Файл: методика обучения решению планиметрических задач по теме четырехугольники.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Тольяттинский государственный университет»
Институт математики, физики и информационных технологий
(наименование института полностью)
Кафедра «Высшая математика и математическое образование»
(наименование кафедры)
44.03.05 «Педагогическое образование»
(код и наименование направления подготовки)
«Математика и информатика»
(направленность (профиль))
БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА
на тему «МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»
В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ»
Студент Д.В. Наумов _________________
(И.О. Фамилия) (личная подпись)
Руководитель д.п.н., профессор С.Н.Дорофеев _________________
(И.О. Фамилия) (личная подпись)
Консультант ст.преподаватель А.В. Прошина _________________
(И.О. Фамилия) (личная подпись)
Допустить к защите
Заведующий кафедрой д.п.н., профессор, Р.А. Утеева _________________
(ученая степень, звание, И.О. Фамилия) (личная подпись)
«____»__________2018 г.
Тольятти 2018

2
АННОТАЦИЯ
Целью бакалаврской работы является выявление методических особенностей обучения учащихся решению планиметрических задач по теме
«Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы и разработка системы задач, способствующих формированию умения решать планиметрические задачи по теме «Четырехугольники».
Одним из главных и традиционных разделов планиметрии 7-9 классов является раздел «Четырехугольники». Изучение данной темы достаточно важно и актуально, т.к. в дальнейшем она используется при изучении других разделов геометрии.
Бакалаврская работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Объектом исследования является процесс обучения школьников геометрии в основной школе.
Предметом исследования является методика обучения школьников решению планиметрических задач по теме «Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы
В дипломной работе раскрыты теоретические и методические основы обучения школьников решению планиметрических задач по теме
«Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы.
В Главе I бакалаврской работы изучается понятие логико- математического анализа тем школьного курса математики. Рассматриваются основные требования к знаниям и умениям учащихся и проводится анализ теоретического и задачного материалов темы «Четырехугольники» в учебниках геометрии разных авторов.
В Главе II представлены методические рекомендации по обучению решению планиметрических задач по теме «Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы. Особое внимание уделяется системе задач по теме «Четырехугольники», ориентированной на усвоение понятий: прямоугольник и его элементы, параллелограмм и его элементы, трапеция и ее элементы, ромб и его элементы.
Список литературы содержит 40 наименований.
Объем работы составляет 51 страницу.

3
ABSTRACT
The title of the thesis is “The teaching method of how to solve planimetric tasks on the topic of “Quadrangles” in the course of Geometry in secondary school”.
The aim of the work is to reveal the methodological features of teaching pupils to solve planimetric tasks on the topic of “Quadrangles” in the course of
Geometry in secondary school and develop a system of tasks, that contribute to formation of the ability to solve planimetric tasks on the topic of “Quadrangles”.
One of the main and traditional sections of planimetry for 7-9 grades pupils is “Quadrangles”. The study of this topic is quite important and relevant, because it is used while teaching other sections of Geometry.
The object of the thesis is the process of teaching pupils Geometry in secondary school. The subject of the thesis is the method of teaching pupils to solve planimetric tasks on the topic of “Quadrangles” in the course of Geometry in secondary school.
The thesis describes in details theoretical and methodological foundations for teaching pupils solutions of planimetric tasks on the topic of “Quadrangles” in the course of Geometry in secondary school.
Much attention is given to compilation of a system of tasks on the topic of
“Quadrangles”, focused on the assimilation of concepts, such as: a rectangle and its elements, a parallelogram and its elements, a trapezoid and its elements, a rhombus and its elements. Methodological recommendations for teaching the solution of planimetric tasks on the “Quadrangles” topic in the course of Geometry in secondary school are presented.
The thesis consists of an introduction, 2 chapters, a conclusion and a list of
40 references including 5 foreign sources.

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................... 5
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ
ШКОЛЫ .......................................................................................................... 7
§1. Понятие логико-математического анализа тем школьного курса математики (на примере содержания темы «Четырехугольники») .................. 7
§2. Основные требования к знаниям и умениям учащихся по теме
«Четырехугольники» ...................................................................................... 11
§3. Анализ содержания теоретического материала темы «Четырехугольники» в школьных учебниках геометрии .................................................................. 16
§4. Анализ задачного материала по теме «Четырехугольники» в школьных учебниках геометрии ...................................................................................... 20
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ
ШКОЛЫ ........................................................................................................ 23
§5. Формы, методы и средства обучения школьников решению геометрических задач ..................................................................................... 23
§6. Методические рекомендации по обучению школьников решению геометрических задач по теме «Четырехугольники» ..................................... 25
§7. Системы задач по теме «Четырехугольники», ориентированные на усвоение понятий: прямоугольник и его элементы, параллелограмм и его элементы, трапеция и ее элементы, ромб и его элементы .............................. 28
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................ 44
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ......................................... 46

5
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность исследования. Геометрия — наука, занимающаяся изучением геометрических фигур и их количественных характеристик. Как известно, школьный курс геометрии делится на планиметрию и стереометрию. В планиметрии изучаются свойства и количественные соотношения фигур на плоскости. Примерами таких фигур являются отрезки, окружности, треугольники, четырехугольники, прямоугольники, многоугольники.
Одним из главных и традиционных разделов планиметрии 7-9 классов является раздел «Четырехугольники». Изучение данной темы достаточно важно и актуально, т.к. в дальнейшем она используется при изучении других разделов геометрии
– многоугольников, площадей и т.д.
Однако, при изучении данного раздела возникают определённые трудности: при применении свойств, определений и признаков четырёхугольников к доказательству теорем, при решении задач на построение, к решению практических задач.
Проблема исследования: выявление методических особенностей обучения учащихся общеобразовательной школы решению планиметрических задач по теме «Четырехугольники».
Объект исследования: процесс обучения школьников геометрии в основной школе.
Предмет исследования: методика обучения школьников решению планиметрических задач по теме «Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы.
Цель бакалаврской работы: выявить методические особенности обучения учащихся решению планиметрических задач по теме
«Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы и разработать систему задач, способствующих формированию умения решать планиметрические задачи по теме «Четырехугольники».

6
Задачи исследования:
1. Выделить основные требования к умениям и знаниям школьников по теме «Четырехугольники».
2. Представить анализ теоретического и задачного материалов темы
«Четырехугольники» в учебниках геометрии разных авторов.
3. Выявить формы, методы и средства обучения решению геометрических задач.
4. Разработать методические рекомендации по обучению школьников решению планиметрических задач по теме «Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы.
5. Составить систему задач по теме «Четырехугольники», ориентированную на усвоение понятий: прямоугольник и его элементы, параллелограмм и его элементы, трапеция и ее элементы, ромб и его элементы.
Методы исследования: изучение и анализ методических пособий, учебной литературы и школьных программ по теме работы; решение задачного материала по теме работы, изучения опыта работы учителей математики, работающих в общеобразовательных школах.
Бакалаврская работа включает в себя: введение, две главы, заключение и список литературы.
Список использованной литературы состоит из 40 источников.

7
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ
ШКОЛЫ
§1. Понятие логико-математического анализа тем школьного курса
математики (на примере содержания темы «Четырехугольники»)
Логико-математическим анализом темы называют знание целей обучения содержанию темы и основных результатов обучения, также это знание того, каким объектам и понятиям даются определения, знания формулировок определений. Еще можно добавить, что логико- математический анализ темы – это знание того, какие математические утверждения, несхожие с определениями, есть в теме.
Приступим к логико-математическому анализу нашей темы.
Материал в теме «Четырехугольники» организован на дедуктивной основе, так как всем фигурам, вводимым в теме, даются определения.
1. Основные математические понятия по теме «Четырехугольники», которые изучаются в школьных учебниках геометрии разных авторов:
– «четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться»[20, с.72];
– элементы четырехугольника: вершины, стороны, соседние вершины, противолежащие вершины, диагонали, соседние стороны, противолежащие стороны;
–
«параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны»[3, с.101] (Рис.1).
Свойства параллелограмма:
1. «В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны»[3, с.101].
Рис.1.Параллелограмм

8 2. «Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам»
[3, с.101].
Признаки параллелограмма:
1. «Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник- параллелограмм» [3, с.102].
2. «Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник- параллелограмм» [3, с.102].
3. «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник- параллелограмм» [3, с.103];
– «прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые»[20, с.76] (Рис. 2).
Прямоугольник обладает особым свойством:
«Диагонали прямоугольника равны»[3, с. 109] и важным признаком: «Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм- прямоугольник» [3, с.109];
– «ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны»[20, с.76] (Рис.3). У ромба есть особое свойство:
«Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам»[3, с.
109];
– «квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны»[20, с. 77] (Рис. 4). Свойства квадрата:
1. «У квадрата все углы прямые.
2. Диагонали квадрата равны.
3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов»[20, с. 77];
– «средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника»[20, с.79];
Рис.2. Прямоугольник
Рис.3. Ромб
Рис.4. Квадрат

9
– «трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми»[20, с.80]
(Рис.5);
- «трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции»[20, с.80] (Рис. 6);
- «трапеция, один из углов которой прямой,
называется прямоугольной»[3, с.103]
(Рис.7).
Способы определения вновь вводимых понятий данной темы основываются на указании их характеристического свойства. Этот вид определений построен на логических действиях и операциях установления ближайшего рода, видовых отличий и логической природы связи между родом и видовыми отличиями.
«Рассмотрим, например, определение параллелограмма.
Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Термин – параллелограмм.
Род – четырехугольник.
Видовые отличия: 1) одна пара противоположных сторон параллельна;
2) другая пара противоположных сторон параллельна»[14, с.40]
Все свойства в определении соединены союзом “ и ”; значит, имеет место конъюнктивная основа введения нового понятия. Таким образом, можно построить следующую классификацию четырехугольников (Рис.8) с учетом их видовых различий, существенных признаков и особенностей.
Рис.5. Трапеция
Рис.7. Прямоугольная трапеция
Рис.6. Равнобедренная трапеция

10 2. Основные теоремы по теме «Четырехугольники», которые изучаются в школьных учебниках геометрии разных авторов:
Теорема 1. «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник
– параллелограмм»[20, с. 73].
Теорема 2. (обратная Теореме 1). «Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам» [20, с.74].
Теорема 3. «У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны»[20, с.75].
Теорема 4. «Диагонали прямоугольника равны»[20, с.76].
Четырехугольники выпуклые квадрат с непараллельными сторонами ромб параллелограмм трапеция невыпуклые прямоугольник с параллельными сторонами равнобедренная трапеция прямоугольная трапеция
Рис.8. Классификация четырехугольников

11
Теорема 5. «Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов»[20, с.76].
Теорема 6.(Фалеса) «Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне»[20, с.78].
Теорема 7. «Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине»[20, с.79].
Теорема 8. «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме»[20, с.80].
Теорема 9. «Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки»[20, с.81].
§2. Основные требования к знаниям и умениям учащихся по теме
«Четырехугольники»
Изучение темы «Четырехугольники» в школьном курсе геометрии должно способствовать:
- освоению учащимися геометрических методов познания окружающего мира;
- формированию представлений о культурных, социальных и исторических факторах становления науки «геометрии»;
- осознанию значения геометрии в повседневной жизни человека;
- формированию представлений о геометрии как универсальном языке науки, части общечеловеческой культуры.
В результате изучения темы «Четырехугольники» в школьном курсе геометрии учащиеся развивают математическое и логическое мышление, овладевают математическими рассуждениями; развивают математическую интуицию; учатся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач.