ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.07.2021
Просмотров: 1097
Скачиваний: 2
16
Определение
.
Если
из
каждого
уравнения
данной
разрешенной
системы
линейных
уравнений
выбрать
по
одному
разрешенному
неизвестному
,
то
полученную
совокупность
неизвестных
называют
набором
разрешенных
неизвестных
данной
системы
.
Пример
.
В
системе
(*)
можно
выбрать
два
набор
разрешенных
неизвестных
:
(
х
1
.
х
2
,
х
3
)
и
(
х
1
,
х
7
.
х
3
).
Рассмотрим
разрешенную
систему
с
n
неизвестными
:
х
1
, …
х
n
,
для
которой
существует
набор
из
r
разрешенных
неизвестных
:
х
1
, …
х
r
.
Такую
систему
принято
называть
общим
решением
.
При
этом
возможны
два
варианта
:
А
)
Если
r = n
,
то
система
имеет
единственное
решение
:
x
1
= b
1
x
2
= b
2
,
(2) ………….
x
r
= b
r
.
В
)
Если
r < n
,
то
систему
можно
записать
в
виде
:
x
1
+
а
1, r+1
х
r+1
+ … +
а
1n
х
n
= b
1
x
2
+
а
2, r+1
х
r+1
+ … +
а
2n
х
n
= b
2
,
(3) ……………………………..
x
r
+
а
m, r+1
х
r+1
+ … +
а
rn
х
n
= b
r
.
Определение
.
Неизвестные
называются
свободными
для
данного
набора
разрешенных
неизвестных
разрешенной
системы
линейных
уравнений
,
если
они
не
вошли
в
данный
набор
.
Пример
.
В
системе
(3)
свободными
неизвестными
являются
х
r+1
, … ,
х
n
,
а
в
(*)
неизвестные
х
4
,
х
5
,
х
6
,
х
7
являются
свободными
для
набор
(
х
1
,
х
2
,
х
3
).
Систему
(3)
можно
записать
в
виде
x
1
= b
1
+ c
1, r+1
х
r+1
+ … + c
1n
х
n
где
с
ij
= –
а
ij
и
(4)
(3)
x
2
= b
2
+ c
2, r+1
х
r+1
+ … + c
2n
х
n
,
(4) ……………………………..
x
r
= b
r
.+ c
m, r+1
х
r+1
+ … + c
rn
х
n
.
Теорема
(
свойство
свободных
неизвестных
)
Если
в
разрешенной
системе
линейных
уравнений
(4)
придать
свободным
неизвестным
х
r+1
, … ,
х
n
,
произвольные
значения
k
r+1
, … , k
n
,
т
.
е
.
х
r+1
= k
r+1
, … ,
х
n
= k
n
,
то
найдется
единственное
решение
этой
системы
в
виде
n –
мерного
вектора
К
,
у
которого
значения
координат
,
соответствующих
свободным
неизвестным
,
равны
соответственно
k
r+1
, … , k
n
.
▲
Подставим
х
r+1
= k
r+1
, … ,
х
n
= k
n
в
систему
(4).
Тогда
разрешенные
неизвестные
х
1
, …
х
r
примут
значения
k
1
, … k
r
такие
,
что
:
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
17
k
1
= b
1
+ c
1, r+1
k
r+1
+ … + c
1n
k
n
,
k
2
= b
2
+ c
2, r+1
k
r+1
+ … + c
2n
k
n
,
(5) ……………………………..
k
r
= b
r
.+ c
m, r+1
k
r+1
+ … + c
rn
k
n
.
Так
как
вектор
К
= (k
1
, … , k
r
, k
r+1
, … , k
n
)
обращает
каждое
уравнение
системы
(4)
в
точное
числовое
равенство
,
то
он
является
решением
этой
системы
.
Таким
образом
,
доказано
существование
решения
системы
(4).
Докажем
единственность
такого
решения
.
Пусть
вектор
L= (
ℓ
1
, … ,
ℓ
r
,
k
r+1
, … , k
n
)
с
теми
же
значениями
свободных
неизвестных
является
также
решением
системы
(4).
Тогда
подставив
его
в
систему
(4),
получим
:
ℓ
1
= b
1
+ c
1, r+1
k
r+1
+ … + c
1n
k
n
,
ℓ
2
= b
2
+ c
2, r+1
k
r+1
+ … + c
2n
k
n
,
(6) ……………………………..
ℓ
r
= b
r
.+ c
m, r+1
k
r+1
+ … + c
rn
k
n
.
Сопоставляя
(5)
и
(6),
видим
,
что
ℓ
1
= k
1
, … ,
ℓ
r
= k
r
.
Таким
образом
,
доказано
,
что
существует
единственное
решение
системы
(4)
с
заданными
значениями
свободных
неизвестных
.
■
Замечания
:
1.
Так
как
значения
свободных
неизвестных
можно
задать
бесконечно
большим
числом
способов
,
то
система
(4)
является
неопределенной
.
2.
Разрешенная
система
линейных
уравнений
всегда
совместна
.
При
этом
она
определена
,
если
m = n ,
т
.
е
.
число
уравнений
равно
числу
неизвестных
,
и
не
определена
,
если
число
уравнений
меньше
числа
неизвестных
,
т
.
е
. m < n.
Преобразование
систем
линейных
уравнений
Мы
уже
представляем
,
как
выглядит
общее
решение
разрешенной
системы
линейных
уравнений
.
Поэтому
,
чтобы
найти
решение
данной
совместной
системы
линейных
уравнений
,
необходимо
перейти
от
данной
системы
к
равносильной
ей
разрешенной
системе
.
Рассмотрим
систему
линейных
уравнений
:
А
1
Х
=b
1
,
………
А
i
Х
=b
i
,
(1) ………
А
j
Х
=b
j
,
……
А
m
X=b
m
,
где
А
i
= (
а
i1
, … ,
а
in
), I = 1, 2, … , m,
Х
= (
х
1,
…,
х
n
)
T
Покажем
,
что
существует
преобразование
,
которое
позволяет
перейти
от
исходной
системы
линейных
уравнений
к
равносильной
разрешенной
системе
.
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
18
Утверждение
.
Элементарные
преобразования
:
умножение
обеих
частей
любого
уравнения
исходной
системы
на
число
,
не
равное
нулю
;
замена
i-
го
уравнения
в
системе
(1)
А
i
Х
= b
i
,
уравнением
вида
А
i
Х
+
А
j
Х
=
b
i
+ b
j
,
позволяют
переходить
от
исходной
системы
линейных
уравнений
к
равносильной
.
▲
Докажем
вторую
часть
утверждения
.
Пусть
вектор
К
решение
системы
(1),
тогда
вектор
К
решение
любого
уравнения
системы
(1)
и
поэтому
обращает
в
верное
числовое
равенство
i-
е
и
j-
е
уравнения
,
т
.
е
.
А
i
К
= b
i
и
А
j
К
= b
j
.
Сложив
эти
числовые
равенства
,
получим
числовое
равенство
А
i
К
+
А
j
К
= b
i
+ b
j
,
из
которого
следует
,
что
вектор
К
является
решением
уравнения
вида
А
i
Х
+
А
j
Х
= b
i
+ b
j
,
а
,
следовательно
,
и
системы
А
1
Х
= b
1
,
………
А
i
Х
+
А
j
Х
= b
i
+ b
j
,
(2) ………..
А
j
Х
= b
j
,
………….
А
i
Х
+
А
j
Х
= b
i
+ b
j
.
Так
как
(2)
отличается
от
(1)
только
i-
м
уравнением
.
Обратно
,
пусть
вектор
L
решение
системы
(2),
тогда
вектор
L
решение
каждого
уравнения
этой
системы
и
обращает
i-
е
и
j-
е
уравнения
в
верные
числовые
равенства
А
i
L+
А
j
L = b
i
+ b
j
и
А
j
L= b
j
.
Вычитая
одно
равенство
из
другого
,
получаем
верное
числовое
равенство
А
i
L = b
i
,
из
которого
следует
,
что
вектор
L
является
решением
уравнения
А
i
Х
= b
i
,
а
следовательно
и
системы
(1),
так
как
(1)
отличается
от
(2)
только
i-
м
уравнением
.
Таким
образом
,
показано
,
что
решение
системы
(1)
есть
решение
системы
(2)
и
обратно
,
решение
системы
(2)
есть
решение
системы
(1).
Следовательно
,
доказана
равносильность
систем
(1)
и
(2).
■
Жорданово
преобразование
Дана
система
линейных
уравнений
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+…+ a
1s
x
s
+…+ a
1n
x
n
= b
1,
где
a
rs
≠
0
………………………………………….,
(1)
a
r1
x
1
+ a
r2
x
2
+…+ a
rs
x
s
+….+ a
rn
x
n
= b
r
,
………………………………………….,
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+…+a
ms
x
s
+…+ a
mn
x
n
= b
m
.
Определение
.
Жордановым
преобразованием
системы
линейных
уравнений
с
разрешающим
элементом
a
rs
≠
0
называется
совокупность
двух
операций
:
1.
Умножение
r-
го
уравнения
системы
(1)
на
число
1/a
rs
,
после
чего
получаем
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
19
систему
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+…+ a
1s
x
s
+…+ a
1n
x
n
= b
1,
a
‘
rj
= a
rj
/a
rs
,
по
всем
j
≠
s
………………………………………….,
(2)
a‘
r1
x
1
+ a
‘
r2
x
2
+…+ 1 x
s
+….+ a
‘
rn
x
n
= b
‘
r
,
………………………………………….,
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+…+a
ms
x
s
+…+ a
mn
x
n
= b
m
.
2.
При
помощи
r-
го
уравнения
системы
(2)
исключаем
из
всех
остальных
уравнений
системы
неизвестное
х
s
,
прибавляя
к
1-
му
уравнению
r-
е
уравнение
,
умноженное
на
(–
а
1s
),
ко
2-
му
уравнению
– r-
е
уравнение
,
умноженное
на
(–
а
2s
)
и
т
.
д
.
После
чего
система
(2)
преобразуется
в
систему
a
’
11
x
1
+ a’
12
x
2
+…+ 0 x
s
+…+ a
‘
1n
x
n
= b
‘
1,
………………………………………….,
(3)
a‘
r1
x
1
+ a
‘
r2
x
2
+…+ 1 x
s
+….+ a
‘
rn
x
n
= b
‘
r
,
………………………………………….,
a‘
m1
x
1
+ a‘
m2
x
2
+…+0 x
s
+…+ a‘
mn
x
n
= b‘
m
.
Таким
образом
,
с
помощью
Жорданова
преобразования
получили
систему
(3)
с
разрешенным
неизвестным
х
s
.
Так
как
Жорданово
преобразование
состоят
из
последовательного
применения
элементарных
преобразований
,
то
оно
переводит
систему
(1)
в
равносильную
систему
(3).
Пример
.
Выполнить
Жорданово
преобразование
с
разрешающим
элементом
а
23
=2
следующей
системы
линейных
уравнений
:
2
х
1
+ 7
х
2
+ 4
х
3 +
х
4
= 6,
3
х
1
+ 5
х
2
+ 2
х
3
+ 2
х
4
= 4,
4
х
1
+ 4
х
2
+
х
3
+ 7
х
4
= 2.
Решение
системы
линейных
уравнений
методом
Гаусса
Методом
Гаусса
данная
СЛУ
преобразовывается
в
равносильную
разрешенную
СЛУ
.
Определение
.
Общим
решением
данной
системы
линейных
уравнений
называется
равносильная
ей
разрешенная
система
линейных
уравнений
.
Определение
.
Частным
решением
данной
СЛУ
называют
решение
,
полученное
из
общего
,
присвоением
конкретных
значений
свободным
переменным
.
Определение
.
Базисным
решением
данной
СЛУ
называется
частное
решение
,
свободные
переменные
которого
приравнены
нулю
.
Пусть
дана
СЛУ
(1):
А
1
А
2
А
3
А
4
В
2 7 4 1 6
3 5 2 2 4
4 4 1 7 2
–4
–3
0
–3
–2
1,5
2,5
1
1
2
2,5
1,5
0
6
0
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.
20
(1)
1-
й
шаг
.
Смотрим
,
в
данной
системе
линейных
уравнений
:
имеются
ли
тривиальные
уравнения
,
если
имеются
,
то
вычеркиваем
их
;
имеются
ли
противоречивые
уравнения
,
если
имеются
,
то
исходная
система
является
несовместной
и
процесс
решения
заканчивается
;
в
каждом
ли
уравнении
системы
имеется
разрешенная
неизвестная
,
если
в
каждом
,
то
найдено
общее
решение
данной
системы
и
процесс
решения
заканчивается
.
Если
же
найдется
уравнение
,
в
котором
нет
разрешенной
неизвестной
,
то
выбираем
в
нем
разрешающий
элемент
,
не
равный
нулю
,
например
а
11
≠
0,
и
выполняем
преобразование
Жордана
.
Тогда
получим
систему
(2)
следующего
вида
:
(2)
2-
й
шаг
.
Смотрим
,
в
системе
(2):
имеются
ли
тривиальные
уравнения
,
если
имеются
,
то
вычеркиваем
их
;
имеются
ли
противоречивые
уравнения
,
если
имеются
,
то
исходная
система
является
несовместной
и
процесс
решения
заканчивается
;
в
каждом
ли
уравнении
системы
имеется
разрешенная
неизвестная
,
если
в
каждом
,
то
найдено
общее
решение
данной
системы
и
процесс
решения
заканчивается
.
Если
же
найдется
уравнение
,
в
котором
нет
разрешенной
неизвестной
,
то
выбираем
в
этом
уравнении
разрешающий
элемент
,
не
равный
нулю
,
например
а
‘
23
≠
0,
и
выполняем
преобразование
Жордана
.
Тогда
получим
систему
(3)
вида
:
и
т
.
д
.
(3)
На
k
-
м
шаге
проводим
действия
с
системой
,
полученной
на
предыдущем
шаге
.
Смотрим
,
в
системе
(k):
имеются
ли
тривиальные
уравнения
,
если
имеются
,
то
вычеркиваем
их
;
имеются
ли
противоречивые
уравнения
,
если
имеются
,
то
система
является
несовместной
и
процесс
решения
заканчивается
;
в
каждом
ли
уравнении
системы
(k)
имеется
разрешенная
неизвестная
,
если
в
каждом
,
то
найдено
общее
решение
данной
системы
и
процесс
решения
заканчивается
.
Если
же
найдется
уравнение
,
в
котором
нет
разрешенной
неизвестной
,
то
выбираем
в
нем
разрешающий
элемент
,
не
равный
нулю
,
А
1
А
2
А
3
…
А
n
В
a
11
a
12
a
13
… a
1n
b
1
… … … … … …
a
m1
a
m2
a
m3
… a
mn
b
m
А
1
’
А
2
’
А
3
’
…
А
n
’
В
1
a‘
12
a‘
13
… a‘
1n
b‘
1
0
а
‘
22
a‘
23
… a‘
2n
b‘
2
… …
…
… …
…
0
a‘
m2
a‘
m3
… a‘
mn
b‘
m
А
1
”
А
2
”
А
3
”
…
А
n
”
В
1
a‘
12
0
… a‘
1n
b‘
1
0
а
‘
22
1
… a‘
2n
b‘
2
… …
… … …
…
0
a‘
m2
0
… a‘
mn
b‘
m
Для самостоятельной работы
студентов ЧОУ ВПО МБИ
Москва 2013г.