Файл: 1 Определение линейного пространства. Следствия из аксиом. Линейное пространство.docx

1) Определение линейного пространства. Следствия из аксиом.

Линейное пространство - множество элементов произвольной природы, для которых выполнены:

1. 
   Имеется правило, по которому любым двум элементам множества ставится ! элемент того же множества, называемый их суммой.
   

2. 
   Имеется правило, по которому любому элементу из множества и любому вещественному числу ставится в соответствие ! элемент, называемый произведением элемента на число.
   

3. 
   Относительно введенных операций выполнены следующие аксиомы:
   

• 
  x+y=y+x
  
• 
  (x+y)+z=x+(y+z)
  
• 
  Существует нулевой элемент
  
• 
  Существует противоположный элемент для каждого элемента
  
• 
  1*х=х
  

• 
  λ(μx)=(λμ)x
  
• 
  (λ+μ)x=λx+μx
  
• 
  λ(x+y)=λx+λy
  

Элемент линейного пространства - вектор.

Теорема 1. В произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.

Теорема 2. В произвольном линейном пространстве:

1. 
   Нулевой элемент = произведение произвольного элемента на 0
   

2. 
   Противоположный элемент= произведение элемента на -1
   

Теорема 3. Существует единственный элемент z, удовлетворяющий соотношению y + z = x, называемый разностью элементов х и у (z=x-y)

Свойства линейных пространств:

• 
  Число*нулевой вектор=нулевой вектор
  
• 
  Если число*вектор=0, то либо число=0, либо вектор нулевой
  

• 
  (-число)*вектор=-(число*вектор)=число*(-вектор)
  
• 
  Число(вектор1-вектор2)= Число*вектор1- Число*вектор2
  
• 
  (Число1-Число2)вектор= Число1*вектор- Число2*вектор
  

2) Линейная зависимость и независимость

Линейная комбинация векторов е1...еn есть сумма Σai*ei, где ai вещественные

Линейная оболочка - множество всевозможных линейных комбинаций заданной системы векторов.

Свойства линейных оболочек:

• 
  Линейная оболочка - линейное пространство
  
• 
  Линейная оболочка содержится в линейном пространстве V.
  

Если z= Σai*ei ei= Σbij*yj, то z= Σai* bij*yj

Вектора называются линейно зависимыми, если Σai*ei=0 и ai!=0 одновременно

Вектора называются линейно независимыми, если равенство ЛК нулю возможно только в случае, когда все ai=0

Теорема 1. Чтобы вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Справедливы следующие утверждения:

1. 
   Если среди элементов имеется нулевой, то система линейно зависима.
   

2. 
   Если часть векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
   

3. 
   Если вся система линейно независима, то и любая её подсистема линейно независима.
   

3) Теорема о числе линейных комбинаций. Эквивалентные системы векторов.

Теорема 1. Если число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов, то комбинации линейно зависимы

Две системы называются эквивалентными, если любой вектор одной системы линейно выражается через вектора другой системы.

Понятие эквивалентности двух систем векторов является отношением эквивалентности, т.е. выполнены симметричность, рефлексивность, транзитивность.

Теорема 2 Чтобы две системы были эквивалентными необходимо и достаточно, чтобы их линейные оболочки совпадали

Теорема 3 Эквивалентные линейно независимые системы состоят из одного и того же числа векторов.

4) Базис и размерность линейного пространства.

Совокупность линейно независимых векторов называется базисом, если любой вектор системы представим в виде линейной комбинации векторов из этой сов-ти.

Теорема 1 Любой вектор может быть разложен по базису единственным образом.

Теорема 2 При сложении двух векторов их координаты складываются, при умножении на число, умножаются на это число.

Линейное пространство называется n-мерным, если в нём существует n линейно независимых векторов, а любая система из n+1 векторов линейно зависима. N=dimV размерность.

Теорема 3. Если пространство размерности n, то любые n линейно независимых вектора образуют базис.

Теорема 4. Если пространство имеет базис, состоящий из n векторов, то размерность пространства n.

Пространство называется конечномерным, если n конечное число.

5) Изоморфизм линейных пространств.

Два пространства называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие так, что: x+y->x’+y’ ax->ax’

Теорема 1. Чтобы два пространства были изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы их размерности совпадали.

Следствие. Чтобы система векторов была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы их образы в изоморфном пространстве были линейно независимы. (аналогично для зависимости)

6) Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат.

f1=t11*e1+t21*e2+...+tn1*en …….

⎨ fn=t1n*e1+t2n*e2+...+tnn*en
t11 t12...t1n

T=⎛ t21 ... ⎞

… ...

⎝ tn1 tn2...tnn ⎠ Матрица перехода от Е к F. Она всегда невырожденная.

Лемма 1.Если Т - матрица перехода от Е-базиса к F-базису, R - матрица перехода от F- базиса к G-базису, то H=T*R - матрица от Е к G.

Лемма 2. Если Т - матрица перехода от Е-базиса к F-базису, то T^-1 матрица перехода от F-базиса к Е-базису.

7) Подпространства линейных пространств.

Подмножество Р является подпространством L, если оно самое является пространством относительно введенных в L операций сложения и умножения на число.

Теорема 1. Для того, чтобы непустое множество Р было подпространством L, необходимо и достаточно, чтобы

• 
  для любых х и у из Р, их сумма также принадлежала Р
  
• 
  для любого х, ах также принадлежала Р.
  

Теорема 2. Размерность подпространства <= размерности пространства. dim P = dim L <=> P=L.

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы.

Теорема 3. Линейная оболочка системы векторов есть минимальное подпространство, содержащее все вектора данной системы, причём его размерность есть ранг системы.

8) Подпространство решений линейной однородной системы.

Рассмотрим систему Ах=0

Теорема 1 Множество решений Р однородной системы линейных уравнений является подпространством Rn размерности n-r, где r=rangA

Вектора ФСР - базис Р

Теорема 2. Если вектора е1...ек образуют базис к-мерного подпространства Р n мерного пространства L, то базис е1..ек можно дополнить векторами е(к+1)...еn до базиса L

Теорема 3. Каждое подпространство Rn определяется линейной однородной системой.

Замечание. Такое определение не однозначно

9) Сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана.

Суммой двух подпространств называются все вектора х=у+z, где y принадлежит одному подпространству, z другому.

Пересечением называется множество векторов, содержащее элементы двух подпространств одновременно.

Теорема 1. Сумма и пересечение являются линейными подпространствами

Теорема 2. Формула Грассмана dim(p+q)+dim(p∩q)=dimp+dimq

10) Построение базиса суммы и пересечения линейных подпространств

Рассмотрим изоморфное L арифметическое пространство Rn координатных столбцов векторов из L. Каждому базисному вектору в соответствие поставим аналогичный столбец из Rn. Введём в рассмотрение матрицу

A=(E1...Em1,F1...Fm2)

dim(P+Q)=rangA

Базис Р может быть дополнен векторами Q до базиса суммы. Достаточно привести матрицу А к трапециевидной форме и выделить линейно независимые столбцы. Соответствующие им вектора образуют базис P+Q.

Пересечение

x=a1e1+...anen=b1f1+...bmfm

a1e1+...anen-(b1f1+...bmfm)=0

запишем последнее в виде системы. Bz=0

rangB=rangA=dim(P+Q)

решение Bz=0

пусть базис суммы образуют e1...en f1...fs

размерность суммы r=n+s

Тогда размерность пространства решений Bz=0

d=n+m-r=m-s

фср Bz=0



Введём в рассмотрение вектора:



По построению изоморфное перечению подпространство в Rn есть линейная оболочка Q1...Qd

Q1...Qd лнз,т.к. лнз F1...Fm.

Вектора Q1...Qd базис пересечения.

11)Прямая сумма линейных подпространств.

Прямой суммой называется сумма подпространств при условии, что пересечение состоит только из нулевого вектора. P1 ⊕ P2 = {0}

Теорема 1.Чтобы пространство раскладывалось в прямую сумму подпространств, необходимо и достаточно, чтобы любой вектор единственным образом представлялся в виде суммы двух векторов, один из которых принадлежит одному подпр-ву, а другой другому.

Теорема 2. Для того, чтобы пространство раскладывалось в прямую сумму, необходимо и достаточно, чтобы dimL=dimP1+dimP2

Теорема 3 Для того, чтобы пространство раскладывалось в прямую сумму подпространств, необходимо и достаточно, чтобы объединение любых базисов подпространств давало базис пространства.

Следствие: Следующие утверждения эквивалентны для прямой суммы неск. подпр-в

1. 
   Существует единственное представление нулевого вектора в виде суммы слагаемых из подпространств.
   
2. 
   Существует единственное представление вектора пространства в виде суммы слагаемых из подпространств.
   
3. 
   
   
4. 
   Сумма размерностей подпространств= размерности пространств
   
5. 
   Объединение базисов подпространств=базис пространства.
   

Теорема 4. Существует подпространство P2: P1⊕P2=L. P2 называют прямым дополнением к P1 относительно L.

12) Фактор-пространство.

Будем говорить, что вектора сравнимы по модулю Р, если x-y∊P

x≡y(modP)

Очевидные свойства сравнений:

• 
  x≡x
  
• 
  Если x≡y, то у≡х
  
• 
  транзитивность
  
• 
  Если x≡y u≡v, то x+u≡y+v
  
• 
  Если x≡y, то ax≡ay
  

Класс векторов, сравнимых по модулю P c x будем обозначать

Теорема 1.Два класса сравнимых по модулю P векторов и либо не пересекаются, либо совпадают.

Следствие. Если вектора x и y сравнимы по модулю P, то =

Теорема 2. + = a =

Множество всех классов векторов, сравнимых по модулю P обозначим L/p

Теорема 3 Множество L/p всех классов векторов сравнимых по модулю P образуют линейное пространство, которое называют фактор-пространством.

Теорема 4 dimL/p=dimL-dimP

13) Линейные многообразия

Линейный многообразием линейного пространства L называется совокупность векторов M полученная прибавлением ко всем векторам подпространства Р одного и того же вектора X0

Лемма. Класс векторов сравнимых с x по модулю P образует линейное многообразие

Теорема. Чтобы многообразия были равны, необходимо и достаточно, чтобы подпространства были равны и X1-X2 принадлежал пересечению подпространств

Теорема. Для того, чтобы множество было линейным многообразием, необходимо и достаточно чтобы вместе с векторами X1 X2 множеству принадлежали все точки (1 - λ)X1 + λX2 (то есть вся прямая проходящая через указанные точки)

Теорема. Для того, чтобы множество было линейным многообразием, необходимо и достаточно, чтобы множество P всевозможных разностей двух векторов из этого множества было линейным подпространством.

Размерностью линейного многообразия называется размерность направляющего подпространства Р

14) Линейное многообразие решений линейной неоднородной системы.

Рангом линейной неоднородной системы АX = В будем называть r=rangA

Теорема. Всякое линейное многообразие размерности К в пространстве Rn задается линейной /неоднородной системой ранга N - K = r. Обратно, множество решений линейной неоднородной системы ранга r = N - K является линейным многообразием размерности K.

15) Сумма и пересечение линейных многообразий.

Теорема. Сумма и пересечение линейных многообразий являются линейными многообразия.

H0 + H1 = (X0 + X1) + (P0 + P1)

H0 ∩ H1 = X0 + (P0 ∩ P1), где X0 принадлежит H0 ∩ H1

16)Евклидово пространство и его простейшие свойства.

Линейное пространство называется евклидовом пространством если выполнены следующие требования :

1. 
   Имеется правило, посредством которого любым двум элементам x y ставится в соответствии вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначается (x;y)
   
2. 
   Выполнены аксиомы:
   

1. (Lx,y)=L(x,y)

2. (x,y1+y2)=(xy1)+(xy2)

3. (x,y)=(у,х)

4.(х,х) >= 0, при этом (x, x) = 0 <=> x = 0

Неравенство Коши-Буняковского.

(x,y)^2<=(x,x)(y,y)

Свойства скалярного произведения:

1. 
   (y1 + y2, x) = (y1, x) + (y2, x)
   
2. 
   (x, Ly) = L(x, y)
   
3. 
   (x, y1 - y2) = (y1 - y2, x) = (x, y1) - (x, y2)
   
4. 
   (x, 0) = 0
   

Линейное пространство называется нормированным если выполнены следующие требования :

1. 
   Имеется правило посредством которого каждому элементу ставится в соответствии вещественное число называемое нормой указанного элемента и обозначается ॥x॥
   
2. 
   Выполнены аксиомы:
   

1. , причем ||x|| = 0 ⇔ x = 0

2.

3.

Всякое евклидово пространства является нормированным, если в нём норму элемента определить равенством

॥x॥=

Углом между элементами X и Y назовем угол косинус которого определяется соотношением:

cos =

Два произвольных элемента X и Y назовем ортогональными если скалярное произведение X и Y=0

||x + y||^2 = ||x||^2 + ||y||^2, если (x, y) = 0 - аналог т. Пифагора

17) Унитарное пространство и его простейшие свойства.

Линейное пространство называется унитарным если выполнены следующие требования:

1. 
   Имеется правило, посредством которого любым элементам X и Y ставится в соответствие комплексное число (X, Y), называемое их скалярным произв-ем
   
2. 
   Выполнены аксиомы:
   

1. (Lx,y)=L(x,y)

2. (x1 + x2,y)=(x1, y)+(x2, y)

3. (x,y)=

4.(х,х) вещественное неотрицательное число, равное 0 т. и т. т. когда x = 0

Простейшие свойства:

1. 
   (x,Ly)= (x,y)
   
2. 
   (x,y1+y2)=(x, y1)+(x, y2)
   

Теорема. Для любых X и Y, принадлежащих унитарному пространству справедливо неравенство Коши-Буняковского

|(x, y)|^2 <= (x, x)(y, y)

Теорема. Унитарное пространство с нормой ||x||= образуют нормированное пространство

18) Ортонормированный базис и его существование.

Будем говорить, что ненулевые элементы е1...еk образуют ортогональную систему если

(ei;ej)=0 при i!=j

Теорема.Ортогональная система ненулевых векторов является линейно независимой

Следствие.Число ненулевых векторов в ортогональной системе <= размерности пространства

Система векторов Унитарного пространства называется ортонормированной если

(ei;ej)=

Теорема. Во всяком n-мерном унитарном евклидовом пространстве существует ортонормированный Базис.

e1=f1/||f1||

…

en=gn/||gn|| где gn=fn-(

Свойства ортонормированного базиса:

1. (x, y) = Σxi * [сопряженное к yi]

2.

3. 
   Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому унитарна
   
4. 
   Равенство Парсеваля
   

Теорема. для того чтобы векторы e1, …, en образовывали ортонормированный Базис необходимо и достаточно чтобы для любого вектора X