Файл: Казанский государственный университет.pdf

управляемой КФ (другие названия: строчно-сопровождающая КФ, КФ фазовых переменных и др.). Такое название обусловлено тем, что КФ (5.9.11) управляема при любых значениях коэффициентов передаточной функции.
Наблюдаемость системы (5.9.11) не гарантируется, она зависит от свойств пары матриц A и C.
Если исходная система задана произвольной тройкой матриц A,B,C, то переход к канонической форме (5.9.11) возможен различными способами.
Необходимым и достаточным условием существования перехода от произвольного описания в пространстве состояний к строчной управляемой
КФ (5.9.11) является управляемость пары (A,B), где A,B – матрицы в исходном описании.
Наиболее простой метод перехода к КФ (5.9.11) – метод передаточной функции. Он основан на вычислении передаточной функции исходной системы
(
)
1
W( p ) C pI
A
B
−
=
−
с последующим использованием формул
(5.9.10) и (5.9.11).
Другой метод перехода от произвольной формы описания динамической системы в пространстве состояний к строчной управляемой фробениусовой канонической форме основывается на использовании преобразующей матрицы Т согласно формулам (5.9.7). В данном случае
1
ст
нов
T
R R
−
=
. Здесь
– матрица управляемости исходной ("старой") системы, а
ст
R
1
нов
R
−
–
обращенная матрица управляемости ("новой") строчно-управляемой канонической формы. Исходя из (5.9.11), нетрудно установить, что
1 2
1 2
3 1
1 1
1 0
1 0
0 1
0 0
0
n
нов
n
R
α
α
α
α
α
α
−
−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Элементы
i
α
– коэффициенты характеристического полинома исходной динамической системы
1 1
1
n
n
n
det( pI A ) p
p
...
p
0
α
α
α
−
−
−
=
+
+ +
+
Другие методы перехода не столь очевидны, требуют нахождения специальных матричных форм – матриц управляемости, матриц Вандер- монда и т.д., и здесь не приводятся.
167

Строчная наблюдаемая КФ
Эта каноническая форма имеет в своем описании матрицы
1 2
1 0
1 2
1 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0
0
T
n
n
n
...
b
...
b
A
...
...
...
...
...
,
B
... ,
C
...
...
b
...
b
α
α
α
α
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
−
−
⎣ ⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
=
. (5.9.12)
Граф строчной наблюдаемой КФ приведен на рис. 5.9.7.
Рис. 5.9.7. Граф строчной наблюдаемой КФ
Переход от произвольной передаточ- ной функции (2.67) к строчной наблюю- даемой КФ заключается в совершенно тривиальном определении элементов матриц A и C и в вычислении элементов матрицы B с помощью следующего соотношения
1 0
1 2
1 2
1 2
3 1
2 1
1 1
1 0
1 0
0 1
0 0
0
n
n
n
n
n
n
b
...
b
...
...
...
...
... ...
...
...
b
...
b
...
β
α
α
α
β
α
α
β
α
β
−
−
−
−
−
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
. (5.9.13)
Характерной особенностью этой КФ является то, что так называемая матрица наблюдаемости системы в этом случае имеет вид
1 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
T
T
T
T
n
T
нов
нов
нов
нов
нов
нов
...
...
Q
C
A
C
... ( A ) C
...
... ... ... ... ...
...
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡
⎤ ⎢
⎥
=
=
⎣
⎦ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
т.е. является единичной и ее ранг всегда равен n. Отсюда делаем вывод о том, что такая КФ всегда наблюдаема (управляемость не гарантируется).
Учитывая это, а также вид матрицы A, данная КФ называется строчной наблюдаемой КФ.
Необходимым и достаточным условием существования перехода от
168

произвольного описания в пространстве состояний к строчной наблюдаемой
КФ (2.70) является наблюдаемость пары (
A
,
), где
C
A
,
– матрицы в исходном описании.
C
Переход к строчной наблюдаемой КФ от произвольной наблюдаемой системы может быть осуществлен с помощью преобразующей матрицы по формулам
1
(
)
Т
T
Q
−
=
1 1
1
Т
Т
Т
T
нов
ст
ст
нов
ст
ст
нов
ст
ст
1
A
T A T Q A (Q ) , B
T B
Q B , C
C T C (Q )
−
−
−
=
=
=
=
=
=
−
. (5.9.14)
Проиллюстрируем приведенные методы получения строчной наблюдаемой КФ на примерах.
Пример 1.
Исходная система описывается передаточной функцией
2 1
( )
3 2
W p
p
p
=
+
+
В этом случае матрицы и определяются легко
нов
A
нов
C
0 1
2 3
A
⎡
⎤
= ⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
,
[
]
0 1
=
C
Для определения матрицы воспользуемся соотношением (5.9.13 )
нов
B
1 2
3 1 1
1 0 0
b
b
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎡
=
⎢ ⎥
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣
⎦
⎣
⎣ ⎦
⎦
, откуда
1 0
2 1
=
=
b
b
, т.е.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1 0
нов
B
Пример 2.
Исходная система описывается в пространстве состояний уравнениями, содержащими следующие матрицы
2 6
2 5
A
⎡
⎤
= ⎢
−
−
⎣
⎦
⎥ ,
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
1 1
B
[ ]
1 1
=
C
Описание этой же системы в строчной наблюдаемой канонической форме возможно, т.к. матрица наблюдаемости имеет ранг, равный 2, т.е. система наблюдаема.
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
1 1
0 1
T
T
T
C
A
C
Q
Преобразующая матрица
, a
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
=
−
1 1
1 0
)
(
1 T
Q
T
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
1 0
1 1
T
Q
Тогда по формулам (5.9.14)
1 0
1
(
)
2 3
T
T
нов
A
Q A Q
−
⎡
⎤
=
= ⎢
⎥
−
−
⎣
⎦
,
,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
=
1 0
B
Q
B
T
нов
[
]
0 1
=
нов
C
Для проверки определим матрицу наблюдаемости полученной канонической формы
1 0 0 1
Т
Т
Т
нов
нов
нов
нов
Q
C
А С
E
⎡
⎤
⎡
⎤
=
= ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
= , rank Q=2, система наблюдаема.
169

В заключение отметим, что существуют и другие фробениусовы канонические формы (столбцовая управляемая КФ, столбцовая наблюдаемая
КФ и др.). Общей чертой рассмотренных и нерассмотренных здесь канонических форм является фробениусова (сопровождающая) структура матрицы A, в которой все варьируемые элементы матрицы расположены в последней строке или последнем столбце. Значения этих элементов во всех случаях совпадают с точностью до знака с коэффициентами характеристического полинома системы.
Кроме этого, в каждой КФ одна из матриц В или С имеет максимально простой вид (один элемент единичный, остальные – нулевые); элементы другой матрицы могут принимать различные значения.
Управляемые КФ допускают очевидное обобщение на системы с одним входом и произвольным числом выходов (рис. 5.9.8), а наблюдаемые КФ обобщаются на системы с произвольным числом входов и одним выходом
(рис. 5.9.9).
Рис. 5.9.8. Граф управляемой КФ Рис. 5.9.9. Граф наблюдаемой КФ системы с одним входом и m выходами системы с m входами и одним выходом

Для получения параллельной КФ передаточную функцию системы представляют в виде суммы простейших дробей, каждую из которых реализуют с помощью отдельной схемы. Если корни знаменателя передаточной функции вещественны и различны, то возможно разложение вида
1 1
1 0
1 1
1 0
n
n
n
n
n
p
...
p
W ( p )
p
p
...
p
β
β
β
α
α
α
−
−
−
−
+ +
+
=
=
+
+ +
+
,
(5.9.15)
где С
1
, С
2
,..., С
n
– постоян- ные коэффициенты, которые можно найти приведя правую часть равенства к общему множителю и приравнивая коэффициенты числителей при соответствующих степенях переменной в левой и правой частях равенства. Легко увидеть, что реализации передаточной функции соответствует параллельная структура, изображенная на рис. 5.9.10.
Рис. 5.9.10. Граф параллельной КФ системы (5.9.16)
Отметим, что существование и единственность параллельной КФ определяется единственностью представления любой дробно-рациональной передаточной функции в виде суммы простейших дробей.
Описание параллельной КФ в пространстве состояний может быть легко получено из графа системы на рис. 5.9.10.
1 1 1 1 1 2 2
n n
n
n n
x
x
U ,
...................
Y c x
c x
... c x ,
x
x
U ,
λ
λ
=
+
⎧
⎪
=
+
+ +
⎨
⎪ =
+
⎩


(5.9.16) где
i
λ – корни характеристического уравнения динамической системы,
1
i
,
= n , – постоянные коэффициенты.
i
c
В матричной записи это описание имеет вид
d
X
AX
BU
dt
Y CX
DU ,
=
+
=
+
,
(5.9.17)
где
171

1 2
0 ... 0 0
... 0 0
0 ...
n
A
λ
λ
λ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎥
=
⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
,
1 1
1
B
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
,
[
]
1 2
n
C
C
C
C
=
,
[ ]
0
D
=
Отсюда видно, что характерным признаком описания параллельной КФ в пространстве состояния является диагональность матрицы A : по главной диагонали матрицы располагаются собственные числа матрицы (или по другому, корни характеристического полинома системы).
Уже отмечалось нами, что для приведения матрицы A к диагональному виду необходимо в качестве координатных осей в пространстве состояний использовать базис, состоящий из собственных векторов этой матрицы. По этой причине параллельную КФ называют также жордановой КФ.
Следовательно, для перехода от произвольного описания системы в пространстве состояний к параллельной КФ необходимо отыскание собственных векторов исходной матрицы
1 2
n
t , t , ..., t
A
и выполнение преобразования подобия по формулам
1 1
A T AT ,
B T B,
C CT
−
−
=
=
=
, где
[
]
1 2
n
T
t
t
... t
=
. (5.9.18)
Здесь особо отметим то обстоятельство, что процедура перехода к параллельной КФ не обусловлена никакими условиями управляемости или наблюдаемости исходной системы, как это было ранее при переходе к фробениусовым КФ.
Пример.
Динамическая система задана в пространстве состояния уравнениями
1 1
2 3
2 1
2 3
3 1
2 3
1 2
3 4
2 2
2 2
2 2
2
x
x
x
x
U
x
x
x
x
U
x
x
x
x
U
Y
x
x
x
= −
+
+
+
= −
−
+
+
= − +
− +
=
−
+



Матрицы данного исходного описания имеют вид
[
]
4 1
2 1
2 1 2 2
2 1 2 1
1 1
2
A
,
B
,
C
−
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
= −
−
=
=
−
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
⎣
⎦
⎣ ⎦
Требуется найти параллельную КФ данной системы.
Решение.
Характеристическое уравнение имеет вид
172

4 1
2
det(
)
2 1
2
(
1) (
2) (
3) 0 1
1 1
E A
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
+
−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
= −
+
−
=
+
+
+ =
⎢
⎥
⎢
⎥
−
+
⎣
⎦
Корни характеристического уравнения системы или, что равнозначно, собственные числа матрицы A:
1 2
1 2
,
,
3 3
λ
λ
λ
= −
= −
= − .
Собственные векторы получаем, решая уравнения
1 1 1 2
2 2 3
3
,
,
3
At
t
At
t
At
t
λ
λ
λ
=
=
=
и выбирая три линейно-независимых решения
t
,
. Тогда
T
,
1 2
3 1
1 1
0 1
1 1
1 0
t
,
t
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
=
=
=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
T
−
−
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
0 1
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
=
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
Для получения параллельной КФ осуществим замену переменных Х=ТZ. Тогда по формуле (2.74) имеем
[
]
1 1
1 0
0 3
0 2
0 ,
1 ,
3 4 0
0 3
1
A T AT
B T B
C
−
−
−
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
−
=
= −
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
−
−
⎣
⎦
⎣ ⎦
1
Рис. 5.9.11 иллюстрирует структуры исходной и результирующей систем.
Рис. 5.9.11. а) Граф исходной системы; б) Граф параллельной КФ
В случае, если в исходной системе имеются кратные собственные числа матрицы A (или иначе говоря, кратные корни характеристического полинома), форма записи параллельной КФ системы усложняется.
Так, пусть имеется корень
1
λ
кратности k. Тогда разложение передаточной функции на простейшие дроби принимает вид
1 1
1 0
1 1
1 2
1 1
1 1
1 1
n
n
k
k
n
k
k
k
k
k
n
p
...
p
W( p )
( p
) ( p
)...( p
)
C
C
C
C
C
...
...
( p
)
( p
)
( p
) ( p
)
( p
)
β
β
β
λ
λ
λ
n
λ
λ
λ
λ
−
−
+
+
−
+
+ +
+
=
=
−
−
−
=
+
+ +
+
+ +
−
−
−
−
−
λ
(5.9.19)
Такому разложению соответствует граф, приведенный на рис.5.9.12.
173

Уравнение состояния системы, при выборе в качестве переменных состояния выходных сигналов интеграторов, имеют вид
Рис. 5.9.12. Граф системы
1 1 1 2
2 1 2 3
1 1
1 1
1 1
k
k
k
k
k
k
k
k
x
x
x
x
x
x
....................
x
x
x
x
x
U
x
x
U
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
+
+
=
+
⎧
⎪ =
+
⎪
⎪
⎪
n
n n
......................
x
x
U
λ
=
+
⎪
⎨
=
+
⎪
⎪
=
+
⎪





(5.9.20)
⎪
⎪ =
+
⎩
Матрицы
A
, , имеют вид
B
C
1 2
1 1
1 0
0 0 0 0 0
0 0
1 0
0 0 0 0
0 0
0 0
1 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
1 0
0 0
0 0 0 0 1
T
n
...
...
C
...
...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
A
...
...
,
B
,
C
...
...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
...
...
...
λ
λ
λ
λ
λ
⎡
⎤
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
=
=
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦
1 2
1
k
k
n
C
...
C
C
...
C
−
=
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
(5.9.21)
Как видно, полученная матрица A уже не является диагональной.
Корню
1
λ кратности k в ней соответствует матричная клетка
1
A
, размеров вида
k k
×
1 1
1 1
1 1
0 0
0 1
0 0
0 1
0 0
0
...
...
A
... ... ... ... ...
...
λ
λ
λ
0
λ
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
174

Матрицы такого вида (с единицами над главной диагональю) называются клетками Жордана. Характеристический многочлен клетки
Жордана равен
(
)
1
k
p
λ
−
В случае нескольких кратных корней матрица
A
, соответствующая параллельной КФ, будет иметь так называемую жорданову нормальную форму
1 2
0 0
0 0
0 0
0
m
A
...
A
...
A
...
... ... ....
A
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
=
⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
⎥
⎥
, где
i
A
– клетки Жордана.
Число клеток равно числу различных корней характеристического уравнения системы, а размеры их определяются кратностью корней.
При наличии пары комплексных сопряженных корней
1 2
js,
js
λ σ
λ σ
= +
−
соответствующие им две простейшие дроби первого порядка в разложении объединяются в одну дробь второго порядка с вещественными коэффициентами
1 2
1 2
2 2
1 2
2
C
C
C p C
p
p
p
p
λ
λ
σ
σ
2
s
′
′
+
+
=
−
−
−
+
+
. (5.9.22)
Соответствующая (5.9.22) строчная управляемая реализация этой дроби имеет вид, представленный на рис. 5.9.13.
Рис.5.9.13. Реализация дроби (5.9.22)
Рис. 5.9.14. Граф параллельной КФ при наличие двух комплексных корне й
Граф параллельной КФ при наличии двух комплексных сопряженных корней представлен на рис. 5.9.14. Нетрудно увидеть, что в матричной записи
175

комплексная клетка Жордана будет выражать фробениусовой формой
1 2
2 0
1 2
A
(
s )
σ
σ
⎡
= ⎢− +
⎣
⎦
⎤
⎥ (5.9.23)
Таким образом, при наличии пары комплексных корней в жордановой нормальной форме одна из клеток будет представлять собой матрицу
(5.9.23). В случае кратных комплексных корней клетки Жордана примут еще более сложный вид.
5.9.3. Последовательная (каскадная) каноническая форма
Исходная динамическая система может быть представлена и в виде последовательно соединенных подсистем
1 2
k
W ( p ) W ( p )W ( p ) ... W ( p )
=
(5.9.24)
Такое представление называется последовательной или каскадной КФ системы. Очевидно, что сумма порядков подсистем равна порядку исходной системы.
Обычно для получения каскадной КФ передаточную функцию динамической системы представляют в виде произведения простых дробей 1-го или 2-го порядка. Каждую из этих дробей реализуют с помощью отдельной схемы.
Допустим,
i
µ – нули, а
j
λ
– полюсы передаточной функции
Если все они вещественны и различны, то возможно разложение следующим образом:
W( p )
1 0
1 2
1 1
1 0
1 2
m
m
m
m
n
n
n
n
p
...
p
( p
)( p
)...( p
)
W( p )
p
p
...
p
( p
)( p
)...( p
)
β
β
β
µ
µ
µ
β
α
α
α
λ
λ
λ
−
−
+ +
+
−
−
−
=
=
+
+ +
+
−
−
−
, (5.9.25) где
1 1
1
i
i
i
i
i
p
W ( p )
,
i
,m;
W ( p )
,
i m
,n
p
p
µ
λ
λ
−
=
=
=
=
−
−
+
Каждая из простых дробей может быть реализована структурами, представленными на рис. 5.9.15, а реализация самой передаточной функции (5.9.25) – на рис. 5.9.16.
176