Файл: Алпысов А.. Математиканы оыту дістемесі оу ралы Павлодар, 2012.docx

қой, үш адам және т.б.) бұлардың әртүрлі қасиеттеріне назар аударады.

«Көру» процесі бала санасында бейнелеудің ерекше формасын қабылдайды (сезінеді), объектіні сезімдік түйсіну – танымның ең алғашқы сатысы, ол ұғымға сәйкес қалыптасады. Математика пәні өзі зерттейтін ұғымдарды белгілі бір жүйеге келтіріп, өзіне тән талаптарға сәйкес ұғымдарды бөлшектейді. Ол үшін:

а) бөлудің негізі бірыңғай болуы керек. Бұл шартты сақтамау нәтижесінде оқушылар жиі қатеге ұрынады. Мысалы, үшбұрыш ұғымын тең бүйірлі, сүйір бұрышты және тік бұрышты үшбұрышқа бөледі.

ә) бөлу өлшемдес болуы тиіс. Мұның мәні – бөлінетін ұғымның көлемі бөлу мүшелері көлемдерінің қосындысына тең болуы керек.

б) бөлу мүшелерінің әрқайсысы басқаларын қоспауы тиіс, яғни олардың бірде біреуі басқа ұғымның көлеміне кірмеуі тиіс. Мәселен, «бүтін сандар, жай сандар, жұп сандар, тақ сандар» бөлуі дұрыс емес, себебі 5 саны жай сандарға да, тақ сандарға да кіреді.

в) бөлу үзіліссіз болуы керек, яғни бөлінетін ұғым бөлу мүшелері үшін ең жақын тек болуы тиіс.

Ұғымдарды классификациялауды олардың әр түрлі белгілері бойынша жасауға болады. Мысалы, бір ғана үшбұрыш ұғымын «бұрыштары бойынша» және «қабырғалары бойынша» жеке-жеке классификацияланады:

а) үшбұрыш бұрыштары бойынша: сүйір бұрышты, тік бұрышты, доғал бұрышты.

қарағанда түрлік ұғым болып табылады. Сол сияқты «үшбұрыш» ұғымдары бойынша үшбұрыштың екі қабырғасы тең болатынын бөліп алатын болсақ, онда «тең бүйірлі үшбұрыш» ұғымы жалпы «үшбұрыш» ұғымының түрі, ал

«тең бүйірлі үшбұрыш» үшін «үшбұрыш» тектік ұғым болады. Егер тең бүйірлі үшбұрыштардың ішінен бір бұрышы тік болатын болса, онда тең бүйірлі үшбұрыш – тектік, ал тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыш – түрлік ұғым болады. Мәселен, алгебралық жағынан функцияларды алгебралық және трансценденттік деп, жұптық белгілі бойынша – тақ, жұп, тақта

---

емес, жұпта емес функцияларға саралауға болады.

2. 
   Математикалық сөйлемдердің маңызды түрлеріне аксиомалар, постулаттар, теоремаларжатады.
   

Аксиома деп ешбір дәлелдеусіз қабылданатын сөйлемді айтады.

Ғылыми теорияны құрғанда сүйенетін бастапқы негізі – дәлелдеусіз алынған сөйлемдер жүйесі, яғни, аксиомалар. Ғылыми теорияның басқа тұжырымдары (теоремалары) осы аксиомаларға сүйеніп дәлелденеді. Аксиомалар және алғашқы ұғымдар математикалық теорияның негізгі фундаментін құрайды. Математикалық теориялардың негізі болатын аксиомаларды ғылыми тұрғыда жан-жақты зерттеу ХІХ ғасырдың соңы мен ХХ ғасырдың басында қолға алынды. Бұл кезеңде бірсыпыра ғалымдар математикалық теориялардың тізімін жасаумен шұғылданады.

Белгілі бір ғылымның негізін қалайтын барлық аксиомалар тобын аксиомалар жүйесі дейді. Мәселен, геометрияның барынша толық әрі қарапайым аксиомалар жүйесін жасағандардың бірі атақты неміс математигі Д. Гильберт еді. Д. Гильберт геометриялық жүйеде алғашқы үш (нүкте, түзу, жазықтық) ұғымды және алғашқы үш (жатады, арасында, конгруэнтті) қатынасты қарастырады. Г. Вейль бүкіл мектеп геометриясын векторлық кеңістік идеясы негізінде құруды ұсынды.

А.Н. Колмогоров бүгінгі таңдағы мектеп геометриясының аксиомалар жүйесін жасады. Аксиомалар жүйесіне мынадай талаптар қойылады:

1. 
   Аксиомалар жүйесі қайшылықсыз болуы тиіс. Мұның мәні жүйедегі аксиомалар мен сол аксиомалардың барлық логикалық салдары бірін–бірі теріске шығармауы керек.
   
2. 
   Аксиомалар жүйесі тәуелсіз болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі кез- келген аксиома басқаларынан шықпауы керек.
   
3. 
   Аксиомалар жүйесі толық болуы тиіс. Мұның мәні: жүйедегі аксиомалар теорияның негізін қалау үшін жеткілікті болуы керек.
   

Ұзын саны шектеулі аксиомалардан теорияны құру әдісін аксиоматикалық әдіс деп, ал теорияны аксиоматикалық теория деп атайды. Бұл теорияның басқа қағидалары оның негізін қалаған аксиомалардың логикалық салдарлары болып табылады. Математика ғылымында геометрияны, арифметиканы, ықтималдықтар теориясын және т.б. құрудың аксиоматикалық әдістері белгілі.

Постулат дегеніміз – белгілі бір ұғым немесе ұғымдардың арасындағы белгілі бір қатынас қанағаттандыруға тиісті талаптарды сипаттайтын математикалық сөйлем.

Сондықтан постулаттың өзі белгілі бір ұғымның немесе ұғымдар жүйесі анықтамаларының бөлігі болып табылады. Мысалы, «жазықтықтағы параллель түзулер» ұғымы екі постулатпен анықталады. Айталық,

---

а және в түзулері өзара параллель болуы үшін мына қасиеттерді қанағаттандыруы тиіс.

а) а және в түзулері бір жазықтықта жатуы тиіс, яғни а  в .

б) екі түзу бір – бірімен беттесуі немесе мүлдем ортақ нүктелері

болмауы тиіс, яғни а  в  а  в  

Теорема деп ақиқаттығы дәлелдеу арқылы тағайындалатын математикалық сөйлемді айтады.

Әрбір теорема өзінің шартын (Р) және қорытындысын (Q) қамтиды. Мәселен, «Вертикаль бұрыштар тең» теоремасында «Вертикаль бұрыштар» - шарты, ал «тең» қорытындысы. Осы теоремаға «егер ... , онда ... » тіркестерін пайдаланып, тұжырымын басқаша, келісімді (силлогизм) түрде беруге болады, яғни «Егер бұрыштар вертикаль болса, онда олар тең болады». Бұл тұжырымның ерекшелігі, теореманың шарты (егер...) мен қорытындысы (онда ...) бір–бірінен ерекшеленіп тұрады. Кейбір жағдайларда теореманы

«Егер..., онда...» тіркестерінсіз тұжырымдауға болады. Мұндай тұжырымдарды кесімді тұжырымдау дейді. Кесімді тұжырымдау әдетте қысқа, ыңғайлы болып келеді. Теореманың тұжырымын логикалық тілде былай жазады: Р (шарт)  Q (қорытынды).

Ал теореманы дәлелдеу дегеніміз Р шартты ақиқат деп алып, Q қорытындының ақиқаттығын логикалық жолмен көрсету.

Теоремалар тура, кері, қарама - қарсы және кері теоремаға қарама –

қарсы теорема түрінде кездеседі. Алғашқы теореманы тура теорема (Р  Q)

деп алсаң, онда берілген теоремаға кері теорема деп тура теореманың шартын қорытындысымен, ал қорытындысын шартымен ауыстырудан

шыққан теореманы айтамыз (Q  P).

Тура теоремаға қарама–қарсы теорема деп оның шарты мен

қорытындысын тікелей бекерге шығарудан алынған теорема (P  Q).

Қарама–қарсы теоремаға кері теорема деп оның шарты мен

қорытындысын бекерге шығарудан алынған теореманы айтамыз (Q  P) .

Жалпы алғанда, тура теорема дұрыс болғанда, оған кері теорема мен қарама–қарсы теорема әрдайым дұрыс бола бермейді. Келтірілген мысалда, тура теорема дұрыс та кері теорема жалған. Шынында, тік төртбұрыштың диагональдары тең. Бірақ ол тең бүйірлі трапеция емес. Сондай–ақ мысалдағы қарама–қарсы теорема да жалған, өйткені тік төртбұрыш тең бүйірлі трапеция бола алмайды, бірақ оның диагональдары тең. Ал кері теоремаға қарама–қарсы теорема әрдайым тура теоремамен мәндес болады. Осы сияқты, кері теорема мен қарама–қарсы теорема да мәндес болады. Кері және қарама–қарсы теоремаларды дәлелдеудің маңызы зор.

---

Сондай–ақ

олардың дәлелдеуін игерудің мәні ерекше. Біз кері теореманы дәлелдеудің әр түрлі әдістеріне мысалдар келтірейік.

Тура теорема. Егер шеңбердің екі хордасы тең болса, онда олар керетін доғалары да тең болады.

Кері теорема. Егер шеңбердің екі доғасы тең болса, онда олар керетін хордалары да тең болады.

Дәлелдеудің бірінші тәсілі –кері теореманы тура дәлелдеу.

---

Қарсы жору әдісі теоремаларды дәлелдеуге жиі қолданылатындықтан, оны кейінірек мүмкіндігінше жете қарастырамыз. Теореманы дәлелдеудің бұл әдісі үш сатыдан тұрады:

1. 
   Теореманы дәлелдегенде оның қорытындысын бекерге шығарамыз, яғни дәлелдеуді талап ететін байламдарға қарсы ұйғарамыз (біздің мысалда доғаларды керетін хордалар тең емес).
   
2. 
   Қабылданған ұйғаруға байланысты логикалық дұрыс ой қорытулар жасай отырып, соңында қайшылыққа келеміз (мысалда кесінді өзінің бөлігіне тең).
   
3. 
   Логикалық дұрыс талдау жасағанмен қайшылыққа келеміз, олай болса, біздің ұйғаруымыз дұрыс емес деп байлам жасаймыз. Демек,
   

---