Степень относительного минимального многочлена совпадает с минимальным для которого содержит ненулевые векторы.

Пусть матрица линейного оператора в базисе . Выберем базис базис В выбранном базисе найдем координатные столбцы соответствующих векторов.



Пусть степень относительного минимального многочлена. Составим матрицу



Фундаментальная система решений состоит из одного вектора



Выбираем единственную произвольную постоянную таким образом, чтобы Искомый относительный минимальный многочлен вектора :



Опр. Ненулевой многочлен P будем называть относительным аннулирующим многочленом пространства относительно подпространства если для любого вектора

Опр. Ненулевой приведенный многочлен Q называется минимальным аннулирующим многочленом пространства

---

относительно подпространства если

1. 
   относительный аннулирующий многочлен
   
2. 
   относительный аннулирующий многочлен минимальной степени.
   

Свойства аналогичны свойствам

Относительный минимальный многочлен пространства может быть построен как НОК относительных минимальных многочленов базисных векторов.

38) Первая теорема о расщеплении

Теорема 1: (первая теорема о расщеплении)

Если минимальный многочлен линейного пространства представим в виде произведения двух взаимно простых многочленов и , то пространство расщепляется в прямую сумму двух инвариантных подпространств и так, что минимальными многочленами данных подпространств являются и соответственно.

(Здесь )

Следствие: Результат теоремы 1 справедлив для произведения конечного числа взаимно простых многочленов.

Теорема 2: Если минимальные многочлены векторов и из взаимно просты, то минимальный многочлен их суммы равен произведению минимальных многочленов слагаемых.

Следствие: Результат теоремы 2 справедлив для относительного минимального многочлена вектора.

39) Теорема о существовании вектора, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом пространства.

---

Теорема 3: В пространстве всегда существует вектор, минимальный многочлен которого совпадает с минимальным многочленом всего пространства.

40) Циклические инвариантные подпространства

Пусть минимальный многочлен вектора Векторы линейно независимы, причем



Опр. Подпространство с базисом называется циклическим подпространством, порожденным вектором

Теорема: Циклическое подпространство инвариантно относительно линейного оператора

Теорема: Минимальный многочлен порождающего вектора будет одновременно минимальным многочленом всего подпространства

41) Вторая теорема о расщеплении

Теорема: (Вторая теорема о расщеплении)

Пространство всегда можно расщепить на циклические относительно данного линейного оператора подпространства с минимальными многочленами



так, чтобы многочлен совпадал с минимальным многочленом всего пространства и каждый многочлен

---

был бы делителем предыдущего многочлена

---

42) Критерии цикличности. Нерасщепимость

Теорема: Для того, чтобы пространство L было циклическим, необходимо и достаточно, чтобы его размерность совпадала со степенью его минимального многочлена

Теорема: Циклическое пространство расщепляется только на такие инвариантные подпространства, которые

1. 
   сами являются циклическими
   
2. 
   имеют взаимно простые минимальные многочлены.
   

Теорема: Если пространство расщепляется на инвариантные подпространства, которые

1. 
   являются циклическими
   
2. 
   имеют взаимно простые минимальные многочлены, то само пространство является циклическим.
   

Теорема: Пространство не расщепляется на инвариантные подпространства тогда и только тогда, когда

1. 
   оно циклическое
   
2. 
   его минимальный многочлен есть степень неприводимого над данным полем многочлена
   

43) Третья теорема о расщеплении. Первая и вторая ЕНФ матрицы линейного оператора.

Теорема: (третья теорема о расщеплении)

Пространство всегда можно расщепить на циклические инвариантные подпространства



так, чтобы минимальный многочлен каждого из этих циклических подпространств был степенью неприводимого многочлена.

Структура матрицы лин. оп. в случае, если пр-во допускает расщепление на циклические подпр-ва. Эта матрица имеет блочно-диагональный вид.

Расщепим по второй теореме о расщеплении







…………………………………..

.

Обозначим через порождающие векторы в подпространствах и составим базис пространства объединяя базисы подпространств, в прямую сумму которых оно расщепляется

---

Смотрите также файлы

• Инструмент оснастка Инструмент оснастка.docx

• 1. 1 Школа и семья как субъекты образовательного процесса.doc

• Образовательное учреждение высшего образования мордовский государственный педагогический университет имени м. Е. Евсевьева.docx

• Отчет по дисциплине Экономика финансы и организации Практикум Тема Доходы и финансовые результаты организации обучающийся группы дбэ101бд Абраам Абрамян Хоренович.docx

• Практическая работа 5 Быстрота Особенности возрастного периода 1215 лет.docx