Файл: методика обучения решению планиметрических задач по теме четырехугольники.pdf

31
P=2(x+y),
P=2( ∙y +y)=3y,
3y=90, y=30 x= ∙y= ∙30=15, x=AB=CD=15 см, y=AD=BC=30 см.
Ответ: 15, 30, 15, 30.
Задача 19. Величина одного из углов параллелограмма равна 60°, меньшая диагональ равна 2
см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пересечений диагоналей к большей стороне равна см. Найти длины сторон и большую диагональ.
Дано: ABCD- параллелограмм
(Рис.16), AC∩BD=O, BD= 2
,
∠BAD=60°, OH= см.
Найти: AB, AD, AC
Решение:
1) OH=
⇒ KH=
∙2=
=BF;
2) a=
,
∠ =60°, =
, a=
=
=
∙2=10=AB;
3) Рассмотрим
△ABF:
∠F=90°, ∠A=60° ⇒ ∠B=30° ⇒ AF= ∙AB,
AF= ∙10=5;
4) Рассмотрим
△FBD:
∠F=90° ⇒ △FBD-прямоугольный ⇒FD=
=7;
5) AD=FD+AF=7+5=12;
A
B
C
D
K
H
O
F
Рис.16. Рисунок к задаче №19

32 6)
△HOD-прямоугольный, HD=
= ;
7)
△AOH-прямоугольный, AO=
,
AH=AD-HD=12- = ,
AO=
=
=
⇒ AC=2∙
Ответ: 10; 12; 2∙
Задача 20. В параллелограмме ABCD: высота, проведенная из вершины B, тупого угла на сторону AD, делит ее в отношении 5 к 3, считая от вершины D. Найти отношение , если =2.
Дано: ABCD- параллелограмм
(Рис. 17), = , =2
Найти:
Решение:
1) Пусть AB=x, тогда AD=2x,
AK= ∙AD= ∙2x= = ,
KD= ∙AD= ∙2x=
= ;
2)Рассмотрим
△ABK:
BK
2
=AB
2
-AK
2
= x
2
-(
2
=
;
3)Рассмотрим
△BKD:
BD
2
=BK
2
+KD
2
=
+
=
= 2x
2
;
4) AM= + + =
;
5)
△ACM: AC
2
=CM
2
+KD
2
=
+
=
=8x
2
;
6)
=
,
= 4 ,
=
Ответ:
A
B
C
D
K
M
Рис.17.Рисунок к задаче №20

33
Задача 21. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметров двух смежных треугольников равна
8. Найти длины сторон параллелограмма.
Дано: ABCD- параллелограмм (Рис.
18), P
ABCD
=32 см, P
ACD
- P
ACB
= 8см
Найти: AB, AD
Решение:
Пусть AO=OC=x, BO=OD=y,
P
ABCD
=2(a+b),
32=2(a+b), a+b=16,
(b+y+x)-(a+y+x)=8, b+y+x-a-y-x=8, b-a=8, a= 16-b, b-16+b=8,
2b=24, b= 12
⇒ a=16-12=4 ⇒ a=AB=CD=4 , b=BC=AD=12
Ответ: 4; 12; 4; 12.
Задача
22.
Параллелограмм
ABCD, у которого AB=153 см,
AD=180 см, высота BE=135 см разделен на три равновеликие фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от т. A находится точка пересечения этих перпендикуляров с AD?
A
B
C
D
O
a b
x y
Рис.18.Рисунок к задаче №21
A
B
C
D
Q
P
E
K
M
S
1
S
2
S
3
Рис.19.Рисунок к задаче №22

34
Дано: ABCD- параллелограмм, AB=153 см, AD=180 см, BE=135 см,
S
1
=S
2
=S
3
, a
⊥AD, b⊥AD (Рис.19)
Найти: AK, AM
Решение:
1) S
ABCD
= AD∙BE=180∙135=24300,
S
1
=S
2
=S
3
=
= 8100;
2) Рассмотрим PQKM: QK=PM=135, PQ=KM=y,
S
2
=QP∙KQ=135y,
8100=135y, y=60
⇒ KM=60 3) Рассмотрим
△ABE: AE =
=
= 72,
AD=AE+2x+KM,
180=72+2x+60,
2x=48, x=24
⇒ EK=MD=24;
4) AK=AE+EK=72+24=96;
5) AM=AK+KM=96+60=156.
Ответ: AK=96, AM=156.
Система задач на тему «Трапеция и ее элементы»
Задача 23. «Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции» [3, с. 106].
Задача 24. «Докажите, что в равнобедренной трапеции: а) углы при каждом основании равны; б) диагонали равны» [3, с. 106].
Задача 25. «Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и
ВС, если
∠A=36°, ∠C= 117°» [3, с. 106].
Задача 26. «Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°.
Найдите остальные углы трапеции» [3, с. 106].

35
Задача 27. «Основания прямоугольной трапеции равны а и b, один из углов равен а. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если a = 4 см, b = 7 см, α=60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если a=10 см, b=15см, α=45°» [3, с. 106].
Задача 28. «Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам»
[20, с. 91].
Задача 29. «Постройте трапецию по основаниям и диагоналям» [20, с.
91].
Задача 30. В равнобедренной трапеции известны основания 20 и 12 см.
Центр окружности описанной лежит на большем основании. Найти диагональ и боковую сторону.
Дано:
ABCD- равнобедренная трапеция, AB=20 см, CD= 12 см, О- центр описанной окружности AO=OB=10 см
(Рис.20)
Найти: AC, AD
Решение:
1)
OK=
=
=
=
=
= 8 ( по т. Пифагора);
2) OL=
=
=
= 6 ( по т. Пифагора);
3) BL= AB-OL= ∙20-6=10-6=4;
4) BC=
=
=
=
=4
=AD;
5) AL=AB-LB=20-4=16;
6) AC=
=
=
=
=8
Ответ: 8
, 4
Задача 31. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции пересекаются под прямым углом. Площадь трапеции равна 12 см
2
, длина высоты равна 2 см. найти длины всех сторон.
Рис.20.Рисунок к задаче №30
О
D
A
C
B
L
K

36
Дано: ABCD-равнобедренная трапеция, S
ABCD
=12 см
2
, DH= 2 см,
∠ASB=90° (Рис.21)
Найти: AB, BC, CD, AD
Решение:
1) Т.к. DC║AB, то соответственные углы равны (
∠1=∠2=∠3=∠4), значит
△ADH-равнобедренный, AH=HD=2;
2)
BC=AD==
=
=
=
= =2
;
3)
S
ABCD
=
(DC+AB)∙DH=
(AB+DC)∙2,
12=AD+CD;
4) Пусть CD=x, KH=x,
AB+CD=12,
2+x+2+x=12,
2x=8, x=4
⇒ CD=4;
AB=12-CD= 12-4=8
Ответ: 4; 8; 2

Задача 32. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции пересекаются под прямым углом. Найти длины боковых сторон и ее основания, если средняя линия трапеции равна 10 см, а одно из оснований 8 см.
Дано: ABCD- трапеция, BC= 8 см,
KL- средняя линия,
∠A=30°, AB∩CD=S,
∠S=90° (Рис.22)
Найти: AD, AB, CD
Решение:
S
A
H
K
B
D
C x x
Рис.21.Рисунок к задаче №31
A
E
D
K
B
S
C
L
Рис.22. Рисунок к задаче №32

37 1) KL- средняя линия
⇒ KL= = (AD+BC),
10= (8+AD),
AD=12;
2) BE║CD
⇒ ∠ABE= 90°;
3) Рассмотрим
△ABE- прямоугольный,
∠A=30° ⇒ BE= AE,
AE=AD-BC=12-8+4=BC,
BE= ∙4=2
⇒ CD=2
AB=
=
=
=
=2
(по т. Пифагора).
Ответ: 2
, 4, 12.
Задача 33. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона равны. Найти длину средней линии, если высота 2см, а боковая сторона 4 см.
Дано:
ABCD- прямоугольная трапеция, AC=BC=4, AD=2 (Рис.23)
Найти: KH
Решение:
1)
CD=
=
=
=
=
=2
(по т. Пифагора);
2)AL=CD=2
BL;
3) KH= ∙(AB+CD)= ∙(2
+ 2
+ 2
)=
= 3
Ответ: 3
Задача 34. Найти боковую сторону равнобедренной трапеции описанной около круга, если известно, что ее площадь равна см
2
, а острый угол при основании равен 60°
A
D
K
C
H
L
B
Рис.23. Рисунок к задаче №33

38
Дано: ABCD- равнобедренная трапеция, ABCD- описана около окружности, S
ABCD
=
,
∠A=60°
(Рис.24)
Найти: AD
Решение:
1) Пусть AD=x, тогда AH=
(по свойству катета, лежащего против угла 30°);
2) AH=BK= ;
3) DC+AB=2AD,
DC+ +DC+ =2x,
2DC=x,
DC=
4) S
ABCD
= ∙(AB+CD)∙h,
AB= x+ = , DH= x∙ ,
= ∙ ( + )∙ x∙ ,
= ( + )∙ x∙ ,
64= x ∙x , x
2
= 64, x= 8
AD=CB= 8 см
Ответ: 8
Задача
35.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, ее площадь равна a
2
. Найти высоту трапеции.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, S
ABCD
= a
2
(Рис.25)
Найти: CH
A
H
K
B
O
D
C
Рис.24. Рисунок к задаче №34

39
Решение:
1) ACB′ :
∠ACB′=90°;
2) S
ACB′
= ∙AB′ ∙ CH= ∙(AB+CD)∙ CH=
S
ABCD
,
S
ACB′
= a
2
;
3)
∠AB′C= ∠CAB′ = 45°;
4)
△CHB′: ∠CHB′=90°,
∠HB′C= ∠HCB′= 45° ⇒ CH=HB′=
∙AB′ = ∙(AB+CD);
5) S
ACB′
= ∙AB′ ∙CH,
CH
2
=a
2
,
CH=a
Ответ: a
Задача 36. Диагонали равнобедренной трапеции 10 см, площадь 48 см
2
Найти высоту данной трапеции.
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, S
ABCD
= 48 см
2
, AC=BD=10 (Рис.
26)
Найти: CH
1) S
AB′C
= S
ABCD
,
S= ∙ AC ∙ B′C∙sinα, sinα=
= 0,96, cos
2
α=(1-sin
2
α)=1-0,96 2
=0,084, cosα=0,28 2) (AB′)
2
=AC
2
+CB′
2
-2AC∙CB′∙ cos
∠C,
(AB′)
2
=100+100-2∙100∙0,28,
(AB′)
2
= 200-56,
(AB′)
2
= 144,
A
D
H B
C
B’
Рис.25. Рисунок к задаче №35
A
D
H
B
C
B’
Рис.26. Рисунок к задаче №36

40
AB′=12 3) S
ACB′
= ∙ AB′∙CH,
48= ∙ 12∙CH,
CH=8
Ответ: 8
Система задач на тему «Ромб и его элементы»
Задача 37. «Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ является биссектрисой его угла» [3, с. 113].
Задача 38. «В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами» [3, с. 113].
Задача 39. «Найдите периметр ромба ABCD, в котором
∠B=60°, АС =
10,5 см» [3, с. 113].
Задача 40. «Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°» [3, с. 113].
Задача 41. «Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему углу» [20, с. 88].
Задача 42. «Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум диагоналям»[20, с. 88].
Задача
43.
Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной m и n. Найти диагонали ромба.
Дано: ABCD- ромб, AH- высота,
DH=m, HC=n. (Рис.27)
Найти: AC, BD
Решение:
O
A
B
C
D
H
n m
Рис.27. Рисунок к задаче №43

41 1) Рассмотрим
△AHD:
AD=m+n, DH=m,
AH
2
=(m+n)
2
-m
2
=m
2
+2mn+n
2
-m
2
= 2mn+n
2
;
2) Рассмотрим
△ACH:
AH=
, HC=n ,
AC=
=
;
3) OC= ∙ AC=
;
4) Рассмотрим
△OCD:
OD
2
=(m+n)
2
-
=
=
;
5) BD=2∙OD,
BD= 2∙
Ответ: AC=
, BD= 2∙
Задача 44. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2 см. Найти сторону ромба.
Дано: ABCD- ромб, AC- диагонали,
w(O;2), OK=2 (Рис.28)
Найти: AB
Решение:
1) Т.к.
△ABC и △ADC –равносторонние
⇒ ∠B= ∠BAC= ∠CAD= ∠CDA= 60°;
2) Рассмотрим
△BOK:
∠OBK= ∙ ∠B =30°
∠BKO=90°, OK=2, BO=2∙OK=2∙2=4;
3) sin
∠C= ⇒ BC= = = см
A
B
C
D
H
K
O
Рис.28.Рисунок к задаче №44

42
Ответ:
Задача 45. Найдите периметр ромба, высота которого равна 7 см, а площадь 84 см
2
Дано: ABCD- ромб (Рис.29), AH-высота, AH= 7 см, S
ABCD
= 84 см
2
Найти: P
ABCD
Решение:
1) S
ABCD
=AH∙BC,
84= 7∙BC,
BC=12;
2) P=2∙12+2∙12=48 см
2
Ответ: 48
Задача 46. Найдите углы ромба, если его периметр равен 16 см, а площадь 8 см
2
Дано: ABCD- ромб (Рис.30), P
ABCD
=16 см, S
ABCD
= 8 см
2
Найти:
∠A, ∠B, ∠C, ∠D
Решение:
1) P
ABCD
=4∙AB,
16=4AB,
AB=4;
2) S
ABCD
= AH∙BC,
8=AH∙4,
AH=2;
3) Т.к. AH= AB, то
∠B=30° ⇒ ∠B=
∠D=30° ⇒
⇒ ∠A= 180°-30°=150°⇒ ∠A= ∠C= 150°
Ответ: 150°, 30° , 150°, 30°
Система задач на тему «Квадрат и его элементы»
A
B
C
D
H
Рис.29. Рисунок к задаче №45
A
B
C
D
H
Рис.30.Рисунок к задаче №46

43
Задача 47. «Докажите, что если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он является квадратом» [20, с. 88].
Задача 48. «В равнобедренный прямоугольный треугольник, каждый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите периметр квадрата» [20, с. 89].
Задача 49. «Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диагонали другого квадрата. Найдите сторону последнего» [20, с. 89].
Задача 50. «Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна стороне другого квадрата. Найдите диагональ последнего» [20, с. 89].
Задача 51. «Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?» [3, с. 113].
Задача 52. «В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырехугольник - квадрат» [3, с. 113].
Выводы по второй главе
1. Разработаны методические рекомендации по обучению школьников решению планиметрических задач продвинутого уровня по теме
«Четырехугольники» в курсе геометрии основной школы.
2.Составлена методическая система задач по теме
«Четырехугольники», ориентированная на усвоение понятий: прямоугольник и его элементы, параллелограмм и его элементы, трапеция и ее элементы, ромб и его элементы. Также она направлена на обучение школьников усвоению знаний и решению планиметрических задач по теме
«Четырехугольники» на продвинутом уровне.

44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулируем основные выводы и полученные результаты проведенного исследования.
1. Проанализировано понятие логико-математического анализа тем школьного курса математики на примере содержания темы
«Четырехугольники».
2. Выделены основные требования к умениям и знаниям школьников по теме «Четырехугольники».
3. Проведен анализ учебников, включенных в Федеральный перечень учебных пособий, рекомендованных Министерством образования и науки
РФ[31]. Установлено, что все учебники содержат достаточный объем теоретического и задачного материала, ориентированного на формирование умений и закрепления знаний и навыков по теме «Четырехугольники» на базовом уровне. Однако обучение школьников решению задач на продвинутом уровне требует существенного оснащения задачного материала, предлагаемого в школьных учебниках.
4. Разработана методическая система задач, способствующая обучению школьников основным понятиям и фактам темы «Четырехугольники», формированию у школьников представления о таких важных понятиях планиметрии как многоугольник и его числовые характеристики, в частности периметр многоугольника, площадь многоугольника. Обучение школьников посредством разработанной методической системы задач на клетчатой бумаге способствует формированию у школьников тех основ, которые составляют базу обучения координатному и векторно-координатному способу решения планиметрических задач.
5. Выявлены формы, методы и средства обучения решению геометрических задач.