхностью линзы образуется воздушный слой. Кольца
Ньютона можно наблюдать как в отраженном свете, так и в про-
ходящем.
Падающая волна частично отражается от верхней поверхности
воздушного слоя, а частично преломляется. Преломленная волна
достигнув нижней поверхности воздушного слоя, также частично
преломляется (луч1), и частично отражается. То же самое вновь
происходит с отраженной волной на верхней, а затем на нижней
поверхностях воздушного слоя. Таким образом, образуются две
когерентные волны 1 и 2, которые могут интерферировать.
Интерференционная картина имеет вид колец, т.к. геометриче-
ское место точек с одинаковой толщиной воздушного слоя d
m
,
расположено по окружности.
Светлые кольца будут наблюдаться там, где полная оптическая
разность хода волн 1 и 2
= m
, где m = 0, 1, 2 ... .
Поскольку радиус кривизны линзы R большой, угол падения
на верхнюю поверхность воздушного слоя, близок к нулю. Мож-
но считать, что оптический путь у волны 2 больше, чем у волны 1
Дано:
m
1
= 4
1
= 0,4·10
–6
м
m
2
= 3
2
= 0,63·10
–6
м
R = 0,05 м
r
1
= ?
r
2
= ?
на 2d
m
n. Так как среда, заполняющая пространство между линзой
и пластинкой, воздух, то n = 1 и оптическая разность хода волн
1
= 2d
m
.
Рассмотрим условия отражения волн. Волна 1 не отражается
нигде, волна 2 отражается дважды: от пластины и сферической
поверхности линзы, т.е. отражение происходит в обоих случаях
от среды оптически более плотной чем та, в которой шла волна
до отражения. Следовательно волна 2 дважды претерпевает из-
менение фазы на
, поэтому добавочная разность фаз будет крат-
на 2
и добавочная разность хода будет равна нулю
доб.
= 0.
=
1
+
доб.
= 2d
m
.
34
Для светлых колец
2d
m
= m
. (1)
Рассмотрим
OAB: ОA = R – радиус кривизны линзы,
AB = r
m
– радиус m-го кольца,
OB = R – d
m
.
По теореме Пифагора
ОА
2
= ОВ
2
+ АВ
2
,
R
2
= (R – d
m
)
2
+ r
m
2
,
R
2
= R
2
–2Rd
m
+ d
m
2
+ r
m
2
,
d
m
2
– очень малая величина, поэтому ей можно пренебречь
r
m
2
= 2Rd
m
. (2)
Из уравнения (1) найдем d
m
:
2
m
d
m
,
и подставим в формулу (2):
mR
2
m
R
2
r
2
m
,
mR
r
m
.
Отсюда видно, что радиусы колец Ньютона зависят для дан-
ной установки (R = const) от номера кольца и длины световой
волны.
Если установка освещается белым светом, то для каждой дли-
ны волны будет свой радиус при m = const, т.е. светлые кольца
будут спектральными.
Определим радиусы r
1
и r
2
:
)
м
(
10
·
8
,
2
10
·
4
,
0
·
10
·
5
·
4
R
m
r
4
6
2
1
1
1
,
)
м
(
10
·
1
,
3
10
·
63
,
0
·
10
·
5
·
3
R
m
r
4
6
2
2
2
2
.
Из полученных результатов следует, что максимумы третьего
и четвертого порядка перекрываются, т.к. радиус синего кольца в
максимуме высшего порядка (m
1
=4) меньше радиуса красного
кольца в максимуме низшего порядка (m
2
=3).
Ответ: r
1
= 0,28 мм, r
2
= 0,31 мм.
35
2.2. Дифракция света.
Для решения задач по этой теме нужно изучить §§125-130 по
учебному пособию И.В. Савельев "Курс общей физики", т.2.
Решить дифракционную задачу – значит найти относительное
распределение освещенности на экране в зависимости от разме-
ров и формы неоднородностей, вызывающих дифракцию.
Различают два вида дифракции: дифракция в параллельных
лучах или дифракция Фраунгофера и дифракция Френеля.
Критерий, позволявший определить, о каком виде дифракции -
Френеля или Фраунгофера - идет речь в каждом конкретном слу-
чае рассмотрен в выше названном пособии в параграфе "Дифрак-
ция Фраунгофера от щели" (§129).
Задачи на дифракцию света можно разделить на три группы:
задачи на дифракцию Френеля от простейших преград, задачи на
дифракцию Фраунгофера от щели и дифракционной решетки.
Условие минимумов для дифракционной щели:
m
sin
b
,
где b – ширина щели,
– угол под которым виден минимум,
– длина падающей волны,
m = 1, 2, … – порядок минимума.
Условие максимумов для дифракционной щели (если
= 0
также наблюдается максимум, который данная формула не дает):
2
)
1
m
2
(
sin
b
,
где m = 1, 2, … – порядок максимума.
Условие главных максимумов для дифракционной решетки:
m
sin
d
,
где d – период решетки,
– угол, под которым виден максимум,
– длина падающей волны,
m = 0, 1, 2, … – порядок максимума.
36
Пример 14.
Плоская световая волна (
= 0,6 мкм) падает на шир-
му с круглой диафрагмой. На расстоянии b = 2 м за диафрагмой
расположен экран. При каком диаметре D диафрагмы освещен-
ность экрана в точке В, лежащей на оси светового пучка, будет
максимально ослаблена.
Решение:
Задачу решаем методом зон Фре-
неля. Открытую часть фронта волны
разобьем на зоны Френеля с помощью
системы концентрических сфер с цен-
тром в точке В, радиусы которых
2
k
r
r
0
k
, где k = 0, 1, 2, … .
Поскольку в точку наблюдения волны приходят от соответ-
ствующих точек двух соседних зон в противофазе, то в точке В
наблюдается минимум освещенности, если в отверстии уклады-
вается четное число зон Френеля, и максимум, если в отверстии
укладывается нечетное число зон Френеля.
Искомая освещенность будет максимально ослаблена в том
случае, когда в диафрагме укладывается две зоны Френеля.
Следовательно при k = 2 с учетом того что r
0
= b
b
2
2
r
r
0
2
.
Из
АВС по теореме Пифагора следует
b
2
b
b
2
b
b
)
b
(
r
r
2
D
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
.
Диаметр отверстия
)
м
(
10
·
3
10
·
6
,
0
·
2
·
2
2
b
2
2
D
3
6
.
Ответ: D = 3 мм.
37
Пример 15.
Каково наибольшее значение порядка дифракцион-
ного максимума для желтой линии натрия (
= 0,6 мкм) при нор-
мальном падении лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего
наблюдается максимумов?
Решение:
Для решения задачи разность хода
волн
, идущих от краев щели, делим
на участки по
2
. Плоскости, параллельные АС и отстоящие друг
от друга на
2
, разбивают открытую часть фронта волны на зоны
равные по ширине. Разность хода от соответствующих точек двух
соседних зон будет равна
2
. Колебания от каждой пары сосед-
них зон взаимно гасят друг друга
Если число зон четное, то они попарно гасят друг друга и ам-
плитуда результирующего колебания равна нулю.
Дано:
= 0,6·10
–6
м
b = 2 м
D = ?
Дано:
= 0,6·10
–6
м
b = 2·10
–6
м
m
max
= ?
N = ?