векторами

Теперь построим матрицу линейного отображения в паре базисов

и Эта матрица имеет вид

A = ( O

O O)

Здесь – единичная матрица порядка Это канонический вид матрицы линейного отображения.

32) Линейные операторы. Основные свойства.

Линейное отображение пространства в себя называется линейным оператором :

Линейный оператор также характеризуется ядром и образом с той лишь разницей, что и являются подпространствами одного линейного пространства .Пусть базис Поставим в соответствие в данном базисе образам базисных векторов координатные столбцы

Матрица размерности называется матрицей линейного оператора в базисе

Нетрудно установить взаимно-однозначное соответствие между линейными операторами :

---

и квадратными матрицами

Теорема: Если в базисе , то

Если в базисе , то

Если в базисе , то

Теорема: Ранг линейного оператора равен рангу матрицы этого оператора .



Теорема: Пусть и - два различных базиса матрица линейного оператора в базисе Тогда матрица этого оператора в базисе имеет вид где матрица перехода от базиса

к базису

Замечание: Ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса, поскольку матрицы в различных базисах подобны.

Для линейного оператора : справедливо

. (*)

Пример: Рассмотрим оператор проектирования произвольного вектора из

---

на координатную плоскость Покажем, что этот оператор является линейным.

,







Построим матрицу оператора проектирования в стандартном координатном базисе.







Ядро данного оператора совпадает с осью , а образ – с плоскостью



Лемма: ,

Теорема: Для того, чтобы , необходимо и достаточно,

Пример: Оператор дифференцирования в пространстве многочленов степени





Очевидно,

Пусть невырожденный линейный оператор. Отметим ряд его очевидных свойств.

1. 
   
   
2. 
   Матрица невырождена в любом базисе
   
3. 
   переводит любую линейно независимую систему векторов в линейно независимую систему векторов
   
4. 
   A^-1 есть матрица обратного оператора в том же базисе, в котором A - матрица самого оператора
   

---

33) Собственные числа и собственные векторы и пространства.

Пусть A - линейный оператор, действующий из в

матрица этого оператора в базисе

Многочлен называется характеристическим многочленом оператора

Матрицы линейного оператора в различных базисах подобны, следовательно, характеристический многочлен оператора не зависит от выбора базиса.

Число называется собственным числом линейного оператора , если существует ненулевой вектор такой, что

, (1)

При этом вектор называется собственным вектором оператора , соответствующим собственному числу

Теорема: Для того, чтобы число было собственным числом оператора , необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического многочлена

Следствие: Если пространство над полем комплексных чисел, то линейный оператор имеет по крайней мере одно собственное число.

Теорема: Собственные векторы линейного оператора , соответствующие различным собственным числам

---

, линейно независимы.

Следствие: Максимальное число линейно независимых собственных векторов не превосходит размерности пространства

Теорема: Все собственные векторы, принадлежащие собственному числу , вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство.

34) Оператор простой структуры

Алгебраическая кратность собственного числа - кратность собственного числа как корня характеристического многочлена.

Геометрическая кратность собственного числа - максимальное число линейно независимых собственных векторов, соответствующих этому собственному числу.

Обозначим через алгебраическую кратность собственного числа , а через геометрическую кратность этого собственного числа.

Теорема: Для любого собственного числа линейного оператора

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис пространства , в котором матрица этого оператора диагональна.

Теорема: Для того, чтобы линейный оператор был оператором простой структуры, необходимо и достаточно, чтобы существовал базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Следствие: Если оператор A имеет различных собственных чисел, то он является оператором простой структуры. (Этот факт следует из линейной независимости собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.)

Теорема: Для того, чтобы линейный оператор

---

Смотрите также файлы

• Инструмент оснастка Инструмент оснастка.docx

• 1. 1 Школа и семья как субъекты образовательного процесса.doc

• Образовательное учреждение высшего образования мордовский государственный педагогический университет имени м. Е. Евсевьева.docx

• Отчет по дисциплине Экономика финансы и организации Практикум Тема Доходы и финансовые результаты организации обучающийся группы дбэ101бд Абраам Абрамян Хоренович.docx

• Практическая работа 5 Быстрота Особенности возрастного периода 1215 лет.docx