Файл: методика обучения решению планиметрических задач по теме четырехугольники.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 106
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
22
Таким образом, можно утверждать, что все учебники содержат достаточный объем задачного материала, ориентированного на формирование умений и закрепления знаний и навыков по теме
«Четырехугольники» на базовом уровне. Однако обучение школьников решению задач на продвинутом уровне требует существенного оснащения задачного материала, предлагаемого в школьных учебниках.
Выводы по первой главе
1. Проведен анализ учебников, включенных в Федеральный перечень учебных пособий, рекомендованных Министерством образования и науки
РФ[31]. Установлено, что все учебники содержат достаточный объем теоретического и задачного материала, ориентированного на формирование умений и закрепления знаний и навыков по теме «Четырехугольники» на базовом уровне. Однако обучение школьников решению задач на продвинутом уровне требует существенного оснащения задачного материала, предлагаемого в школьных учебниках.
2. Разработана методическая система задач, способствующая обучению школьников основным понятиям и фактам темы
«Четырехугольники», формированию у школьников представления о таких важных понятиях планиметрии как многоугольник и его числовые характеристики, в частности периметр многоугольника, площадь многоугольника. Обучение школьников посредством разработанной методической системы задач на клетчатой бумаге способствует формированию у школьников тех основ, которые составляют базу обучения координатному и векторно-координатному способу решения планиметрических задач.
23
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ
«ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ» В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ ОСНОВНОЙ
ШКОЛЫ
§5. Формы, методы и средства обучения школьников решению
геометрических задач
«Геометрические задачи (к ним в общем случае можно отнести и теоремы, вопросы методики работы с которыми рассмотрены в публикациях
М. Б. Воловича, Я. И. Груденова, О. Б. Епишевой, Ю. М. Колягина, Г. И.
Саранцева и др.) помогают освоить приемы рассуждений (дедуктивного и индуктивного), являются средством формирования следующих умений:
– на основе наблюдения или обобщения частных (или знакомых) задач выдвигать гипотезу о способе решения;
– анализировать ее текст, выделять условие и заключение;
– осуществлять поиск способа доказательства, решения;
– выстраивать прямое и косвенное доказательство;
– отбирать аргументы и на их основе делать выводы;
– грамотно использовать признаки, свойства, необходимые и достаточные условия.
Перечисленные умения лежат в основе ключевых компетенций и универсальных учебных действий (направленность на формирование которых заложена во ФГОС общеобразовательной школы)»[29, с. 53].
Мищенко Т.М. [18] утверждает, что «уровень геометрической подготовки учащихся и содержание изучаемой темы позволяют определить основную форму работы в виде беседы с активным привлечением школьников на всех этапах урока: при введении нового материала; его закреплении; решении задач»[18, с. 9].
Решая определенную геометрическую задачу, у школьников происходит формирование:
-логически грамотных речевых выражений своих мыслей;
24
-коммуникативных умений;
-наглядно-образного и абстрактного мышления.
В школьном курсе математики решение геометрических задач чаще всего вызывает большое затруднение у учащихся.
«Они не только не умеют самостоятельно решать задачи, но часто оказываются не в состоянии воспроизвести доказательство, разобранное в учебнике, если несколько видоизменить чертеж или ввести другие буквенные обозначения. В обосновании шагов решения ссылаются не на ту теорему»
[30, с. 53].
Методику обучения учащихся решению планиметрических задач можно разделить на три вида:
- методика работы с геометрическими задачами на вычисление;
- методика работы с задачей на построение в школьном курсе планиметрии;
-методика работы с задачей на доказательство.
Рис.14. Построение четырехугольников в программе «GeoGebra»
25
В основе обучения школьников решению планиметрических задач на вычисление, доказательство, построение важную значимость приобретает рисунок (изображение), отражающий наглядное отображение условия и требования задачи. Справедливо отмечают многие учителя-практики, что правильно построенный рисунок (изображение) это наполовину решенная задача. Иногда только правильно построенный рисунок (изображение) может служить основой доказательства или опровержения какого-то факта. Обучать школьников построению правильных изображений одна из сложных задач методики обучения геометрии. Далее приводится один из вариантов использования программного продукта «GeoGebra» с целью обучения школьников построению наглядных, полных и наиболее точных изображений, соответствующих условиям и требованиям данной задачи
(Рис.14).
§6. Методические рекомендации по обучению школьников решению
геометрических задач по теме «Четырехугольники»
Решение планиметрических задач в школьном курсе геометрии является одним из самых важных этапов усвоения школьниками системы математических знаний в курсе геометрии основной школы, в особенности основных геометрических понятий и связей, которые образуются между ними. Когда школьники работают с геометрической задачей, в частности планиметрической задачей по теме «Четырехугольники», то у них происходит развитие всевозможных творческих способностей, развитие самостоятельного мышления, также у учащихся приобретаются навыки практического применения теоретических знаний по геометрии, которые им обязательно пригодятся при дальнейшем изучении предмета. Как в последнее время показывает педагогическая практика, когда учащиеся решают геометрические задачи, путем не общих и распространенных
26 приемов, то это не дает им положительных результатов, и что в свою очередь вызывает большие затруднения у них.
Когда учитель математики начинает планировать урок, то ему необходимо обратить особое внимание школьников на теорию из учебника, которая нужна при решении геометрических задач по теме
«Четырехугольники» и чтобы учащиеся переосмыслили ее содержание на практических занятиях. Данный методический подход поможет школьникам лучше осмыслять и воспринимать конкретный пример, осознанно применять теоретические знания на практике, также он будет способствовать наиболее быстрому закреплению изученного теоретического материала, а приобретенные уже ранее математические знания в области геометрии станут более стабильными и прочными.
Основные этапы, которые можно выделить при решении геометрической задачи по теме «Четырехугольники»:
- первоначально следует изучить условие геометрической задачи;
- построить изображение фигуры;
- проанализировать, каким будет решение геометрической задачи, т.е. найти нужный способ решения;
- выбрать наиболее оптимального путь решения планиметрической задачи;
- решить геометрическую задачу;
-записать ответ и провести исследование полученного нами результата.
Зачастую школьники не проводят исследование полученного ими результата, что в свою очередь приводит к неправильному ответу.
Алгоритм решения планиметрических задач по теме
«Четырехугольники», который рекомендуется предложить школьникам на уроке:
- сначала следует изучить условие геометрической задачи. Построить рисунок, который будет соответствовать условию нашей планиметрической задачи;
27
- школьнику необходимо уяснить, что надо искать в геометрической задаче и какой теоретический материал будет полезен и может понадобиться ему;
- далее из системы опорных геометрических задач стоит выделить наиболее повторяющиеся планиметрические задачи, желательно стоит сопровождать рисунками (изображениями), которые будут входить в ход решения конкретной геометрической задачи;
- школьнику необходимо выяснить, какие из ранее изученных геометрических задач могут понадобиться ему решении конкретной геометрической задачи;
- беря во внимание предыдущий шаг, школьники должны попытаться переформулировать данную задачу. После чего, попробовать решить ее самостоятельно.
Зная систему опорных геометрических (планиметрических) задач, учитель математики четко должен планировать необходимость использования конкретной опорной геометрической (планиметрической) задачи при решении данной геометрической (планиметрической) задачи. Это в свою очередь дает возможность обучить школьников приему «разложения» сложной геометрической (планиметрической) задачи на более простые составляющие геометрической (планиметрической) задачи.
Синтетический и аналитический методы являются основными приемами при решении школьниками геометрических задач.
Используя синтетический методе решения геометрической задачи школьники должны прояснить себе, что синтетическими рассуждениями называют рассуждения с последующим переходом, т.е. с помощью логических умозаключений, от данных условий задачи к ее заключению.
Вопрос «Что мы можем узнать исходя из данных условий задачи?» является основным в этом методе.
Используя аналитический метод решения геометрической задачи, школьники должны осознанно представлять себе, что проведенный ими
28 анализ должен состоять в том, что их рассуждения должны начинаться от искомого и заканчиваться данным. Вопрос «Что надо знать, чтобы ответить на главный вопрос задачи?» является основным. Проводя анализ геометрической задачи, следует обращать особое внимание школьников на то, что зачастую условие планиметрической задачи дает своего рода подсказку на очередной основной и ведущий вопрос.
§7. Системы задач по теме «Четырехугольники», ориентированные на
усвоение понятий: прямоугольник и его элементы, параллелограмм и
его элементы, трапеция и ее элементы, ромб и его элементы
Как было уже отмечено в первой главе учебники и учебные пособия по геометрии, входящие в перечень учебных пособий, рекомендованных
Министерством образования и науки, способствуют обучению школьников усвоению теоретических знаний и решению планиметрических задач на базовом уровне. Однако обучению геометрическим методам познания окружающего мира на продвинутом уровне требует разработки особой методической системы планиметрических задач по теме
«Четырехугольники», ориентированной на обучение школьников решению творческих задач. Далее мы предлагаем систему задач, обусловливающую обучение школьников основным приемам решения задач продвинутого уровня. При разработке этой системы мы использовали как задачный материал школьных учебников разных авторов, так и задачный материал, содержащийся в пособиях для внеурочной деятельности.
Система задач на тему «Четырехугольник и его элементы»
Задача 1. «Постройте какой-нибудь четырехугольник PQRS. Укажите его противолежащие стороны и вершины»[20, с. 86].
Задача 2. «Докажите, что у четырехугольника, описанного около окружности, суммы противолежащих сторон равны» [20, с. 86].
29
Система задач на тему «Прямоугольник и его элементы»
Задача 3. «Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником» [3, с. 113].
Задача 4. «Докажите, что если в четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник — прямоугольник» [3, с. 113].
Задача 5. «Докажите, что если у параллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником»[20, с. 88].
Задача 6. «Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм» [3, с. 113].
Задача 7. «В прямоугольнике точка пересечения диагоналей отстоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от большей. Периметр прямоугольника 56 см. Найдите стороны прямоугольника» [20, с. 88].
Система задач на тему «Параллелограмм и его элементы»
Задача 8. «Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: a)
∠BAC=∠ACD и ∠BCA=∠DAC; б)AB||CD,
∠A=∠C» [3, с. 104].
Задача 9. «Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ≠
ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к прямой АС.
Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм» [3, с. 104].
Задача 10. «На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ=СР, BN=DQ,
BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы» [3, с.
104].
Задача 11. «Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке
О. Докажите, что четырехугольник вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — параллелограмм» [3, с. 105].
Задача 12. «Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность
30 двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в два раза больше другой» [3, с.
104].
Задача 13. «Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК=
15 см, КС=9 см» [3, с. 104].
Задача 14. «Найдите углы параллелограмма ABCD, если: a)
∠A = 84°;
6)
∠A-∠B = 55°; в) ∠A + ∠C= 142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD=16°, ∠ACD = 37°»
[3, с. 104].
Задача 15. «В параллелограмме MNPQ проведен перпендикуляр NH к прямой MQ, причем точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН=3см, HQ = 5 см,
∠MNH=30°» [3, с.
104].
Задача 16. « Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям»[20, с. 87].
Задача 17. « Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и углу;
2) по диагоналям и углу между ними» [20, с. 87].
Задача 18. Периметр параллелограмма равен 90 см, острый угол 60°.
Диагональ делит его тупой угол на части в отношении 1 к 3. Найти стороны параллелограмма.
Дано: ABCD- параллелограмм (Рис.15),
∠A=60°, P
ABCD
= 90 см, :
Найти: AD, AB
Решение:
1)
∠D=180°-60°=120°,
:
⇒ = 30°, = 90°;
2) Рассмотрим
△ABD:
∠ABD=90°, ∠ADB=30°,
Пусть AB=x, AD=y, x= ∙y,
A x y
B
C
D
β
α
Рис.15. Рисунок к задаче №18