Файл: 1 Определение линейного пространства. Следствия из аксиом. Линейное пространство.docx

51) Алгоритм построения канонического базиса (ну и ЖНФ)

Пример. Построить жорданову нормальную форму матрицы



Матрица блочно-треугольная, характеристический многочлен имеет вид



Таким образом, все пространство раскладывается в прямую сумму двух корневых подпространств



Рассмотрим собственное число

В=А-Е=



Решаем систему B и находим базис собственного подпространства, соответствующего собственному числу 1.



Геометрическая кратность собственного числа 1 равна 2, следовательно, корневое подпространство разлагается в прямую сумму двух циклических подпространств



Первый этаж исходной таблицы состоит из двух векторов



Находим фундаментальную систему решений



Корневым вектором высоты 2 является только его и помещаем на второй этаж исходной таблицы.

a

Решая систему находим корневой вектор высоты 3 и помещаем его на третий этаж



Исходная таблица для имеет вид







Для построения канонического базиса умножаем вектора таблицы, начиная с верхнего этажа, на матрицу



, ,

Канонический базис

Перейдем к корневому подпространству соответствующему собственному числу 2.



Базис собственного подпространства образует вектор





Фундаментальная система решений имеет вид



Корневым вектором высоты 2 является Исходная таблица







Канонический базис .

Канонический базис получим в результате объединения канонических базисов корневых подпространств



Жорданова нормальная форма матрицы имеет вид



Таким образом, собственному числу 1 соответствуют две клетки размерности 3 и 1, а собственному числу 2 соответствует одна клетка размерности 2.

Построим матрицу



из векторов канонического базиса. Эта матрица является матрицей преобразования подобия Это формула для проверки правильности ЖНФ и канонического базиса.

52) Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора в вещественном пространстве

Пусть линейное пространство над полем вещественных чисел. Погрузим это пространство в комплексное линейное пространство Введем в линейном пространстве операции сложения и умножения на комплексное число

1. 
   
   
2. 
   
   

Нетрудно убедиться в том, что относительно введенных операций сложения и умножения на число является линейным пространством. В дальнейшем будем полагать, что



Лемма 1.

Определение. Линейное пространство называется комплексным расширением вещественного пространства

Рассмотрим линейный оператор Построим оператор

совпадающий с на векторах Полагаем по определению



Лемма 2. Оператор является линейным.

Определение. Линейный оператор называется расширением линейного оператора на комплексное пространство

Выберем в вещественный базис



Матрицы линейных операторов и в указанном базисе совпадают и являются вещественными. Таким образом, характеристический многочлен оператора имеет вещественные коэффициенты.

Теорема 1. Для любого линейного оператора действующего в вещественном линейном пространстве существует по крайней мере одно одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Замечание. Подпространство не содержит ни одного собственного вектора оператора Матрица индуцированного на

оператора имеет вид

.

Теорема 2. Пусть корневое подпространство, соответствующее комплексному собственному числу оператора ,

где циклические подпространства.

Тогда , где циклические подпространства.

Теорема 3. Существует вещественный базис, в котором матрица линейного оператора имеет блочно-диагональный вид

,

где вещественные собственные числа оператора соответствующие им клетки Жордана имеют вид

, .

Парам комплексно-сопряженных собственных чисел , …,

соответствуют обобщенные клетки Жордан