Файл: методика обучения решению планиметрических задач по теме четырехугольники.pdf

12
Результаты изучения данной темы должны отражать:
1) развитие умений работать с учебным математическим текстом
(анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли с применением математической терминологии и символики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;
2) формирование представлений о математике как о методе познания действительности;
3) овладение геометрическим языком; развитие умения использовать его для описания предметов окружающего мира; развитие пространственных представлений, изобразительных умений, навыков геометрических построений;
4) формирование умений формализации и структурирования информации, умения выбирать способ представления данных в соответствии с поставленной задачей — таблицы, схемы;
5) развитие умений применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, компьютера, пользоваться оценкой и прикидкой при практических расчётах;
6) формирование систематических знаний о четырехугольниках и их свойствах, развитие умений моделирования реальных ситуаций на языке геометрии, исследования построенной модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решения геометрических и практических задач.
В результате реализации данной программы школьники должны знать: определение параллелограмма, его свойства и признаки; определения прямоугольника, квадрата, ромба, их свойства и признаки; определение трапеции, виды трапеции, средняя линия трапеции; уметь: определять вид четырехугольника; применять его свойства при решении задач как прикладного, так и практического характера.

13 осуществлять доказательства тех фактов, которые используются при решении той или иной задачи практического или прикладного характера, которые не содержатся в школьных учебниках, включенных в Федеральный перечень учебников, рекомендованных Министерством образования и науки РФ [31]; изображать требуемый четырехугольник, выполнять чертежи по условию задачи, проводить элементарные дополнительные построения, способствующие результативности поиска решения задачи; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: для описания реальных ситуаций на языке геометрии и расчетов; вычислять значения геометрических величин (длин сторон, градусные меры углов, площади геометрических фигур, периметра четырехугольников).
Учебные задачи: школьники должны знать и уметь формулировать определения понятий всех видов изученных четырехугольников, использовать данные знания при решении геометрических и прикладных задач; школьники должны знать свойства (прямые теоремы) и признаки
(обратные теоремы) изучаемых четырехугольников, уметь доказывать их и использовать при решении задач; школьники должны быть знакомы с классификационной схемой «Виды четырехугольников» и уметь ее использовать при решении задач.
Ниже приведена методическая система, включающая в себя планиметрические задачи по теме «Четырехугольники», ориентированная на формирование у школьников умений и навыков, применять теоретические знания к решению задач. Особенность данной системы состоит в том, что входящие в ее состав планиметрические задачи формулируются на клетчатой бумаге с различными размерами клеток. Данная система задач способствует развитию не только наглядно-образного мышления, но и

14 способствует развитию аналитического мышления. Эта система задач эффективна в обучении школьников геометрическим методам познания окружающего мира как с преобладающим развитием правого полушария, так и преобладающим развитием левого полушария.
1. На клетчатой бумаге с размерами клетки 3×3 задан ромб ABCD
(Рис.9). Найти
1) периметр ромба;
2) длины диагоналей ромба;
3) тангенс его острого угла;
4) тангенс его тупого угла;
5) радиус окружности, вписанной в ромб.
2. На клетчатой бумаге с размерами клетки 3×3 задана трапеция ABCD
(Рис. 10). Найти
1) периметр трапеции;
2) среднюю линию трапеции;
3) длины боковых сторон трапеции;
4) косинусы тупых углов трапеции;
5) косинусы острых углов трапеции.
3. На клетчатой бумаге с размерами клетки 3×3 задан параллелограмм
ABCD (Рис. 11). Найти
1) периметр параллелограмма;
2) длину диагонали AC;
3) длину диагонали BD;
4) тангенс
∠BCD;
5) синус
∠BAD;
Рис.9. Ромб на клетчатой бумаге
Рис.10. Трапеция на клетчатой бумаге
Рис.11. Параллелограмм на клетчатой бумаге

15 6) косинус
∠ADC;
7) синус угла между его диагоналями.
4. На клетчатой бумаге с размерами клетки 3×3 задан квадрат ABCD
(Рис.12). Найти
1) периметр квадрата;
2) длину диагонали AC;
3) радиус окружности, вписанной в квадрат.
5. На клетчатой бумаге с размерами клетки 3×3 задан прямоугольник
ABCD (Рис.13). Найти
1) периметр прямоугольника ABCD;
2) длину диагонали BD;
3) тангенс угла, образованного диагональю АС со стороной ВС;
4) косинус угла, образованного диагональю АС со стороной CD;
5) тангенс угла, образованного диагональю АС со стороной ВС;
6) синус угла, образованного его диагоналями.
Приведенная методическая система задач, способствует формированию у школьников представления о таких понятиях планиметрии как многоугольник и его числовые характеристики. Прежде всего это периметр многоугольника, площадь многоугольника. В свою очередь формирование представления о многоугольниках обусловливает формирование у школьников представления о таких важных понятиях стереометрии как многогранник, его вершины и грани, развертка многогранника. Обучение школьников посредством разработанной методической системы способствует формированию у школьников тех основ, которые составляют базу обучения координатному и векторно-координатному способу решения планиметрических задач.
Рис.12. Квадрат на клетчатой бумаге
Рис.13. Прямоугольник на клетчатой бумаге

16
§3. Анализ содержания теоретического материала темы
«Четырехугольники» в школьных учебниках геометрии
В данном параграфе представим анализ теоретического материала по теме «Четырехугольники» в школьном курсе геометрии 7-9 классов, излагаемом в учебниках различных авторов, включенных в Федеральный перечень учебных пособий, рекомендованных Министерством образования и науки РФ [31].
1. Учебник геометрии Л.С. Атанасяна и др. [3].
Тема «Четырехугольники» изучается в 8 классе. На изучение темы отводится отдельная глава. В 1-ом параграфе этой главы рассматриваются многоугольники. Сначала в пункте 39 приводится определение понятия многоугольника; определения понятий его вершин и сторон; дается определение понятия n-угольника. В учебнике приводятся примеры фигур, являющиеся многоугольниками и примеры фигур, не являющиеся ими.
Кроме того, в нем рассматривается определения понятий соседних вершин многоугольника и его диагоналей. В конце пункта 39 говорится о том, что «любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника» [3, с. 98].
В пункте 40 1-го параграфа описываются выпуклые многоугольники.
Приводится примеры невыпуклого и выпуклого многоугольника. В ходе рассмотрения понятия выпуклого n-угольника A
1
A
2
A
3
…A
n-1
A
n
A
1
отмечается, что углы A
n
A
1
A
2
, A
1
A
2
A
3
, …, A
n-1
A
n
A
1
- этоуглы данного выпуклого
n-угольника; как находитсясумма углов выпуклого n-угольника.
Пункт 41 1-го параграфа посвящен уже самому понятию четырехугольника. Атанасян Л.С. не приводит определения понятия четырехугольника, отмечается, что «каждый четырехугольник имеетс четыре вершины, четыре стороны и две диагонали»[3, с.99]. Далее раскрываются определения противоположных сторон четырехугольника и его вершин.

17
Рассматриваются примеры понятий выпуклого и невыпуклого четырехугольников. Так как учащимся уже известна сумма углов выпуклого n-угольника, то далее приводится следующее утверждение:
«Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°» [3, с. 100].
2-ой параграф посвящен трапеции и параллелограмму. При изучении понятия параллелограмма в пункте 42 приводится определение этого понятия, доказываются свойства параллелограмма.
В 41-м пункте параграфа говорится о признаках параллелограмма. В учебнике рассматриваются три признака параллелограмма, что позволяет более эффективно решать задачи на доказательство.
44 пункт второго параграфа посвящен трапеции. В этом пункте даются определения трапеции, равнобедренной трапеции и прямоугольной трапеции.
В учебнике Л.С. Атанасяна [3] также присутствует для изучения теорема
Фалеса.
3-ий параграф посвящен ромбу, прямоугольнику и квадрату. Отметим, что определения понятий ромба и прямоугольника даются на основе понятия параллелограмма.
Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммами, то прямоугольник и ромб обладают всеми его свойствами. Также в данном учебнике имеются особые свойства ромба и прямоугольника. Затем дается определение и свойство квадрата.
Пункт 47 рассказывает об осевой и центральной симметриях. В конце главы предлагается прорешать задачи.
2. «Геометрия, 7-9 класс», авторы И.М. Смирнова, В.А. Смирнов [26].
Авторы учебника рекомендует изучать тему «Четырехугольники» в 8 классе. Данная тема изучается в главе «Параллельность».
В 1-ом параграфе рассматривается понятие параллельных прямых.
Сначала приводится определение понятия параллельных прямых, определение понятия секущей. Затем рассматриваются определения понятий соответственных, внутренних односторонних и внутренних накрест лежащих углов. Приводится доказательство признака параллельности двух прямых, и

18 рассматриваются три следствия данной теоремы. Далее рассматривается доказательство теоремы о равенстве внутренних накрест лежащих углов.
Параграф второй посвящен сумме углов многоугольника. Сначала приводится доказательство того, что сумма углов треугольника равна 180 0
, далее рассматривается доказательство общего случая.
В следующем параграфе рассматривается параллелограмм. Дается его определение, доказывается его три свойства. Рассмотрен пример на свойство параллелограмма. 4-ый параграф посвящен признакам параллелограмма, в котором приводится доказательство первого и второго признаков параллелограмма. Рассматриваются два примера на применение этих признаков.
В пятом параграфе говорится о прямоугольнике, ромбе и квадрате.
Понятия ромба и прямоугольника определяются через понятие параллелограмма. Отмечается, что прямоугольник является частным случаем параллелограмма и обладает всеми его свойствами. Приводится доказательство признака прямоугольника о том, что если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником.
Ромб – это тоже параллелограмм, значит он обладает всеми свойствами параллелограмма. В учебнике описано доказательство признака ромба.
Понятие квадрата определяется через понятие прямоугольника.
И.М. Смирнова и В.А. Смирнов отмечают, что квадрат – это тоже ромб, у которого все углы прямые. Делается вывод о том, что квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.
Авторы учебника описывают понятие средней линии треугольника, дают его определение и доказывают теорему о ней. После этого ими определяется понятие трапеции, а именно: «Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны». Далее приводится определение средней линии трапеции и видов трапеции; рассматриваются доказательство теоремы о средней линии трапеции и следствие из нее.

19
В конце главы приводится теорема Фалеса и ее доказательство. В конце главы и каждого из параграфов приводятся вопросы и упражнения.
3. «Геометрия, 7-9 класс», автор И.Ф. Шарыгин [33].
Тема «Четырехугольники» изучается в главе «Подобие». Автор учебника рекомендует изучать эту тему в 8 классе.
1-й параграф данной главы посвящен теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат».
В одну теорему объедены свойства и признаки параллелограмма, ее доказательство также приводится. И.Ф. Шарыгин указывает, что из определения понятия прямоугольника следует параллельность противоположных сторон прямоугольника, значит прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Затем приводится доказательство теоремы о свойствах прямоугольника.
Свойства и признаки ромба тоже объединены в одну теорему, доказательство которой приводится. Автор учебника отмечает, что квадрат обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника, т. к. он является и ромбом, и прямоугольником. Трапеция - еще один вид четырехугольника, изучается после теорем Фалеса и о средней линии треугольника.
Определение понятия трапеции дается через понятие четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Затем даются определения оснований, боковых сторон трапеции. Автор доказывает теорему о средней линии трапеции.
Выводы по проведенному анализу теоретической части школьных учебников по геометрии:
1. В каждом школьном учебнике по геометрии изучаются четырехугольники и частные виды четырехугольников (т.е. параллелограмм, трапеция, ромб, прямоугольник, квадрат).
2. Все проанализированные учебники содержат достаточный объем теоретического материала, ориентированного на формирование знаний по теме «Четырехугольники» на базовом уровне. Однако углубление и

20 расширение этих знаний на продвинутом уровне требует существенного оснащения содержания школьного учебника по геометрии задачами на доказательство.
§4. Анализ задачного материала по теме «Четырехугольники» в
школьных учебниках геометрии
В школьном курсе геометрии можно выделить следующую типологию задач:
- задачи на вычисление (алгебраический способ, арифметический способ, комбинированный способ);
- задачи на доказательство (метод от противного, синтетический метод, аналитический метод, аналитико – синтетический метод);
- задачи на построение с помощью циркуля и линейки (метод геометрического места точек, метод элементарных построений, метод параллельного переноса).
Типы задач в учебнике «Геометрия, 7-9 класс», автор Л.С. Атанасян
[3].
- Четырёхугольник: определение (п. 41 учебника): №366, №367, №368,
№369,370;
- Параллелограмм: определение (п. 42 учебника), признаки (признак № 1 – п. 43 учебника; признак №2 – п. 43 учебника): №371, №372, №373, №374,
№375, №376, №377, №379, №380, №382, №383, №394;
- Трапеция: определение, основания, боковые стороны, типы трапеции
(п. 44 учебника): №386, №387, №388, №389, №390, №391, №392,№397,
№398;
- Прямоугольник: определение (п. 45 учебника): №399, №400, №401,
№402, №403, №413;
- Ромб: определение (п. 46 учебника), свойство диагоналей ромба (п. 46 учебника): №404, №405, №406, №407, №408, №409, №414;

21
- Квадрат: определение (п. 46 учебника), свойства квадрата (№1 и №2 свойства - п. 46 учебника): №410, №411, №412, №415;
Также следует выделить задачи учебника: №378, №384, №385, № 393,
№396, где автор показывает ход их решения.
Типы задач в учебнике «Геометрия, 7-9 класс», автор А.В. Погорелов
[20].
- Четырёхугольник: определение (п. 50 учебника): №1, №2;
- Параллелограмм: определение (п. 51 учебника), признаки (№ 1 – п. 51 учебника; №2 – задача 18; №3): №3, №4, №17;
- Свойство диагоналей параллелограмма (п. 52 учебника): №5, №6, №7,
№22(2), №23(2);
- Свойство противолежащих сторон параллелограмма (п. 53 учебника):
№8, №10, №20, №21, №22(1), №23(1);
- Свойство противолежащих углов параллелограмма (п. 53 учебника):
№9, №11, №12, №13, №14, №15, №16;
- Прямоугольник: определение (п. 54 учебника): №27, №28, №29, №30,
№31, №32;
- Ромб: определение (п. 55 учебника), признаки (№1 – задача 33; №2 – задача 34; №3 – задача 36): №37, №39(1);
- Свойство диагоналей ромба (п. 55 учебника): №35, №38, №39(2);
- Квадрат: определение (№1 – п. 56 учебника, №2), признаки (№1– задача 40; №2): №41, №42, №43, №44, №45,№46, №47;
- Трапеция: определение, основания, боковые стороны, типы трапеции
(п. 59 учебника): №60, №61, №62, №63, №64, №71, №72;
- Средняя линия трапеции: определение, свойства (№1, 2) п. 59 учебника: №59, №65, №66, №67, №68, №69, №70;
Также следует выделить задачи учебника №18, №24, №25, № 26, №33,
№34, №36, №40,№ 60, так как они являются теоретическим материалом, который выносится за рамки параграфа.