Файл: Математический анализ.pdf

2.13.3. Пример исследования функции. Рассмотрим пример.
Пример 2.13.2. Исследовать и построить график функции y = cos x +
1 2
cos 2x.
Решение. 1. Область определения этой функции — вся числовая ось. Функция ограничена на своей области определения, поскольку таким свойством обладают функции cos x и cos 2x.
2. Область значений определить трудно, пока не найдены экстремумы.
Исследуем сначала функцию на симметричность и периодичность.
3. Функция четная, так как y(−x) = cos(−x) +
1 2
cos(−2x) = cos x +
1 2
cos 2x = y(x)
в силу четности косинуса.
4. Функция периодическая с периодом 2π, поскольку таким свойством обладают функции cos x и cos 2x. Это означает, что график функции достаточно строить на промежутке [0, π], затем его симметрично отразить относительно оси Oy, а получен- ный график сдвигать вдоль оси Ox на числа, кратные 2π вправо и влево.
5. Рассмотрим уравнение cos x +
1 2
cos 2x = 0,
2 cos x + 2 cos
2
x − 1 = 0.
Отсюда cos x = −
1 ±
√
3 2
Корень −
1 −
√
3 2
не лежит в области значений косинуса, поскольку его модуль больше 1. Второй корень −
1 +
√
3 2
лежит в области значений косинуса. Поэтому имеем x = ± arccos
−1 +
√

Поэтому область значений функции есть промежуток [−3/4, 3/2].
8. Находим вторую производную и приравниваем ее к нулю:
y
′′
= − cos x − 2 cos 2x = 0.
Отсюда x
1,2
=
−1 ±
√
17 8
. Это точки перегиба.
Соответственно, определяются интервалы выпуклости вниз и вверх.
9. График функции показан на рис. 2.13.1.
O
x y
2 3
π
π
2π
Рис 2.13.1. График функции y = cos x +
1 2
cos 2x
Упражнение 2.13.1. Исследовать и построить график функции y = |x+2|e
−1/x
– 99 –

Глава 3
Неопределенный интеграл
После изучения этой главы читать должен знать определение неопределенного интеграла и первообразной, уметь находить интегралы от рациональных, иррацио- нальных, тригонометрических и разного типа трансцендентных функций, владеть методами вычисления неопределенных интегралов: интегрирование по частям и с помощью замены переменной.
3.1. Неопределенный интеграл и его свойства
Для решения многих задач, использующих для своего описания дифференциаль- ное исчисление (см. дополнение, § 11.3), очень часто приходится искать функции,
производные которых известны. Например, известна функция f(x) = x
2
, а необхо- димо найти функцию F (x) такую, что F
′
(x) = f (x) = x
2
. Решение этой конкретной задачи очень просто и не трудно сообразить, что для записи функции F (x) можно использовать формулу x
3 3
или формулу x
3 3
+ C, где C — произвольная постоянная.
Рассмотрим в общем виде задачу отыскания функции F (x) по ее известной про- изводной f(x). Сразу отметим, что решение этой задачи производится с помощью операции, которая называется интегрированием или, более точно неопределенным интегрированием. В процессе изучения этой новой операции, обратной дифферен- цированию, будут даны ответы на вопрос существования функции F (x), ее един- ственности, правил и методов отыскания.
3.1.1. Первообразная и неопределенный интеграл.
Определение 3.1.1. Пусть функции F и f заданы на конечном или бесконечном интервале (a, b). Функция F называется первообр´aзной для функции f на интервале
(a, b), если F дифференцируема на (a, b) и
F
′
(x) = (x)
(3.1.1)
или dF (x) = f (x)dx для всех x ∈ (a, b).
Иногда вместо термина "первообразная для данной функции f(x)" употребляют слова "первообразная данной функции f(x)".
Пример 3.1.1. Найти первообразную функции f(x) =
1 1 + x
2
Решение. Функция F (x) = arctg x является первообразной для f (x) =
1 1 + x
2
на всей числовой прямой (рис. 3.1.1), так как
(arctg x)
′
=
1 1 + x
2
,
x ∈ (−∞, +∞).
100

Пример 3.1.2. Проверить, что функция F (x) = arcctg
1
x является первообразной для f(x) =
1 1 + x
2
на любом интервале, не содержащем ноль. Например, на интервале
(−∞, 0), или (0, +∞), или (1, 5) и т.п.
Решение. Действительно,
F
′
(x) =

arcctg
1
x

′
= −
1 1 +
1
x
2
·

−
1
x
2

=
1 1 + x
2
= f (x),
x 6= 0.
Заметим, что функцию arcctg
1
x нельзя назвать первообразной функции
1 1 + x
2
на множестве (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как это последнее множество не является интер- валом (рис. 3.1.2).
Рис 3.1.1. График функции y = arctg x
Рис 3.1.2. График функции y = arcctg 1/x
Пример 3.1.3. Проверить, что функция F (x) = ln |x| — первообразная функции
1
x на любом интервале, не содержащем ноль.
– 101 –

Решение. Действительно, если x > 0, то
(ln |x|)
′
= (ln x)
′
=
1
x и если x < 0
(ln |x|)
′
= (ln(−x))
′
=
1
−x
· (−1) =
1
x
Замечание 3.1.1. В определении 3.1.1 вместо интервала (a, b) можно использо- вать отрезок [a, b], полуинтервалы [a, b) или (a, b]. Это несколько усложнит даль- нейшие рассуждения (придется говорить о правых и левых производных в точках x = a и x = b), но не изменит сути дела.
Ответ на важнейший вопрос о существовании первообразной функции F (x) для функции f(x) будет дан позднее (при изучении определенного интеграла), когда будет доказана фундаментальная теорема о том, что любая непрерывная на (a, b)
функция имеет на этом интервале (a, b) первообразную F (x).
Сейчас же легко описать множество первообразных для данной функции f(x).
Теорема 3.1.1. Если F
1
(x) и F
2
(x) — две первообразные для функции f (x), на интервале (a, b), то их разность F
1
(x) − F
2
(x) постоянна на этом интервале.
Доказательство. Производная разности функций F
1
(x) − F
2
(x) равна нулю на интервале (a, b)
(F
1
(x) − F
2
(x))
′
= F
′
1
(x) − F
′
2
(x) = f (x) − f(x) = 0.
Тогда из теоремы Лагранжа о среднем следует, что F
1
(x) − F
2
(x) = C, где C —
некоторая постоянная, то есть
F
1
(x) = F
2
(x) + C
(3.1.2)
Таким образом, если F
2
(x) есть какая-либо первообразная для функции f (x) на интервале (a, b), то всякая функция F
1
(x) вида (3.1.2) также является первообразной для f(x) на интервале и всякая первообразная функции для f(x) на (a, b) предста- вима в таком виде.
Определение 3.1.2. Множество всех первообразных функций f(x) на интер- вале (a, b) называется неопределенным интегралом и обозначается так:
Z
f (x) dx.
Если F (x) — какая-либо первообразная функции на (a, b), то пишут
Z
f (x) dx = F (x) + C,
(3.1.3)
хотя было бы правильнее писать
Z
f (x) dx = {F (x) + C}.
Будем употреблять запись (3.1.3), как это обычно принято.
Подчеркнем, что равенство в обеих частях которого стоят неопределенные инте- гралы, следует понимать, как равенство между множествами.
Знак
Z
называется знаком неопределенного интеграла, f есть подынтегральная функция, а f(x)dx — подынтегральное выражение. Запись под знаком интеграла не
– 102 –

просто функции f(x), а выражения f(x)dx удобнее, так как явно указывается, по какой переменной искать первообразную.
Пример 3.1.4. Найти неопределенные интегралы от функции ax
2
по x и по a.
Решение. Имеем
Z
ax
2
dx =
ax
3 3
+ C,
Z
ax
2
da =
a
2
x
2 2
+ C.
Преимущества использования под интегралом выражения f(x)dx будут обнару- жены и в дальнейшем.
Заметим, что две первообразные функции arctg x и arcctg
1
x для функции
1 1 + x
2
из первых двух примеров связаны равенствами:
arcctg
1
x
= arctg x + π,
C = π,
x ∈ (−∞, 0);
arcctg
1
x
= arctg x + 0,
C = 0,
x ∈ (0, ∞).
Возникает кажущееся противоречие с формулой (3.1.2), так как в этой формуле постоянная C единственна при фиксированных функциях F
1
(x) и F
2
(x).
Противоречие снимается, если внимательно прочитать условия второго примера и уяснить, что функция arcctg
1
x не является первообразной для функции
1 1 + x
2
на интервале (−∞, +∞) и, таким образом, сравнивать две функции arctg x и arcctg
1
x как первообразные для функции
1 1 + x
2
на интервале (−∞, +∞) нельзя. Но эти же функции

arctg x и arcctg
1
x

, например, на интервале (−∞, 0) уже первообразные для
1 1 + x
2
и формула (3.1.2) для них естественно верна (C = π).
3.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла. Для x ∈ (a, b) спра- ведливы равенства:
1.
Z
dF (x) = F (x) + C,
2. d
Z
f (x) dx

= f (x)dx.
Верность этих утверждений вытекает из определения первообразной и неопреде- ленного интеграла. Например, справедливость второго равенства следует из неслож- ной цепочки равенств d
Z
f (x) dx

= d (F (x) + C) = dF (x) + dC = f (x)dx + 0.
3. Свойство аддитивности неопределенного интеграла относительно функций.
Если функции f
1
(x) и f
2
(x) имеют первообразные на интервале (a, b), то и функ- ция f
1
(x) + f
2
(x) имеет первообразную на этом интервале, причем
Z
[f
1
(x) + f
2
(x)] dx =
Z
f
1
(x) dx +
Z
f
2
(x) dx.
(3.1.4)
Доказательство. Пусть для x ∈ (a, b)
Z
f
1
(x) dx = F
1
(x) + C
1
,
Z
f
2
(x) dx = F
2
(x) + C
2
– 103 –

или
F
′
1
(x) = f
1
(x),
F
′
2
(x) = f
2
(x).
Положим
F (x) = F
1
(x) + F
2
(x)
тогда
F
′
(x) = F
′
1
(x) + F
′
2
(x) = f
1
(x) + f
2
(x),
то есть функция F (x) = F
1
(x) + F
2
(x) есть одна из первообразных для f
1
(x) + f
2
(x)
и поэтому
Z
[f
1
(x) + f
2
(x)]dx = F
1
(x) + F
2
(x) + C.
Таким образом левая часть доказываемой формулы (3.1.4) состоит из функций вида
F
1
(x) + F
2
(x) + C,
а правая — из функций вида
F
1
(x) + F
2
(x) + C
1
+ C
2
Ввиду произвольности постоянных C, C
1
и C
2
эти совокупности функций совпа- дают (для любого числа C можно указать числа C
1
и C
2
такие, что C = C
1
+ C
2
).
2 4. Если функция f(x) имеет первообразную на интервале (a, b) и k — постоянная,
то и функция k · f(x) имеет первообразную для x ∈ (a, b) и справедливо равенство
(при k 6= 0)
Z
kf (x) dx = k
Z
f (x) dx.
(3.1.5)
Доказательство. Пусть для x ∈ (a, b)
Z
f (x) dx = F (x) + C
или
F
′
(x) = f (x).
Тогда
(kF (x))
′
= kf (x),
то есть первообразная для функции kf(x) найдена.
Докажем формулу (3.1.5). Ее левая часть равна kF (x) + C
1
,
а правая k[F (x) + C] = kF (x) + kC.
В силу произвольности постоянных C и C
1
и условия k 6= 0 совокупности функций kF (x) + C
1
и kF (x) + C совпадают, а значит верна формула (3.1.5).
2
– 104 –

3.1.3. Табличные интегралы. Уже говорилось, что операция интегрирования является операцией, обратной операции дифференцирования, поэтому всякая фор- мула вида
F
′
(x) = f (x)
может быть записана в виде интегральной формулы
Z
f (x) dx = F (x) + C.
Например, равенство
(sin x)
′
= cos x в интегральной форме имеет вид
Z
cos x dx = sin x + C.
Используя подобный подход, запишем таблицу неопределенных интегралов, ко- торая получается непосредственно из соответствующей таблицы производных эле- ментарных функций (см. § 2.4).
1.
Z
x
α
dx =
x
α+1
α + 1
+ C,
x > 0,
α 6= −1.
(Формула справедлива и для всех x 6 0, если степень x
α
имеет смысл для этих x, например, при α = 2.)
2.
Z
1
x dx = ln |x| + C на любом интервале, на котором x 6= 0.
3.
Z
a x
dx =
a x
ln a
+ C,
a > 0,
a 6= 1
(в частности,
Z
e x
dx = e x
+ C.)
4.
Z
sin x dx = − cos x + C.
5.
Z
cos x dx = sin x + C.
6.
Z
1
cos
2
x dx = tg x + C.
7.
Z
1
sin
2
x dx = − ctg x + C.
8.
Z
sh x dx = ch x + C.
9.
Z
ch x dx = sh x + C.
10.
Z
dx ch
2
x
= th x + C.
11.
Z
dx sh
2
x
= − cth x + C.
12.
Z
1 1 + x
2
dx = arctg x + C.
13.
Z
1
x
2
− 1
dx =
1 2
ln x − 1
x + 1
+ C.
14.
Z
1
√
1 − x
2
dx = arcsin x + C.
– 105 –

15.
Z
1
√
x
2
± 1
dx = ln(x +
√
x
2
± 1) + C.
Отметим, что если в вышеприведенных равенствах подынтегральная функция теряет смысл для каких–то x, то написанные формулы справедливы только на ин- тервалах, не содержащих этих x.
С помощью интегралов 1–15, называемых обычно табличными интегралами, и доказанных выше свойств неопределенного интеграла можно выразить интегралы и от более сложных элементарных функций через элементарные функции. Например,
Z
7 cos x − 3 +
x
3 4
−
1 2x

dx = 7
Z
cos x dx − 3
Z
dx+
+
1 4
Z
x
3
dx −
1 2
Z
dx x
= 7 sin x − 3x +
1 16
x
4
−
1 2
ln |x| + C.
Равенства справедливы на любом интервале, не содержащем нуля.
3.2. Основные методы интегрирования
3.2.1. Интегрирование с помощью замены переменной.
Теорема 3.2.1. Пусть функции f(x), и x = ϕ(t) определены на некоторых ин- тервалах так, что имеет смысл сложная функция f (ϕ(t)) и функция ϕ(t) непре- рывно дифференцируема. Тогда, если функция f (x) имеет первообразную F (x), то есть
Z
f (x) dx = F (x) + C,
то функция f (ϕ(t)) · ϕ
′
(t) имеет первообразную
F (ϕ(t))
и, значит,
Z
f (ϕ(t)) · ϕ
′
(t)dt = F (ϕ(t)) + C.
(3.2.1)
Доказательство. Сложная функция F (ϕ(t)) имеет смысл, так как определена функция f(ϕ(t)), а области определений f(x) и F (x) совпадают. Найдем производную для F (ϕ(t)) по переменной t:
dF (ϕ(t))
dt
=
F
′
(ϕ(t))
dx
·
dϕ(t)
dt
= f (ϕ(t)) · ϕ
′
(t),
т.е. функция F (ϕ(t)) — первообразная для функции f(ϕ(t)) · ϕ
′
(t) и формула (3.2.1)
доказана.
Формула (3.2.1) часто используется на практике для вычисления неопределенных интегралов. Но для удобства использования перепишем ее в следующем виде
Z
f (ϕ(t)) · ϕ
′
(t)dt =
Z
f (x) dx,
(3.2.2)
где x = ϕ(t) или
Z
f (ϕ(t)) · ϕ
′
(t)dt =
Z
f (ϕ(t))dϕ(t).
(3.2.3)
Пример 3.2.1. Вычислить интеграл
Z
t dt t
2
+ 1
– 106 –