Файл: Алпысов А.. Математиканы оыту дістемесі оу ралы Павлодар, 2012.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2023

Просмотров: 1781

Скачиваний: 140

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Алпысов А.Қ.

1. Математиканы оқыту әдістемесі пәні

2. Математиканы оқытудың мақсаттары мен мазмұны

Математиканы оқытудың қағидалары

Математиканы оқытудың әдістері

5. Математикалық ұғымдар, сөйлемдер және оларды үйренудің әдістемесі

6. Математиканы есептер арқылы оқыту әдістемесі

Математикадан сыныптан тыс жұмыстар, оны өткізу әдістері

9. Педагогикалық практика туралы

10. Геометрияны оқыту әдістемесі Планиметрия курсын үйрену әдістемесі. Геометрия есептерін шешудіңәдістері. Стереометрия курсын үйренуәдістемесі. Геометрияны оқытуда есептерді шеше білу дағдысын қалыптастыру және оны жалпы түрде дамыту аса маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Геометриялық есептерді шешу туралы жалпы білік- дағдылар әдетте көптеген есептерді шешу арқылы қалыптасады. Олай болса, студент пен оқытушының не мұғалім мен оқушының жүйелі түрде ұзақ уақыт еңбектенуіне тура келеді. Шешілу жолы беймәлім, әр түрлі теориялық фактілерді байланыстыруды қажет ететін, студенттер шығара алмайтын жаңа есептер де жиі кездеседі. Сондықтан студенттерді кез келген геометриялық есепті шешудің жалпы тәсілдерімен қаруландыру керек. Бұл талап математикалық есептерді шешу практикумының бағдарламасында да айтылған. Практикум белгілі бір есептердің түрлерін және оларды шешудің тәсілдерін таныстыруға бағытталып қана қоймай, қайта дәлелдеудің барынша жалпы әдістерін ойлауды меңгерту болып табылады. Оқытушы студентке әрбір есепті шығартқанда, оның шешімін әдістемелік талаптарға сай іздеуге, соңында мақсатқа сай дұрыс шешімді табуға жәрдемдесетіндей талдау тәсілдері мен болашақ мұғалімдерге қажетті білім-білік дағдыларын қалыптастыруға ұмтылады. Теориялық және әдістемелік білім мен әдіс- тәсілдерінсіз кез-келген әдістемелік есепті шешуге бола бермейді. Практикадан байқалатындай, көбінесе геометрия есептері әр түрлі тәсілдермен логикалық тұрғыда көбірек ойлануды қажетсінеді. Геометрия есептерін шешудің кезеңдерін білу оқушылар мен студенттерде қалыптастырылуға тиісті аса маңызды дағдылардың бірі. Есептерді шешу процесі келесі кезеңдерден тұрады. Есептің шартын түсіну: а) есепті талдау; б) есеп шартын схема түрінде жазу. Есепті талдағанда оның шарты қандай, онда қандай талап қойылған (не берілген, не белгілі, есеп шарты неден тұрады?) екені анықталады. Есеп шартын схема түрінде жазғанда оның сызбасы қоса қарастырылады, осы талдаудың нәтижесінде есеп шартындағы ең керекті, таныс элементтер ескеріліп, олар қысқаша жазылады. Есепті талдау мен оның сызбасын және шартын схема түрінде қысқаша жазу — есепті шешу үшін жоспар іздеудің негізгі құралы болып табылады. Есепті талдай келе осы есепке қандай мөлшерде теориялық білімнің қажет болатындығы анықталады. Есеп шешімін іздеу — есепті шешудің тәсілін іздеу, бұл бүкіл процестің негізгі бөлігі болып табылады. Бұл кезеңде ең алдымен берілген есептің түрі (типі), яғни оның дәлелдеуге, есептеуге не геометриялық түрлендіруге берілгені анықталады, осыған орай есепті шешу тәсілі ізделеді. Есеп шартында берілген элементтер мен іздеуге, анықталуға тиісті белгісіздер арасындағы байланыс ізделеді. Есеп шешімін іздеуде бір-бірімен тығыз байланысты мынадай екі жақты мәселені анықтайды: а) белгілі теориялық білімді шешілуге тиісті есеп шартына сай түрлендіру; б) есеп шартын белгілі теориялық фактілерге сәйкес және оларға байланысты түрлендіру. Бұл арада теориялық білім деп отырғанымыз математикалық ұғымдар мен олардың анықтамалары, теоремалар және математикадағы негізгі әдістер (координаттар әдісі, векторлық әдіс, геометриялық түрлендірулер мен теңдеулер құру әдісі және т.б.). Есептердің түрі мен құрылысына қарай оларды кластарға жіктеп талдау мен шешу әдістерін таңдап алады. Әсіресе, бірнеше теориялық материалдарды біріктіретін, әрі күрделі, әрі көптеген есептерді шешуге теориялық әдістемелік негіз болатын тірек есептерін талдау кезінде белгілі бір гипотеза ұсынылады және оның іске асырылуы тексеріледі. Есеп шешімін іздеу үшін гипотеза ұсына отырып, осы есепке нақтылы қандай теориялық материал керек болатынын анықтаймыз. Теориялық білімді негіздеуші әдісті таңдап, гипотезаны тексереміз. Егер есепті талдағанда бұрыннан таныс элементті байқасақ, не ол шешілуі таныс есепке ұқсас болса, онда есепті шешу үшін белгілі әдісті қолдану мүмкіндігі туралы ой, не есепті шешу жоспары пайда болады. Егер есептің таныс емес түрін шығаруға тура келсе, онда одан бұрыннан таныс есептердің кемінде бір элементін іздейміз немесе берілген есеп шартын бұрын шешілген есептегі таныс бір элемент табылатынын талдаймыз. Жоспарды іске асыру. Бұл арада шешу идеясы табылып, есеп шешіледі. Шешілген есепті талқылау: а) есеп шешімін тексеру; б) есепті зерттеу; в) есеп шешімін әр түрлі параметрлер мен байланыстар бойынша талдау. Есептің шешілуінің және оған қолданылған әдістер мен теориялық негіздеулердің дұрыс екенін, ол шешім есеп шартының барлық талаптарын қанағаттандыратынын білу үшін оны тексеру керек. Есепті зерттеу келесі мәселелерді анықтауы керек: қандай шарт орындалғанда есептің шешімі бар; қандай шарт орындалғанда есептің жалпы шешімі жоқ болады?Есептің шешімін талдау мынадай мәселелерге жауап береді. Есепті шешудің бұдан басқа ең тиімді жолы жоқ па? Есепті жалпылауға бола ма? Осы есептен қандай қорытындылар жасауға болады? Есепті шешу процесінің құрылымы ең алдымен есептің сипатына, есеп шығарушының қандай біліммен, білікпен, дағдымен қаруланғанына тікелей байланысты. мысал. Тікбұрышты үшбұрыштың катеттеріне жүргізілген медианаларысм жәнесм. Оның гипотенузасын табу керек (8-сурет). А ЕС ВF8-суретШешуі. ВС мен AC катеттерін сәйкес х пен у ар-ылы белгілейік. ВСЕ, ACF — тікбұрышты үшбүрыштар болғандықтан,ВС 2  BE 2  EC 2және CF2 AF 2 AC 2 , яғни x2 2  y73  4жәнеx  52  y2 24 . Бұл тендеулер жүйесін шешіп, х пен у-ті табамыз: 73  0,25y2  4  52  4y2 ,y2  36 ; y  6cм ,х  8см;АВ  10см . мысал. ABC үшбұрышында АВ=26см, BC=30см, АС=28см. В төбесінен ВН биіктігі мен BD биссектрисасы жүргізілген. BHD үшбұрышының ауданын табу керек. Шешуі. ABC үшбұрышының ауданын екі әдіспен өрнектейік: SAВС 0,5АС  ВН 0,5  28  h  14h ; екінші жағынанS АВС  336см2 . Демек, 14h=336, h=24 см. Енді CD=x деп алып, ABC үшбұрышының ішкі бұрышы биссектрисасының қасиетін пайдаланайық: ВС:АВ=CD:DA, 30:26=x:(28-x), х=СD=15см; AD=28-15=13см. ВСН : СН 2  ВС 2  ВН 2  324, CH=18 см, DH=CH-CD=18-15=3см, S=0,5DH  ВН 36см2 . мысал. Медианалары mb  9см ,ma  12см ,mc  25смболатын үшбұрыштың ауданын есептеу керек (9-сурет). СА сурет Шешуі.ABC : mb  BE  9см ,ma  AD  12см .mc  CF  15см. Берілген элементтер мен іздеген элементтің арасындағы байланысты анықтайық (О — медианалардың қиылысу нүктесі). AOC : AО  2 m  2 12  8см , OC  2 m 10см , OE  1 m 3см 3 a33 с 2 b ОЕ медианасын екі еселеп, АОС үшбұрышын AOCB1параллелограмына дейін толықтырайық. Сонда AC 2  OB2  2(AO2  OC2 ) ; AC . Осы сияқты OD медиананы екі еселеп, ВОС үшбүрышынпараллелограмға толықтырсақ: BC   .Осылай қарастырып, АВ=10см екенін аламыз. Енді Герон ABCформуласымен ауданды есептесек, S  72см2 . Осы есепті басқа әдіспен шешейік.AOC менABC -ның табандары тең болғандықтан, S 1 SШынында да,OME BNE ,OM  OE , алOE  1 AOC3 AOCBN BEBE 3 болғандықтан,OM  1 . СондықтанBN 3 SAOC SABC OMBN 1 ,3SAOC 1 S3ABC ЕндіAOCB1параллелограмынан: 1SAOC  SOCB ; OC  2 EC  2 15  10 , CB  AO  2 m  8, OB  2OE  2  1  9  6 , AOC ABC3 3 1 3 a 1 3 p  12 ,S  24см2 ,S  72см2 Геометрия есептерін шешудің әдістеріне: а) геометриялық; б) алгебралық; в) комбинациялық деп аталатын негізгі әдістер жатады.Есептерді геометриялық әдіспен шешкенде логикалық ойлаудың жәрдемімен белгілі теоремалар арқылы тұжырымдауды қажетсінетін сөйлемдерді дәлелдейміз. Ал есептерді алгебралық әдіспен шешкенде ізделінген шаманы табу, не тұжырымдауға тиісті сөйлемді дәлелдеу тікелей есептеу жолымен немесе теңдеулер мен олардың жүйелерін құру арқылы іске асады. Тікелей есептеу әдісінің мәні мынада: есептің берілгендері мен белгісіздерінің жан-жақты байланыстарынан аралық қосымша белгісіз шамалар тізбегі құрылады, тізбекке қатысытын әрбір белгісіз шама анықталады немесе іздеген шама белгілі шамалар арқылы өрнектеледі. - мысал. Теңбүйірлі ABC үшбұрышының табаны AC, төбесіндегі В бұрышы сүйір, С бұрышының биссектрисасы CD кесіндісі болсын. D нүктесі арқылы CD биссектрисасына перпендикуляр түзу жүргізілген. Бұл түзу үшбұрыштың AC табанымен немесе оның созындысымен Е нүктесінде қиылысады. AD =0,5ЕС болатынын дәлелдеу керек (10-сурет). ВFDЕ А K С сурет Есеп геометриялық әдіспен тікелей шешіледі. CD кесіндісі — EFC үшбұрышының әрі биіктігі, әрі биссектриссасы. D нүктесін ВС қабырғасымен (CD  EF және CD — С бұрышының биссектриссасы) қиылысқанша созсақ, EFC теңбүйірлі үшбұрышы шығады. Есептің шарты бойынша CD  EF. Ендеше ED = DF. D нүктесінен ВС-ға параллель түзу жүргізсек, ол AC табанымен К нүктесінде қиылысады. Бұл DK кесіндісі EDC үшбұрышының медианасы бола алады. ЕК:КС = ED:DF = 1, бұлардан DK = 0,5ЕС, сондықтан AD = DK= 0,5 EC. -мысал.Теңбүйірлі трапецияға іштей дөңгелек сызылған. Трапеция ауданының дөңгелек ауданына қатынасы -ге тең. Трапецияның үлкен8 табанындағы сүйір бүрышын табу керек (11-сурет). ABCD — теңбүйірлі трапециясы берілген,Sдон : STP  : 8 . Бірінші тәсіл. Есептің мазмұнынан оны синтез әдісімен немесе алгебралық әдіспен шешуге болатынын байқаймыз. Синтез әдісі бойынша берілгендерге сүйеніп дөңгелектің радиусын табуға болады. Дөңгелектің радиусын г, трапецияның табан қабырғалары ұзындықтарын a, b деп қосымша белгісіздер ендіреміз. Есеп шарты бойынша r 20,5(a b)  2r  , 8a b 8r,r  a  b .8 Екінші жағынан шеңберді сырттай сызылған төртбұрыштың қасиеті бойынша AD+BC=AB+DC теңдігін жаза аламыз. Бұдан 2AD=a+b, AD=0,5(a+b). Тікбұрышты AED үшбұрышынанsin A  DE AD4r a  b; бұл теңдікке r-дің мәнін қойып ықшамдасақ, sin A = 0,5 шығады. Сонымен,A  .6 A BE сурет Бұл есепте жоғарыда айтылған тірек элементін және қосымша белгісіздер енгізу, теңдеу құру, қосымша белгісіздерді ығыстыру процестерінің барлығы орындалады.Екінші тәcіл. 11-суреттен AD=BC теңдігін ескеріп, бір нүктеден шеңберге жүргізілген екі жанама тең болатынын пайдалансақ, AN  a ,2NN  b,2sin A  DEAD2r AN  ND4r .a  b r-дің 1-тәсілдегі мәнін орнына қойсақ, sinA = 0,5, бұданA  .6 Теңдеулер құру арқылы шешілетін есептерді қарастыралық.6-мысал. Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы с-ға тең, үшбұрыштың бір сүйір бұрышынан катеттерінің біріне ұзындығы m-ге тең медиана жүргізілген. Осы үшбұрыш катеттерінің ұзындықтарын табу керек (12-сурет). ВDС А12-сурет Есепті теңдеу құру әдісімен (алгебралық әдіспен) шешу үшін АС=x, BC=y деп белгілейік. Тікбұрышты үшбұрыштардан Пифагор теоремасы бойынша:АС 2  ВС 2  AB 2 ,АС 2  СD2  AD2немесеx2  y2  c2 , x2 (0,5y)2 m2 . Бұл жүйенің шешіміBC  2, AC . Математикалық есептердің көбінде қосымша белгісіздер енгізу әдісі қолданылады. Бұл есептердің берілген элементтері мен қажетті теориялық материалдарды байланыстыруға септігін тигізеді. Есепті шешу барысында осы қосымша белгісіздер ығысады.7-мысал. Ромб биіктігі оның қабырғасын m және n бөліктерге бөледі.Ромб диагоналдарының ұзындықтарын табу керек (13-сурет). СА13-сурет тәсіл. Теңдеулер құруға қажетті белгісіздер енгізелік. Ол үшін АС=x, BD=y деп белгілейміз. СондаАВ  AE  EB  m  n.Бұл қосымша элементті есеп шартындағы белгілі және белгісіз шамалар арқылы өрнектейміз. ЕD  h десек,h2  y2  n2жәнеh2  (m  n)2  m2.h2 -тың мәндерін теңестірсек, у2  n2  (m  n)2  m2, х-ті табамыз:y 2  2mn 2n2немесеy . АОВ үшбұрышынан АО2  AB2  OB2  (m n)2  (0,5 AC  x  2AO 2n(m  n))2 ,. Сонда жауабы: 2n(m n), . тәсіл. Аудандарды пайдалану әдісі бойынша 0,5d1d2шамасын қосымша элементтер арқылы табылатын ауданға теңестіреміз, яғни 0,5d1d2  (m  n)2n(m  n) , мұндағыh 2n(m  n) . АОВ үшбұрышынан (0,5d )2  (0,5d )2  (m n)2 немесе d 2  d 2  4(m  n)2 . Бірінші теңдіктің екі1 2 1 2 жағында 4-ке көбейтіп екінші теңдікке қоссақ, онда 1 2(d  d )2  4(m  n)  4(m n)2  4(m n)( m  n). Бірінші теңдіктен d1 -ді тапсақ және оны соңғы теңдікке қойсақ, түрлендіргеннен кейінd  болады. Енді d 2  4(m  n)2  d2 2 1 1 теңдігінеd 2 -нің табылған мәнін қойсақ,d1  екені шығады. Егер берілген есепте кейбір шамалардың (ұзындықтардың немесе аудандардың) қатынастарын табу қажет болса, дербес жағдайда белгілі бір бұрышты есептеу қажет болса, ондай есептер көмекші параметр енгізу деп аталатын тәсілмен шешіледі. Бұл тәсіл бойынша есепті шешу үшін сызықтық элементтердің біреуін белгілі деп алып, іздеп отырған шаманы сол арқылы өрнектейді де олардың қатынастарын құрады. Мектеп оқушыларының кеңістікті қабылдап, оны көз алдына елестете алуы стереометрияны оқытудың негізгі мәселелерінің бірі болып саналады. Осы айтылған мақсатты іс жүзіне асыруда кеңістіктегі салуға берілген есептерді шешудің зор мәні бар. Жазықтықтағы геометриялық салулар теориясы жеткілікті түрде талқыланып қарастырылады, ал стереометрияның әдістемелік мәселелеріне әлі де толық көңіл бөлінбей келеді. Геометриялық салулар теориясы – салуды негіздеу, есептерді кластарға жіктеу, есеп шешу әдістері, белгілі бір класқа жататын есептерді шешу критериі, салу есептерін шешкенде барынша жай әдістерді тиімді қолдану сияқты мәселелерді қарастырады. Кеңістіктегі салу есептерін кластарға жіктеу туралы әр түрлі көзқарастар мен тәсілдер бар. А.Н. Чалов кеңістіктегі салу есептерін геометриялық салуды орындау тәсілдері бойынша келесі топтарға бөледі: 1) елестету арқылы шешілетін есептер; 2) проекциялық сызбамен шешілетін есептер; 3) модельмен шешілетін есептер. Салуға берілген стереометрия есептерін позициялық және метрикалық деп екі топқа бөлетіндер де бар. Негізгі элементтерінің қиылысуын ғана іздейтін, соны салумен аяқталатын есептер позициялық әдіспен шешілетін есептерге жатады. Кесінді салу, белгілі бір шамасы бар бұрышты салу, перпендикуляр тұрғызу, биссектриса жүргізу және т.б. белгілі шарттарды қанағаттандыратын фигура салу талабы қойылатын есептер метиркалық есептерге жатады. Мысалы, В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович өздерінің құрастырған «Математикалық есептер шешу практикумында» кеңістіктегі салуға берілген есептерді мынадай әдістер бойынша топтарға бөледі: 1) кеңістіктегі қарапайым салулар; 2) нүктелердің геометриялық орындары; 3) кейбір нүктелердің геометриялық орындары мен түзулерді пайдалану; 4) кескіндеу арқылы салу.Салуға берілген стереометрия есептері талдау, салу, дәлелдеу жәнезерттеу сияқты төрт кезеңнен тұрады.Талдау – бір бүтінді, құрамды бөліктерге жіктейтін, әр бөлікті жеке қарастыратын зерттеу әдісі. Ол салу есебін шешудің жоспарын табуға мүмкіндік тудырады. Талдау – есеп шешудің барынша маңызды кезеңі. Есепке дұрыс жүргізілген талдау – есепті шешу жоспарын дұрыс құрастырудың кепілі. Салу есебіне талдау жасағанда сызба басты рөл атқарады. Сонда есеп шартын, сызбадағы элементтердің өзара орналасуына барынша басынан аяғына дейін талдау жасалады, есеп шартында берілгендер мен іздеген элементтер арасында байланыс орнатылады. Есептің салу кезеңінде салу есебіне қолданылатын аксиомаларды, теоремаларды, қосымша қарапайым салуларды дәл көрсету керек. Дәлелдеу кезеңі есеп шешімінің дұрыстығына күдік туғанда қажет болады. Салу есебін зерттеу кезеңінің өзіндік маңызды ерекшелігі бар. Ол қандай шарттар орындалғанда есептің шешуі бар болады және неше шешімі бар деген сұрақтарға жауап береді. Сонымен бірге зерттеу кезеңі кеңістік елесті дамытуға мүмкіндік туғызады.Салуға берілген алғашқы есепті шығарғанның өзінде есепті шешудің кезеңдерін (талдау, салу, дәлелдеу, зерттеу) дәл анықтап бөлу керек.Кеңістіктегі салуға берілген есептерді шешудің негізгі әдістері:аксиоматикалық әдіс, проективтік әдіс, геометриялық орындар әдісі.Аксиоматикалық әдістің негізгі мәні есепті шешу кезінде салудың өзі орындалмайды, салуға берілген есеп элементар салуларға келтіріледі, кейін бұлардың бәрін бірге қарастыруға болатындай түрдегі барлық жай амалдар қарастырылады. Салу есебінде көрсетілген амалдар кейде аксиомалар деп, ал есепті шешу әдісі аксиоматикалық әдіс деп аталады. Себебі есепке қолданылатын барлық амалдар елестеу арқылы формальді түрде жүргізіледі де логикалық түрде негізделеді, мұндай әдіс формальді-логикалық әдіс деп те аталады. Әдетте логикалық ой тұжырымдары сызба арқылы жүрізіледі. Бұл есеп шешімін барынша жеңілдетеді: ойды іске қосады, көптеген геометриялық элементтер мен олардың жиынын есте сақтап қалуға, кеңістік жөнінде дұрыс түсінік орнығып қалыптасуына мүмкіндік берді. Аксиоматикалық әдіс оқушылар санасында кеңістік туралы түсініктің, логикалық ойлаудың дамуына барынша терең және берік теориялық білім алуға, әсіресе белгілі бір салуларға түсінік беретін стереометрияның алғашқы теоремаларын үйренуге мүмкіндік туғызады. Есептер шешу кезінде алдымен көрнекі құралдар – жазықтықтар моделі (нұсқасы), нүктелер мен түзулерді мақсатты түрде қолдану пайдасы зор. Осындай әдістер көмегімен салудың талаптары айқын түрде көрсетіледі, бұдан соң логикалық түрде негіздеу және логикалық негізде салынған кескінді салу дәлелденеді. Модельдеу есеп шешімін көрнекі түрде талдау жасауға, талдауды ықшамдауға мүмкіндік береді.Проективтік әдіс (проекциялық сызбада салу есебін шешу әдісі). Егер ерекше проекциялау ережесі бойынша геометриялық денелердің кескінін пайдалануға мүмкіндік болса, онда ол есепті сызбалық құралдың көмегімен барлық салу жұмысын орындауға болады. Мұндай кескін геометриялық денені бір жазықтыққа проекциялау жолы мен алынады және проекциялық сызба деп аталады, ал есепті шешу әдісін «проекциялық сызбада салынатын есеп» деп атайды.Кеңістіктегі салу есептерін шешуге барынша ынғайлы әдіс – еркімізше алынатын параллель проекциялау. Ол сызбаның көрнекілігімен, оны салудың өте жай қарапайым болатынымен сипатталады. Проекциялық сызба арқылы шешілетін салу есептері төрт кезеңнен тұрады. Бірақ барлық кезеңдерді әр есепте түгел іске асыру талабы қойылмайды.Геометриялық орындар әдісі. Кеңістікте элементтердің геометриялық орындарын табуға берілген кез келген есепті салу есебі ретінде тұжырымдауға болады. Кеңістіктегі геометриялық орындар әдісімен салуға берілген есептерді шешудің мәні төмендегі мәселелер арқылы сипатталады. Әуелі есептегі берілген шарттардың біреуінен басқасын ескерусіз қалдыра тұрамыз. Өзіміз әдейі таңдап алып қалаған бір ғана шартты қанағаттандыратын нүктелер жиынын қарастырамыз. Бұдан әрі есептің екінші шартын қанағаттандыратын нүктелер жиыны қарастырылады жәнет.с.с. Біз қарастырған барлық жиындардың қиылысуы есептің шешімі болады. Кеңістіктегі салу есептерін шешудің тек төрт әдісін қарастырдық. Кеңістікте салуға берілген есептерді шешудің басқа да әдістері бар. Есептер шешудің бір немесе басқа әдісін таңдап алу шешілуге тиісті есептің сипатына, есеп шығарушының дайындық дәрежесіне, т.б. байланысты. Күрделі есептерді шешу кезінде көбінесе бір мезгілде бірнеше әдіс қатарынан қолданылады.Кеңістіктегі салуға берілген есептерді шешуге мысалдар қарастырайық. мысал. Берілген а және b түзулеріне паралелль, берілген А нүктесінен өтетін жазықтық жүргізу керек. Талдау. Іздеген жазықтық а түзуіне паралелль а1түзуі арқылы өтуі керек. Дәл осы сияқты іздеген жазықтық b түзуіне паралелль b1түзуі арқылы өтуі керек. а1және b1түзулері А нүктесі арқылы өтуі керек. Салу. 1. А нүктесі және а түзуі арқылы жазықтығын жүргіземіз. 2.  жазықтығында А нүктесі арқылы а түзуіне паралелль а1түзуін жүргіземіз. 3. А нүктесі және b түзуі арқылы жазықтығын жүргіземіз. 4. жазықтығында А нүктесі арқылы b түзуіне паралелль b1 түзуін жүргіземіз. 5. а1 және b1түзулерінен бір-бірден М және N нүктелерін таңдап аламыз. 6. А, М, N нүктелері арқылы іздеген а жазықтығын жүргіземіз. Дәлелдеу. 1. Салуымыз бойыншаа1 ажәнеа1 . яғни,а . 2. b1 b -бұл салуымыз бойынша жәнеb1 . Демек,b . 3.A a1жәнеA  b1 . сонда, A.Зерттеу. А нүктесінің а немесе b түзулерінде жатуына тәуелсіз есептің әрқашан шешімі болады. Егер а мен b түзулері паралелль болмаса, онда есептің бір ғана шешімі бар болады. Ал көп шешуі бар болады.а bболса, онда есептің сансыз мысал. Барлық төрт қабырғасы және қарама-қарсы екі қабырғасының орталарын қосатын кесінді берілген жағдайда ABCD төртбұрышын салу керек (14-сурет). D СC114-суретШешуі. ABCD — ізделген тертбұрыш, EF — АВ және DC қабырғаларының орталарын қосатын кесінді болсын. AD қабырғасын параллель жылжытыпED1және ВС қабырғасын параллель жылжытыпEC1 жағдайына келтіреміз, сондаDD1  AE ,DD1AE ; CC1  BE ,CC1BE , DF  CF — бұлар шарт бойынша, демек,DD1 F  FC1C(екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша тең). Бұл үшбұрыштардың теңдігінен DFD1  CFC1шығады. Демек,D1 , F жәнеC1 — нүктелері бір түзудің бойында жатады.D1 EC1үшбұрышында екі қабырғасы мен үшінші медианасы белгілі болғанда оны салуға болады. Бұдан соң үш қабырғасы бойынша DD1 F жәнеFCC1үшбұрыштарын салып,DAED1 , жәнеBEC1C параллелограмдарын салуға болады. Бұдан соң A және В нүктелері анықталады. Салу.DEC1үшбұрышынD1 E  ADжәнеCE1  BC, сондай-ақ EF медианасы бойынша саламыз. Бұл үшін ең алдымен 2EF,ED1 ,EC1 , үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салып, оны параллелограмға дейін толықтырамыз. Осы параллелограмның жартысыD1 EC1 — үшбұрышы болады. Қабырғалары1 DC2және1 AB2болатын өзара тең үшбұрыштарD1 F жәнеFC1кесінділеріне салынады. Бұлар арқылы D және С нүктелерін саламыз.DAED1жәнеBEC1Cпараллелограмдарын салып, А және В нүктелерін табамыз.Дәлелдеу. ABCD төртбұрышы — ізделген төртбұрыш, себебі ол есептің барлық шарттарын қанағаттандырады. DF және FC бір түзудің бойында жатыр, себебіDFD1  CFC1 жәнеDF1 және C1 Fбір түзудің бойьшда жатыр. Зерттеу.ED1C1 үшбүрышын салу үшін2EF  AD  BCжәне 2EF AD  BCшарттарының орындалуы қажетті, алDD1 FжәнеFCC1 — салу үшінD F  1 ( AB CD) және D FAB  CDшарттары орындалуы 1 2 1қажетті. Егер бұл шарттар орындалса, онда есептің бір ғана шешімі бар болады.Әдістемелік ұсыныстар: 1. Кеңістікте салуға берілген есепті шешуге кірісуден бұрын материалдың теориялық жағын меңгеріп алу қажет. 2. Салу есептерін шешуге кіріскенде алдымен қарапайым салулардан бастап шешу керек. 3. Есептер шешу кезінде әсіресе көрнекі құралдар мен модельдерді (нұсқаларды) пайдаланудың ерекше маңызы бар. 4. Негізгі салуларды дәл орындау керек: а) кеңістіктегі нүктенің орнын анықтау; б) берілген екі нүкте арқылы түзу жүргізу; в) бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізу; г) түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табу; д) әрбір жазықтықта барлық планиметриялық салулардың орындалуы; е) егер өзін анықтайтын элементтер берілсе, онда геометриялық дене салу.Егер кеңістікте салуға берілген есептердегі негізгі амалдар, яғни онда ұсақ бөліктерге бөлінетін негізгі қарапайым салулар түгел орындалса, онда кеңістіктегі кез-келген геометриялық салу орындалады деп есептеледі. 1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   16

Практикалық сабақтар

Математиканы оқыту әдістемесі пәні бойынша тест сұрақтары

Тест сұрақтарының жауаптары

Әдебиеттер

Алпысов Ақан Қанапияұлы

6. Математиканы есептер арқылы оқыту әдістемесі

    1. Математиканы оқытудағы есептердің мәні.


    2. Математиканы оқыту үрдісіндегі есептердіңролі.

    3. Математика есептерін шешудің жалпыәдістері.

    4. Математикалық есептерді шешудің алгоритмдік әдісі.




    1. Орта мектепте математикалық есептер жалпы алғанда теорияны, математиканың әдістері мен ұғымдарын меңгеруге қажетті бірден бір шешімді құрал болып есептеледі. Оқушылардың ойлау қабілетін дамытуда, тәрбие беруде және оқушыларға математиканың тәжірибелік істерге қолданылуы туралы білім, біліктілік қалыптастыруда есептердің атқаратын рөлі зор. Математикалық есептерді дұрыс шешкізіп, оқытудың жаңа әдіс тәсілдері арқылы жоғары деңгейдегі математикалық білім, біліктілік, дағды қалыптастыруға болады. Математикалық есептер: а) жаңа математикалық ұғымдар мен мағлұматтарды үйрету үшін; б) тәжірибелік іскерліктер мен дағдыларын қалыптастыру; в) білімнің тереңділігі мен баяндылығын тексеру; г) оқушылардын шығармашылық қабілетін тәрбиелеу үшін пайдаланады. Оқу процесінде есеп оқушыларды жаңа математикалық біліммен қаруландырып, қалыптасқан білім мен біліктілігін жүйелеуге және нақтылауға көмектеседі.

Оқу-тәрбие процесін ұйымдастыруда есептер маңызды роль атқарады. Математиканы оқытуда есептер оқушылардың математикалық ой-өрісінің дамуы, оқытудың мақсаты, әрі құралы болып табылады. Сабақтарды жоспарлаған және ұйымдастырған кезде теориялық материалдар көбінесе есептер шығару процесінде жете түсінілуі және жақсы меңгерілуі қажет екенін ескерген жөн. Есеп шығаруды ұйымдастыра отырып, оқушылардың жеке әдісін кеңірек пайдаланған жөн: нашар оқитын оқушыларға ұсынылатын есептердің қиындық деңгейі осы бағдарламаның талаптарына сай анықталуы керек; ал бұл деңгейге жеткен оқушыларға бұдан да гөрі күрделірек есептер берген пайдалы. Дайындықтардың міндетті деңгейіне барлық оқушылармен жетуге қойылатын талаптарды саралау оқушыларға қиындық келтірмеудің негізін қалайды, оларды шамалары келетін жұмыспен қамтамасыз етеді және оқуға дұрыс көзқарас қалыптастырады. Математиканы оқыту процесінде есептердің білім берерлік, тәжірибелік, дамытушылық, тәрбиелік мәні зор, соларға тоқталайық:

а) математикалық есептердің білім берерлік мәні.
Математикалық есептерді шеше отырып, оқушылар жаңа ұғымдарды, жаңа мәселелерді таниды. Есеп шарты бойынша жаңа ұғымдармен танысады, математикалық теорияның есептер шешуге қолданылуын, есептер шешудің жаңа әдістерін танымдық немесе есептер шешуге қажетті математиканың жаңа бір саласымен танысады және т.б. Сондықтан оқушы математикалық есептерді шешу барысында теориялық материалды меңгеріп, жеткілікті түрде жаттығу арқылы дағды қалыптастырып, математикалық білімін көтереді. Дүниеге ғылыми көзқарасты қалыптастырудың білімдік мәні оқушыларға математика

ғылымының негіздерін үйретуді және алған білімдерін практикада қолдануға баулуды көздейді.

б) математикалық есептердің практикалық мәні. Математикалық есептерді шешу барысында алған теориялық білімдерін практикада қолдана білуге пайдаланады, өзінің болашақтағы практикалық қызметіне қажетті істермен айналысады. Практикалық қажеттілігі бар барлық есептерде математикалық есептер шешуге тура келеді. Математикалық есептер физикада, химияда т.б. жаратылыстану пәндерінде, электротехника мен радиотехникада, ең алдымен олардың теориялық негіздерін түсіндіруге қажет. Бұл есептерді шешкенде көбінесе физикалық, химиялық, географиялық және техникалық - практикалық мәні бар есептер қарастырылады. Математика сабақтарының мақсаты математикалық теорияларды, идеяларды, заңдар мен заңдылықтарды үйретумен бірге, оқушыларға бағдарламада көрсетілген білім мен біліктілікті қалыптастыру болып табылады. Мұндай білім мен біліктілікті қалыптастыруда математикалық есептерді және практикалық мазмұндағы есептерді шығару, қарапайым есептеу құралдарын қолдану, әр алуан бақылаулар мен өлшеулерді орындау, әр түрлі модельдерді, кестелерді, диаграммаларды, табиғатта кездесетін құбылыстарды математика тіліне аудару т.б. жатады. Сондықтан бұл сабақтың негізгі бөлігін есеп шығару, лабораториялық- практикалық жұмыстар орындау құрайды. Сонымен практикалық білімін және біліктігін қалыптастыру сабағына: 1) жұмыстың мақсатын анықтау; 2) оларды орындау ережелерін теориялық негіздеу; 3) жұмысты орындау үлгісін көрсету; 4) жаттығулар орындау; 5) қорытынды жасау; 6) үйге тапсырма беру сияқты құрылымдық элементтер енуі мүмкін.

в) математикалық есептердің дамытушылық мәні. Есептер арқылы дамытушылықтың мәні оның ойлауы, еске сақтауы, елестетуі, осы және басқа да қабілеттері мен ерекшеліктері оның тұлға ретінде дамуы болып табылады. Оқушы оқытуға байланысты дамытылады деп есептеледі. Сондықтан дамыту дегеніміз оқыту, оқыту дегеніміз дамыту деп түсінуге болады. Дамыту мен оқыту айтылымдары тұрақты болуы мүмкін емес, ол білім берудің мақсаттары
мен міндеттерінің өзгеруіне байланысты өзгеріп отырады. Қазіргі кезде дамытуда оқушы тұлғасын біртұтас дамыту ретінде түсіну керек. Ол оқушылар үшін олардың қабілеттерін, қызығушылықтарын, бейімділіктерін жан–жақты және үйлесімді дамыту үшін, мәдениетті, жоғары адамгершілікті, белсенді шығармашылықты және әлеуметтік кемелденген тұлға қалыптастыруды бағамдайды. Дамытушылық мәні оқушылардың танымдық мүмкіндіктерін өркендету оларды өздігінен білім алып, ғылыми техникалық және саяси жаңалықтардан хабардар болуға үйрету, бірте-бірте оларды күрделі логикалық талдаулар жасауға баулу, сөйтіп диалектикалық ойлауы мен шығармашылық іс әректтерін қалыптастыру.

г) математикалық есептердің тәрбиелік мәні. Есептер өзінің мазмұны арқылы оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыруға, табиғатты ғылыми жағынан танудың негізгі заңдылықтарының

математикадағы көрінісін бейнелеуге тәрбиелейді. Есептерді шешу арқылы оқушы ұстамдылыққа, шыдамдылыққа, өз еңбегін бағалай білуге, алған бағытын соңына дейін шешуге үйренеді. Сондықтан математикалық есептердің тәрбиелік мәні оқушылардың математикалық ойлауын дамыту, математикалық мәдениетке тәрбиелеу, оқушылардың метематикаға деген ықыласының тиянақты болуын қамтамасыз ету болып табылады.

    1. Математикалық есептерді шешу арқылы оқушылар көптеген математикалық ұғымдарды меңгереді, математикалық таңбаларды біледі, дәлелдеу жолын үйренеді. Математиканы есептер арқылы оқыту логикалық ойлауды дамытуға, ойымыздың анықтылығын, ойлау жолының дәлдігін, таңбаларды қолдана білу мен еске сақтау қабілеттерін қалыптастыруға үйретеді. Есеп оқушыларды жаңа математикалық біліммен қаруландырып, қалыптасқан білім мен біліктілігін жүйелеуге, нақтылауға көмектеседі.

  1. Математикалық ұғымдарды меңгеруге арналған есептер. Математикалық есептерді шешу, жаттығуларды орындау арқылы оқушылар көптеген математикалық ұғымдарды меңгереді. Сонымен қатар математикалық ұғымды меңгеру үшін оның анықтамасын, ерекше белгілерін және қасиеттерін білу қажет. Квадрат теңдеу ұғымын басқа теңдеулерден ажырата білу үшін әр түрлі жаттығулар беріп, оқушылардың білімін, түсініктілігін арттыруға болады.

Мысалы, төмендегі теңдеулердің қайсысы квадрат теңдеу болады?
а) 8х2 7х 1; б)
48х2 х3  9 0; с) 14 7х2 0 ;


д)  х2 1  0 ; е)

х 21  5  0 ; ж)

х

112х  0 .


Бұл жаттығуларды орындаған кезде оқулықтағы анықтамамен салыстыра отырып, ұғымды бекітуге болады.

  1. Математикалық таңбаларды түсіндіруге арналған есептер. Математикалық таңбаларды дұрыс қолдану арқылы есептер дұрыс шешімін табады. Сондықтан математиканы оқытудың негізгі салаларының бірі – математикалық таңбаларды игеру, амалдардың орындалу ретін түсіндіру болып табылады. Мәселен, жақшаны ашқанда таңбалардың өзгеру, өзгермеу белгілері, амалдар қатар келгенде қайсысын бұрын орындау және т.б. Сондықтан белгілермен жұмыс жүргізгенде есептерге зор көңіл бөлу керек. Мысалы, мына есептерде жақша қандай роль атқарып тұр, қандай өрнектерде жақша амалдардың орындалу ретін өзгертпейді.

1) ( 1,5 + 2*3,2) – 0,1; 2) 1,5 + (3 - 2,3)*0,1.

Амалдардың орындалу ретін түсіндіріңіздер және жақша қандай роль атқарады? Сонымен математикалық таңбаларды үйренуде басты мәселе есептер шешу барысында оны дұрыс қолдану.

  1. Дәлелдеуді оқытуға қажетті есептер. Математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі оқушыларға дәлелдеулерді үйрету. Элементар есептерді шешу зерттеуді, дәлелдеуді қажет етеді, яғни мұндай дәлелдеу

арқылы есептердің жауабын іздеу олардың дұрыс шешімін табуға мүмкіндік береді. Дәлелдеу алғашында есеп-сұрақ түрінде немесе қарапайым зерттеу түрінде болып келеді, ондағы мақсат сабақта өтілген ұғымдарды нақтылай түсуге және ұғымдардың арасындағы байланысты көре түсуге баулу.

  1. Математикалық іскерлігін қалыптастыруға арналған есептер. Математиканы оқытудың маңызды міндеттерінің бірі - математикалық іскерлігін қалыптастыру болып табылады. Есеп шығару барысында оқушылардың жаңа тәсілдерді меңгеру, алгоритмдерді құру, өрнектерді ықшамдағанда амалдар қолдану арқылы іскерліктері шыңдала түседі. Сондықтан есеп шығаруда оңайдан күрделіге, белгіліден белгісізге қағидасын сақтай отырып, оқушылардың бұрыңғы білімдерін пайдалана отырып, жаңа тақырыпқа байланысты есептердің жан жақты түсіндірмесін беріп, тақтаға толық жазып шығарған дұрыс. Сонда ғана оқушылардың математикалық іскерлігін тиянақты қалыптастыруға болады. Мысалы, өрнегін ықшамдау үшін ең алдымен орындалатын амалдарды анықтап алған дұрыс.




8 а

3 а2

23 а

: 2 3 а





3 а  2 3 а  2
Мазмұнды есептерді шешуде іскерлігін қалыптастыру едәуір қиындық туғызады. Себебі, оның құрамына есепті талдау, есептің моделін құру, теңдеу құру және т.б. амалдарды орындау іскерлігі енеді. Іскерлікті таңдау үшін мынадай тапсырмаларды орындау керек:

  1. Есепті талқылаңдар және оның шарты мен қорытындысын айырыңдар.

  2. Есептің қысқаша моделін жазыңдар.

  3. Есептің моделі бойынша оның математикалық моделін (теңдеуін) құрыңдар және т.с.с.

Мұнда ескеретін жай, бір уақытта әр түрлі іскерлікті қалыптастыру қиын, сондықтан бір іскерлікті толық шыңдап болғаннан кейін, басқасына көшу дұрыс.

  1. Математикалық ойлауды дамытуға арналған есептер. Математикалық есептерді шешу арқылы ерекше ойлау стилі, ойымыздың формальді – логикалық схемасы, ойдың орнықтылығы, ойлау жолының дәлдігі, таңбаларды қолдана білу, еске сақтау, көз алдына келтірудің дәлдігіне үйрету. Есеп оқушылардың логикалық ойлау, кеңістікті елестету, жеке бас қабілеттерін дамытуға бірден-бір себепші болатын басты құрал болып табылады. Есептер толығынан дәлелді, белгілі заңдар негізінде жалпы қорытындылар жасайды, дәлелді аналогияға сүйеніп, барлық жағдайларды қарастырады. Математикалық ойлауды дамытуға арналған есептерді шешу есептің берілгендеріне талдау жасауды, мәліметтер мен шамаларды, бұрын өтілген есептермен салыстыруды, берілген жағдайдағы қасиеттерді анықтауды, қарапайым модельдерді құрастыру мен ойша экспериментті іске

асыруды, синтездеуді, есеп шығаруға қажетті ақпаратты таңдауды, оны бір жүйеге келтіруді, зерттеуді талап етеді. Алайда математикалық есептерді шешу оқушылардың жеке шығармашылық қабілеттеріне байланысты, осыған орай, есеп шешудің басты мақсаттарының бірі оқушылардың ойлау қызметін жандандыру. Математикалық ойлауды дамыту үшін оқушыларды қызықтыратын, ынтасын арттыратын есептерді қарастыру дұрыс. Ондай есептерге зерттеу элементтері бар есептер, ойын есептер, күрделі есептер және ертегі есептер жатады. Бұған берілген есепті шығарғанда кеткен қатені табу, есепті бірнеше жолмен шешу өздігінен есеп құрастыру және т.с.с. кіреді.

Смотрите также файлы