Файл: Математический анализ.pdf

причем квадратные многочлены x
2
+ px + q,. . . не имеют действительных корней.
Коэффициенты числителей в разложении (3.3.1) могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.
– 108 –

Рациональные дроби вида
A
(x − a)
l
,
M x + N
(x
2
+ px + q)
s
,
(3.3.2)
где a, p, q, A, M, N — действительные числа и p
2 4
−q < 0 (корни многочлена x
2
+px+q существенно комплексные) называются элементарными рациональными дробями.
Легко видеть, что разложение (3.3.1) есть сумма элементарных рациональных дробей. С точки зрения интегрирования элементарных дробей среди них следует выделить четыре типа дробей:
A
x − a
;
A
(x − a)
l
,
l = 2, 3, . . . ;
M x + N
x
2
+ px + q
;
M x + N
(x
2
+ px + q)
s
,
s = 2, 3, . . .
Научившись интегрировать эти четыре типа, не трудно найти и интеграл
Z
R(x) dx =
Z
P (x)
Q(x)
dx.
3.3.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов.
1).
Z
A
x − a dx = A ln |x − a| + C.
(3.3.3)
2).
Z
A
(x − a)
l dx = −
A
(l − 1)(x − a)
l−1
+ C,
l = 2, 3, . . .
(3.3.4)
3).
Z
M x + N
x
2
+ px + q dx.
Выделим из выражения x
2
+ px + q полный квадрат двучлена:
x
2
+ px + q = x
2
+ 2 ·
p
2
+
p
2

2
+

q −
p
2

2

=

x +
p
2

2
+

q −
p
2 4

Так как величина q −
p
2 2
> 0, то можно ввести число a по формуле a = +
r q −
p
2 4
или a
2
= q −
p
2 4
. Сделав замену переменной x +
p
2
= t,
dx = dt и используя равенства x
2
+ px + q = t
2
+ a
2
,
M x + N = M t +

N −
M p
2

,
найдем требуемый интеграл
Z
M x + N
x
2
+ px + q dx =
Z
M t + N −
M p
2

t
2
+ a
2
=
=
M
2
Z
2tdt t
2
+ a
2
+

N −
M p
2
Z
dt t
2
+ a
2
=
– 109 –

=
M
2
ln(t
2
+ a
2
) +
1
a

N −
M p
2

arctg t
a
+ C,
или, возвращаясь к переменной x, и подставляя вместо a его значение:
Z
M x + N
x
2
+ px + q dx =
(3.3.5)
=
M
2
ln(x
2
+ px + q) +
2N − Mp p
4q − p
2
arctg
2x + p p
4q − p
2
+ C.
4).
Z
M x + N
(x
2
+ px + q)
s dx.
Воспользуемся той же заменой переменной x +
p
2
= t и обозначениями, что и при интегрировании дроби третьего типа, получим:
Z
M x + N
(x
2
+ px + q)
s dx =
Z
M t + N −
M p
2

(t
2
+ a
2
)
s dt =
=
M
2
Z
2 + dt
(t
2
+ a
2
)
s dt +

N −
M p
2
Z
dt
(t
2
+ a
2
)
s
Первый интеграл в последней сумме легко вычисляется еще одной заменой пере- менной t
2
+ a
2
= u,
2tdt = du
Z
2t
(t
2
+ a
2
)
s dt =
Z
du u
s
= −
1
s − 1
·
1
u s−1
+ C =
(3.3.6)
= −
1
s − 1 1
(t
2
+ a
2
)
s−1
+ C.
Второй же интеграл, при любом натуральном s может быть вычислен по рекур- рентной формуле (см. пример 3.2.4, формула (3.2.5)).
Таким образом, используя аддитивность интеграла для любой правильной ра- циональной несократимой дроби R(x) с действительными коэффициентами неопре- деленный интеграл может быть найден и выражен через элементарные функции,
а именно он является алгебраической суммой суперпозиций рациональных дробей,
арктангенсов и натуральных логарифмов.
Если дробь R(x) =
P (x)
Q(x)
— неправильная (степень многочлена P (x) больше или равна степени многочлена Q(x)), то сначала выделяется "целая часть" (многочлен),
т.е. данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правиль- ной рациональной дроби и далее снова, используя аддитивность, выражаем неопре- деленный интеграл от неправильной дроби R(x) через элементарные функции.
3.3.2. Метод Остроградского. Не трудно заметить (анализируя результаты интегрирования элементарных дробей четырех типов), что всякая первообразная любой рациональной дроби
P (x)
Q(x)
представима, вообще говоря, в виде суммы раци- ональной дроби и трансцендентной функции (логарифмов и арктангенсов), которая получается при интегрировании дробей вида
A
x − a и
M x + N
x
2
+ px + q
,
p
2 4
− q < 0.
– 110 –

Таким образом, если
P (x)
Q(x)
— правильная рациональная дробь и
Q(x) = (x − a
1
)
n
1
· . . . · (x − a r
)
n r
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
m
1
· . . . · (x
2
+ p s
x + q s
)
m s
разложение ее знаменателя на множители, то
Z
P (x)
Q(x)
dx =
P
1
(x)
Q
1
(x)
+
Z "
r
X
i=1
A
i x − a i
+
s
X
j=1
M
j x + N
j x
2
+ p j
x + q j
#
dx
Произведя сложение дробей в квадратных скобках, получим
Z
P (x)
Q(x)
dx =
P
1
(x)
Q
1
(x)
+
Z
P
2
(x)
Q
2
(x)
dx,
(3.3.7)
где Q(x) = (x − a
1
) · . . . · (x − a r
)(x
2
+ p
1
x + q
1
) · . . . · (x
2
+ p s
x + q s
).
Из формул (3.3.4), (3.3.5) и (3.3.6)следует, что многочлен Q
1
(x) имеет вид
Q
1
(x) = (x − a
1
)
n
1
−1
· . . . · (x − a r
)
n r
−1
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
m
1
−1
· . . . · (x
2
+ p s
x + q s
)
m s
−1
и, значит многочлен Q
1
(x) является общим наибольшим делителем многочлена и его производной Q
′
(x).
Формула (3.3.7) называется формулой Остроградского.
Интеграл
Z
P
2
(x)
Q
2
(x)
dx называется трансцендентной частью интеграла
Z
P (x)
Q(x)
dx.
Это естественно, ведь из вышеизложенного следует, что всякая первообразная дроби
P
2
(x)
Q
2
(x)
с точностью до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбинацию логарифмов и арктангенсов от рациональных функций.
Дробь
P
1
(x)
Q
1
(x)
называется рациональной частью интеграла
Z
P (x)
Q(x)
dx.
Если известны многочлены P (x) и Q(x), то многочлены Q
1
(x) и Q
2
(x) (Q(x) =
Q
1
(x) · Q
2
(x)) могут быть найдены, например, с помощью алгоритма Евклида. Для отыскания же многочленов P
1
(x) и P
2
(x) можно применить метод неопределенных коэффициентов с использованием равенства
P (x)
Q(x)
=

P
1
(x)
Q
1
(x)

′
+
P
2
(x)
Q
2
(x)
,
(3.3.8)
которое получается диффернцированием формулы (3.3.7). Степени многочленов
P
1
(x) и P
2
(x) с неизвестными коэффициентами выбираются на единицу меньше сте- пеней соответствующих знаменателей Q
1
(x) и Q
2
(x).
Можно показать, что соотношение (3.3.8) позволяет единственным образом найти неизвестные коэффициенты многочленов P
1
(x) и P
2
(x).
3.4. Интегрирование иррациональных функций
3.4.1. Интегрирование выражений вида R

x,
m q
ax+b cx+d

. Основным прие- мом нахождения интеграла от указанного выражения, где буква R обозначает раци- ональную функцию от своих аргументов (а в дальнейшем и других интегралов от иррациональных функций) будет отыскание таких подстановок t = ϕ(x), которые
– 111 –

привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду относительно новой переменной
Z
R
1
(t) dt. Последний интеграл можно выразить в конечном виде че- рез элементарные функции, используя методики предыдущей лекции. Если функция
ϕ(x) сама элементарна, то возвращаясь к переменной x, получим нужный интеграл в виде элементарной функции.
Будем называть такой прием методом рационализации подынтегрального выра- жения.
Проиллюстрируем этот прием на вычислении интеграла
Z
R
x,
m r
ax + b cx + d
!
(3.4.1)
где R означает рациональную функцию от двух аргументов x и y =
m r
ax + b cx + d
,
m
— натуральное число, a, b, c, d — постоянные вещественные числа, причем a b c d
6=
0. (В случае, когда a b c d
= 0, дробь ax + b cx + d не зависит от x и подынтегральная функция была бы рациональной относительно переменной x.)
Положим t = ϕ(x) =
m r
ax + b cx + d
,
t m
=
ax + b cx + d
,
x = ψ(t) =
dt m
− b a − ct m
Искомый интеграл перейдет в интеграл
Z
R (ψ(t), t) ψ
′
(t) dt
(3.4.2)
от рациональной функции R (ψ(t), t) ψ
′
(t) (R (ψ(t), t) рациональна, как суперпози- ция рациональных, ψ
′
(t) рациональна, как производная рациональной функции).
Вычислив интеграл (3.4.2) по правилам предыдущей лекции и вернувшись к ста- рой переменной (t = ϕ(x)), найдем интеграл (3.4.1).
Замечание 3.4.1. К интегралу вида (3.4.1) сводятся и более общие интегралы
Z
R

x,

ax + b cx + d

r
1
, . . . ,

ax + b cx + d

r s

dx,
где все показатели r
1
, . . . r s
рациональны.
Действительно, достаточно привести эти показатели к общему знаменателю m,
чтобы выразить все степени

ax + b cx + d

r i
(i = 1, . . . , s) через один радикал m
r ax + b cx + d с целыми показателями n i
,
n i
= m · r i
(i = 1, 2, . . . , s).
3.4.2. Интегрирование выражений вида x m
(a + bx n
)
p
. Интеграл от ука- занного вида функций
Z
x m
(a + bx n
)
p dx
(3.4.3)
называют интегралом от дифференциального бинома (или биномиального дифферен- циала)
x m
(a + bx n
)
p dx,
если a и b — вещественные числа (a 6= 0, b 6= 0), n, m и p — рациональны.
– 112 –

Укажем случаи, когда интеграл (3.4.3) выражается через элементарные функции.
Прежде всего этот случай возникает, если p есть целое число (p ∈ Z). Тогда функция x
m
(a + bx n
)
p относится к типу, изученному в предыдущем пункте (r
1
= m, r
2
= n).
Для выяснения других случаев сделаем замену переменной z = x n
Тогда x
m
(a + bx n
)
p dx =
1
n
(a + bz)
p z
m
+1
n
−1
dz или
Z
x m
(a + bx n
)
p dx =
1
n
Z
(a + bz)
p z
q dz,
(3.4.4)
где q =
m + 1
n
− 1.
Если q есть целое число, то снова приходим к интегралу изученного типа (см.
предыдущий пункт, r
1
= p).
Перепишем, наконец, второй интеграл равенства (3.4.4) в виде
1
n
Z
a + bz z

p z
p+q dz и снова заключаем, что если p + q есть целое число, то возникает изученный случай
(см. предыдущий пункт, r
1
= p).
Таким образом, интегралы (3.4.4) от дифференциального бинома выражаются через элементарные функции, если оказывается целым одно из чисел p, q, p + q или (что то же самое) одно из чисел p,
m + 1
n
,
m + 1
n
+ p.
П.Л.Чебыш¨ев (1821–1894) — русский математик — показал, что при показателях m,
n и p, не удовлетворяющих вышеуказанным условиям, интеграл (3.4.3) не выражается через элементарные функции.
3.4.3. Интегрирование выражений вида R x,
√
ax
2
+ bx + c

. Рассмот- рим очень важный класс интегралов
Z
R

x,
√
ax
2
+ bx + c

dx
(3.4.5)
в предположении, что трехчлен ax
2
+ bx + c не есть полный квадрат (иначе исчезает иррациональность) и вещественные коэффициенты a, b, c таковы, что подынтеграль- ная функция определена на каком-то интервале.
Существует три подстановки, называемые подстановками Эйлера, с помощью ко- торых всегда можно достигнуть рационализации подынтегрального выражения.
1. Пусть a > 0, тогда полагают
√
ax
2
+ bx + c = t −
√
ax
(3.4.6)
(или
√
ax
2
+ bx + c = t +
√
ax). Возводя равенство (3.4.6) в квадрат, найдем что x =
t
2
− c
2
√
at + b
,
√
ax
2
+ bx + c =
√
at
2
+ bt + c
√
a
2
√
at + b
,
dx = 2
√
at
2
+ bt + c
√
a
(2
√
at + b)
2
dt.
– 113 –

если в интеграле (3.4.5) использовать полученные выражения, то подынтегральная функция окажется рациональной относительно переменной t и интеграл может быть найден. Для возвращения к переменной x, следует положить t =
√
ax
2
+ bx + c +
√
ax.
2. Пусть c > 0. В этом случае полагаем
√
ax
2
+ bx + c = xt +
√
c
(или
√
ax
2
+ bx + c = xt −
√
c).
Производя фактически те же преобразования, что и в первом случае, найдем, что x =
2
√
ct − b a − t
2
,
√
ax
2
+ bx + c =
√
ct
2
− bt + a
√
c a − t
2
,
dx = 2
√
ct
2
− bt + a
√
c
(a − t
2
)
2
dt.
Далее, интегрируя рациональную функцию относительно переменной t и полагая t =
√
ax
2
+ bx + c −
√
c x
,
находим интеграл (3.4.5).
3. Пусть квадратный трехчлен x
2
+ bx + c имеет различные вещественные корни x
1
и x
2
. Тогда ax
2
+ bx + c = a(x − x
1
)(x − x
2
).
Положим
√
ax
2
+ bx + c = t(x − x
1
).
Возводя последнее равенство в квадрат, найдем x =
−ax
2
+ x
1
t
2
t
2
− a
,
√
ax
2
+ bx + c =
a(x
1
− x
2
)
t
2
− a
,
dx =
2a(x
2
− x
1
)t
(t
2
− a)
2
dt.
Далее вычисления интеграла (3.4.5) идут по той же схеме, что и в первом (или втором) случае.
Замечание 3.4.2. Первый случай (a > 0) и второй (c > 0) можно свести один к другому подстановкой x =
1
z и, таким образом, пользоваться только, например,
первым случаем.
Замечание 3.4.3. Ясно, что вариант, когда не подходит ни первый, ни третий случай ведет к тому, что выражение
√
ax
2
+ bx + c не имеет смысла (под корнем стоит отрицательное число для любых x).
– 114 –

3.5. Интегрирование тригонометрических функций
3.5.1. Вычисление интегралов вида
R
R
(sin x, cos x) dx. Замена перемен- ной по формуле t = tg x
2
сводит интеграл
Z
R (sin x, cos x) dx к интегралу от рациональной функции. Действительно,
sin x =
2 sin x
2
cos x
2
cos
2 x
2
+ sin
2 x
2
=
2 tg x
2 1 + tg
2 x
2
=
2t
1 + t
2
cos x =
cos
2 x
2
− sin
2 x
2
cos
2 x
2
+ sin
2 x
2
==
1 − tg
2 x
2 1 + tg
2 x
2
=
1 − t
2 1 + t
2
x = 2 arctg t,
dx =
2t
1 + t
2
Тогда искомый интеграл перепишется в виде интеграла
2
Z
R

2t
1 + t
2
,
1 − t
2 1 + t
2

dt
1 + t
2
,
который, очевидно, есть интеграл от рациональной функции.
Замечание 3.5.1. Иногда подстановки вида t = sin x,
t = cos x,
t = tg x позволяют вычислить нужный интеграл значительно быстрее, чем при использо- вании универсальной подстановки t = tg x
2 3.5.2. Вычисление интегралов вида
R
sin m
x cos n
x dx
. а) Пусть m и n —
рациональные числа, тогда подстановка t = sin x приведет искомый интеграл к интегралу от дифференциального бинома. Действи- тельно,
cos x = (1 − t
2
)
1 2
,
dt = cos xdx,
dx = (1 − t
2
)
−
1 2
dt,
Z
sin m
x cos n
xdx =
Z
t m
(1 − t
2
)
n−1 2
dt.
б) Пусть m и n — целые числа, причем среди них есть нечетное, например, m =
2k + 1. Подстановка t = sin x быстро ведет к получению результата: интегралу от рациональной функции по переменной t (если же m и n — положительные, то к интегралу от многочлена).
Z
sin
2k+1
x cos n
x dx = −
Z
(sin
2
x)
k cos n
x d cos x =
Z
(1 − t
2
)
k t
n dt.
в) Пусть m и n — целые, положительные, четные (может быть одно из чисел ноль). Тогда применение формул sin
2
x =
1 − cos 2x
2
,
cos
2
x =
1 + cos 2x
2
позволит понизить степень функций sin x и cos x под интегралом и в конце концов найти нужный интеграл.
– 115 –

3.5.3. Вычисление интегралов вида
R
sin αx cos βx dx. Указанные выше в заглавии интегралы легко вычисляются, если воспользоваться тригонометрическими формулами sin αx cos βx =
1 2
[sin(α + β)x + sin(α − β)x],
sin αx sin βx =
1 2
[cos(α − β)x − cos(α + β)x],
cos αx cos βx =
1 2
[cos(α + β)x + cos(α − β)x].
Например,
Z
sin 3x cos 5x dx =
1 2
Z
(sin 8x − sin 2x) dx = −
1 16
cos 8x +
1 4
cos 2x + C.
3.6. Интегрирование трансцендентных функций
34.1. Если подынтегральное выражение имеет вид
P (x)e ax dx,
P (x) sin bx dx,
P (x) cos bx dx,
P (x) ln m
x dx
(m целое, m > 0), где P (x) — многочлен, то обычно говорят об интегрировании трансцендентной функции. Фактически, в этом случае нужно научиться вычислять интеграл, когда P (x) = x n
,
(n — целое, неотрицательное). Задача решается много- кратным использованием метода интегрирования по частям. Покажем это на приме- рах.
1.
Z
x
2
cos 2x dx =
1 2
Z
x
2
d(sin 2x) =
1 2
x
2
sin 2x −
Z
x sin 2x dx =
=
1 2
x
2
sin 2x +
1 2
Z
xd(cos 2x) =
1 2
x
2
sin 2x +
1 2
x cos 2x −
1 2
Z
cos 2x dx =
=
1 2
x
2
sin 2x +
1 2
x cos 2x −
1 4
sin 2x + C.
Аналогично интегрируются выражения x
n arcsin x dx,
x n
arccos x dx,
x n
arctg x dx,
x n
arcctg x dx.
34.2. Рассмотрим интегралы от трансцендентных функций e ax cos bx, e ax sin bx.
В этом случае результаты дает также повторное интегрирование по частям, но с использованием еще одного приема, которым необходимо владеть для вычисления и других интегралов. Найдем интеграл от функции e ax cos bx. Обозначим искомый интеграл через I. Тогда
I =
Z
e ax cos bx dx =
Z
e ax d

sin bx b

=
e ax sin bx b
−
a b
Z
e ax sin bx dx =
=
e ax sin bx b
−
a b
Z
e ax d

−
cos bx b

=
=
e ax sin bx b
+
ae ax cos bx b
2
−
a
2
b
2
Z
e ax cos bx dx.
Теперь получается уравнение относительно величины I
I =
e ax
(b sin bx + a cos bx)
b
2
−
a
2
b
2
I,
– 116 –

откуда
I =
e ax
(b sin bx + a cos bx)
a
2
+ b
2
+ C.
Аналогично вычисляется интеграл
Z
e ax sin bx dx.
Не трудно вычислить и интеграл
Z
x n
e ax cos bx dx,
используя полученные выше результаты.
Интегрирование по частям приведет к понижению степени n под интегралом.
Действительно,
Z
x n
e ax cos bx dx =
Z
x n
d

e ax
(b sin bx + a cos bx)
a
2
+ b
2

=
= x n
e ax b sin bx + a cos bx a
2
+ b
2
− n
Z
x n−1

e ax
(b sin bx + a cos bx)
a
2
+ b
2

dx.
Полученный в правой части интеграл — сумма интегралов уже изученного типа и, следовательно, степень n − 1 также может быть понижена и приведена в конце концов к нулю, что позволит выписать окончательный ответ.
34.3. Интеграл вида
Z
R(sh x, ch x) dx вычисляется теми же приемами, что ин- тегралы
Z
R(sin x, cos x) dx.
Подстановка t = th x
2
сводит искомый интеграл к интегралу от рациональной функции относительно переменной t
Z
R(sh x, ch x) dx = 2
Z
R

2t
1 − t
2
,
1 + t
2 1 − t
2

dt
1 − t
2
,
так как sh x =
2t
1 − t
2
,
ch x =
1 + t
2 1 − t
2
,
dx =
2t
1 − t
2 3.7. Интегрирование различных классов функций
Выше были рассмотрены некоторые классы функций, для которых разработа- ны стандартные методы интегрирования. Чаще всего использовался прием рациона- лизации подынтегральной функциии, после чего делался вывод о принципиальной возможности вычисления интеграла, т.е. его выражения через элементарные функ- ции. На практике часто встречаются функции, интегрирование которых не может быть осуществлено ни одним из рассмотренных приемов. В этом случае необходимо использовать комбинацию различных способов или разработать новый метод. Заме- тим, что и стандартная рационализация подынтегральной функции часто приводит к громоздким и утомительным вычислениям.
Приведем некоторые примеры.
Найти интегралы:
1.
J =
Z
x
2
+ x + 1
(x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
dx =
– 117 –

=
Z
x
2
+ 1
(x
2
+ 1)
√
x
2
+ 1
dx +
Z
x
(x
2
+ 1)
3/2
dx =
=
Z
dx
√
x
2
+ 1
+
1 2
Z
d(x
2
+ 1)
(x
2
+ 1)
3/2
В первом интеграле последней суммы сделаем подстановку x = sh t, а во втором
— u = x
2
+ 1. Тогда
J =
Z
d(sh t)
p sh
2
t + 1
+
1 2
Z
du u
3/2
=
Z
ch t ch t dt +
1 2
1
u
1/2
(−2) =
= t −
1
u
1/2
+ C = ln(x +
√
x
2
+ 1) −
1
√
x
2
+ 1
+ C,
так как из равенства x = sh t =
e t
− e
−t
2
следует, что t = ln(x +
√
x
2
+ 1).
Стандартная рационализация с помощью подстановки Эйлера
√
x
2
+ 1 = x + t,
здесь вряд ли уместна.
2.
J =
Z √
1 − x
2
arcsin x dx. Сделаем замену переменной x = sin t, тогда
J =
Z
cos
2
t · t dt =
Z
t
1 + cos 2t
2
dt =
1 2
Z
t dt +
1 2
Z
t cos 2t dt
=
1 4
t
2
+
1 4
t sin 2t −
1 4
Z
t sin 2t dt =
1 4
t
2
+
1 4
t sin 2t +
1 8
cos 2t + C.
Вернемся к переменной x, t = arcsin x.
J =
1 4
arcsin
2
x +
1 4
arcsin x · sin(2 arcsin x) +
1 8
cos(2 arcsin x) + C =
=
1 4
arcsin
2
x +
1 4
arcsin x · 2x
√
1 − x
2
+
1 8
(1 − x
2
− x
2
) + C =
=
arcsin
2
x − x
2 4
+
x
√
1 − x
2
· arcsin x
2
+ C.
3.
J =
Z
x ln |x|
(1 − x
2
)
√
x
2
− 1
dx =
1 2
Z
x ln x
2
(1 − x
2
)
√
x
2
− 1
dx =
= −
1 4
Z
ln x
2
d(x
2
− 1)
(x
2
− 1)
3/2
=
1 2
Z
ln x
2
d

(x
2
− 1)
−
1 2

=
=
1 2

ln x
2
√
x
2
− 1
− 2
Z
(x
2
− 1)
−
1 2
dx x

=
=
ln |x|
√
x
2
− 1
−
Z
dx x
√
x
2
− 1
=
ln |x|
√
x
2
− 1
−
Z
dx x
2
q
1 −
1
x
2
=
=
ln |x|
√
x
2
− 1
+
Z
d
1
x

q
1 −
1
x
2
=
ln |x|
√
x
2
− 1
+ arcsin
1
x
+ C.
Эти несложные примеры показывают, что нельзя предложить стандартные ал- горитмы для нахождения всех интегралов. Тем более, что вообще-то, при решении
– 118 –

практических важных задач чаще встречаются с интегралами, которые не выража- ются в элементарных функциях (с так называемыми "неберущимися" интегралами).
Скорее "берущиеся" интегралы составляют исключение из правил.
3.7.1. Обзор некоторых интегралов, которые не выражаются через эле- ментарные функции (не интегрируются в конечном виде). Можно доказать,
что к таким интегралам относятся
Z
e x
x n
dx,
Z
sin x x
n
,
Z
cos x x
n
,
n = 1, 2, 3, . . .
Интегрируя их по частям, получаем рекуррентные формулы и сводим интегралы,
соответственно к трем основным:
1.
Z
e x
x dx =
Z
dy ln y
= li(y),
где x = ln y (li(y) — "интегральный логарифм");
2.
Z
sin x x dx
= si(x) ("интегральный синус" );
3.
Z
cos x x dx
= ci(x) ("интегральный косинус" ).
Конечно, во всех трех случаях нужно фиксировать произвольную постоянную,
чтобы однозначно определить введенные функции. Это делается на базе соотноше- ний:
1. li(y) → 0 при y → +0;
2. si(0) = 0;
3. ci(x) → 0 при x → +∞.
На практике (в теории вероятностей) очень важен интеграл
Φ
0
(x) =
1 2π
Z
e
−
x2 2
dx,
Φ
0
(0) = 0,
который также не выражается в элементарных функциях, но таблицы функции Φ
0
(x)
входят в каждое, даже элементарное пособие по теории вероятностей.
Все указанные выше функции табулированы и, если интеграл удается свести к одной из них (или их комбинации), то задача интегрирования считается решенной.
Пример 3.7.1. Выразить интеграл
J =
Z
1 − x x
e
−x dx через интегральный логарифм li(x) и элементарные функции.
Решение. Имеем
J =
Z
1 − x x
e
−x dx =
Z
e
−x x
dx −
Z
e
−x dx =
Z
e
−x
−x d(−x) + e
−x
=
= li(y) + e
−x
+ C,
где − x = ln y;
J = li(e
−x
) + e
−x
+ C.
– 119 –

3.7.2. Эллиптические интегралы. Интегралы вида
Z
R

x,
p
P (x)

,
где P (x) — многочлен третьей или четвертой степени, называются эллиптически- ми. В общем случае эти интегралы не выражаются через элементарные функции. В
том случае, когда это выражение возможно, они называются псевдоэллиптическими.
Особенно часто встречаются интегралы
Z
dx p
(1 − x
2
)(1 − k
2
x
2
)
и
Z
x
2
dx p
(1 − x
2
)(1 − k
2
x
2
)
,
0 6 k < 1.
Подстановкой x = sin ϕ они приводятся к комбинации интегралов
Z
dϕ
p
1 − k
2
sin
2
ϕ
и
Z q
1 − k
2
sin
2
ϕ dϕ,
(3.7.1)
которые называются соответственно эллиптическими интегралами первого и вто- рого рода в форме Лежандра (А.Лежандр (1752–1853) — французский математик).
Если первообразные (3.7.1) выбрать так, что при ϕ = 0 они обращаются в ноль,
то эти первообразные обозначают соответственно
F (ϕ, k) и
E(ϕ, k)
и сведение эллиптического интеграла к этим функциям завершает процесс интегри- рования.
– 120 –

Глава 4
Определенный интеграл Римана и его приложения
После изучения данной главы читатель должен уметь находить определенные и несобственные интегралы и применять их к нахождению длин кривых, площадей,
объемов и поверхностей вращения. Знать основные определения, формулы и теоремы об определенном интеграле, суммах Дарбу, основную форулу Ньютона-Лейбница,
классах интегрируемых функций и его приложения. Владеть методами вычисления определенного и несобственного интегралов.
4.1. Определенный интеграл. Необходимый признак интегрируемости
4.1.1. Определение интеграла Римана.
Определение 4.1.1. Пусть [a, b], −∞ < a < b < +∞, — некоторый отре- зок. Разбиением T отрезка [a, b] называется произвольный конечный набор точек
{x
0
, x
1
, . . . , x n
}, таких, что a = x
0
< x
1
< · · · < x n
= b. Каждый из отрезков
[x i−1
, x i
] называется отрезком разбиения, а его длина обозначается ∆x i
= x i
− x i−1
,
i = 1, 2, . . . , n.
Отметим, что n
P
i=1
∆x i
= (b − a).
Определение 4.1.2. Величину
|T | = δ = max
16i6n
∆x i
назовем диаметром, или мелкостью, разбиения.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), заданную на отрезке [a, b], и набор произ- вольных точек ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
, таких, что ξ
i
∈ [x i−1
, x i
] для любого i.
Определение 4.1.3. Интегральной суммой (Римана) для функции f называет- ся выражение
σ
T
(f ) =
n
X
i=1
f (ξ
i
)∆x i
Определим предел интегральных сумм при |T | → 0 следующим образом.
Определение 4.1.4. Число I назовем пределом интегральных сумм при |T | → 0
I = lim
|T |→0
σ
T
(f ),
если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого разбиения T с мелко- стью |T | < δ и для любой выбранной последовательности точек ξ
1
, . . . , ξ
n справед- ливо неравенство
|I − σ
T
| < ε.
121

Определение 4.1.5. Функция f называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b], если существует конечный предел I интегральных сумм при |T | → 0.
Данный предел I называется определенным интегралом от функции f по отрезку
[a, b] и обозначается так:
I =
b
Z
a f (x) dx = lim
|T |→0
σ
T
(f ).
Определение 4.1.6. Переменная x называется переменной интегрирования,
число a — нижним пределом, число b — верхним пределом, а функция f — подын- тегральной функцией.
Положим по определению a
Z
a f (x) dx = 0,
а если дан отрезок [a, b], для которого a > b, то определим b
Z
a f (x) dx = −
a
Z
b f (x) dx.
4.1.2. Необходимый признак интегрируемости.
Теорема 4.1.1. Если функция f неограничена на отрезке [a, b], то она неинте- грируема на этом отрезке.
Теорема 4.1.1 представляет собой необходимый признак интегрируемости функ- ции: если функция интегрируема, то она должна быть ограниченной на отрезке.
Доказательство. Пусть функция f — неограничена на [a, b]. Возьмем разбиение отрезка T = {x
0
, x
1
, . . . , x n
}. Тогда f неограничена на каком-то отрезке, входящем в разбиение, скажем на [x j−1
, x j
]. Рассмотрим набор точек ξ
i
∈ [x i−1
, x i
]. В силу неограниченности функции, для любого числа M > 0 найдется точка ξ
j
∈ [x j−1
, x j
],
что |f(ξ
j
)| > M.
Тогда для интегральной суммы σ
T
(f ) выполняется неравенство
|σ
T
(f )| > |f(ξ
j
)∆x j
| −
X
i6=j f (ξ
i
)∆x i
> M ∆x j
−
X
i6=j f (ξ
i
)∆x i
Отсюда видно, что интегральная сумма σ
T
(f ) может быть сделана как угодно большой по модулю и, таким образом, является неограниченной. Так что функция f — неинтегрируема на отрезке [a, b].
2
Но не всякая ограниченная функция является интегрируемой.
Пример 4.1.1. Рассмотрим функцию Дирихле f(x), равную 1 для рациональных значений x и нулю для иррациональных значений x. Доказать, что эта функция не интегрируема на любом отрезке [a, b].
Решение. Рассмотрим интегральные суммы σ
T
(f ) для f для некоторого разбие- ния T . Если взять точки ξ
i рациональными, то σ
T
(f ) = 0. Если рассмотреть ирраци- ональны точки ξ
i
, то σ
T
(f ) = b − a. Таким образом, интегральные суммы для f не могут иметь предела при |T | → 0.
Не вдаваясь пока в подробности, дадим геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и положительна на отрезке
– 122 –

[a, b]. Рассмотрим следующую плоскую фигуру, ограниченную прямыми x = a, x = b,
осью OX и графиком функции y = f(x). Эта фигура называется криволинейной трапецией. Площадь S криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x) по отрезку [a, b]:
S =
b
Z
a f (x) dx.
(4.1.1)
Мы не будем пока доказывать это утверждение, поскольку мы еще не определили понятие площади плоской фигуры. И на равенство (4.1.1) можно пока смотреть как на определение.
4.2. Нижние и верхние суммы Дарбу. Критерии интегрируемости
Теорема 4.2.1 (критерий Коши интегрируемости функции). Для того, чтобы функция f была интегрируема на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое δ > 0, что для любых разбиений T
′
и T
′′
с мелкостями меньше δ и для любых наборов точек ξ
′
1
, . . . , ξ
′
n
, ξ
′′
1
, . . . , ξ
′′
n выполнялось неравенство
|σ
T
′
(f ) − σ
T
′′
(f )| < ε.
Эта теорема не что иное, как переформулировка обычного критерия Коши суще- ствования предела функции на случай предела интегральных сумм.
Удобными критериями проверки интегрируемости функции являются критерии,
в которых используются так называемые верхние и нижние суммы Дарбу.
Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a, b] и T = {x
0
, x
1
, . . . , x n
} — некоторое разбиение отрезка [a, b]. Определим числа M
i и m i
следующим образом:
M
i
=
sup x∈[x i−1
,x i
]
f (x),
m i
=
inf x∈[x i−1
,x i
]
f (x),
i = 1, . . . , n.
Определение 4.2.1. Назовем верхней суммой Дарбу выражение
S
T
(f ) = S
T
=
n
X
i=1
M
i
∆x i
,
а нижней суммой Дарбу — выражение s
T
(f ) = s
T
=
n
X
i=1
m i
∆x i
Тогда ясно, что S
T
>
s
T
для любого разбиения T . Нетрудно установить следую- щие свойства сумм Дарбу.
1. Для любой интегральной суммы σ
T
(f ) справедливы неравенства s
T
(f ) 6 σ
T
(f ) 6 S
T
(f ).
Более того s
T
(f ) =
inf
{ξ
1
,...,ξ
n
}
σ
T
(f ),
а S
T
(f ) =
sup
{ξ
1
,...,ξ
n
}
σ
T
(f ).
2. Если T
′
измельчение T
′′
(т.е. T
′
⊃ T
′′
), то S
T
′
(f ) 6 S
T
′′
(f ), а s
T
′
(f ) > s
T
′′
(f ).
3. Для любых разбиений T
′
и T
′′
верно неравенство s
T
′
(f ) 6 S
T
′′
(f ).
– 123 –

Определение 4.2.2. Определим: верхний интеграл (Дарбу) —
I(f ) = inf
{T }
S
T
,
нижний интеграл (Дарбу) —
I(f ) = sup
{T }
s
T
Тогда очевидно, что данные выражения конечны, а из свойства 3 получаем, что
I(f ) > I(f ).
Теорема 4.2.2 (критерий Дарбу). Для того, чтобы ограниченная функция f была интегрируема на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы I = I, при этом
I = I =
b
Z
a f (x) dx.
Теорема 4.2.3 (критерий Римана). Для того, чтобы ограниченная функция f(x)
была интегрируема на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы для любого
ε > 0 нашлось такое δ > 0, что для всех разбиений T с диаметром |T | < δ выпол- нялось условие
S
T
(f ) − s
T
(f ) < ε.
Доказательство получается из свойств 1–3 сумм Дарбу и определения интеграла.
2
Обозначим ω
i
(f ) = M
i
− m i
— разность между наибольшим и наименьшим значе- ние функции на отрезке [x i−1
, x i
]. Часто эту величину называют колебанием функции f на отрезке [x i−1
, x i
].
Из теоремы 4.2.3 и определения сумм Дарбу очевидным образом получаем
Следствие 4.2.1. Для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегри- руема на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое такое δ > 0, что для всех разбиений T с диаметром |T | < δ выполнялось условие n
X
i=1
ω
i
(f )∆x i
< ε.
4.3. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций
4.3.1. Интегрируемость непрерывных функций. Как следствие из теоре- мы 4.2.1 (или следствия 4.2.1) мы получаем утверждение.
Теорема 4.3.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она инте- грируема на этом отрезке.
Доказательство. Непрерывная на отрезке функция ограничена и по теореме
Кантора — равномерно непрерывна (теорема 1.14.5). Это означает, что для любо- го ε > 0 найдется δ > 0, что для любых точек x
′
, x
′′
из [a, b] с условием |x
′
− x
′′
| < δ
выполняется неравенство |f(x
′
) − f(x
′′
)| < ε.
Фиксируем ε > 0 и берем разбиение T с диаметром |T | < δ. Тогда для колебания
ω
i
(f ) справедливы неравенства
ω
i
(f ) = M
i
− m i
= sup
[x i−1
,x i
]
f − inf
[x i−1
,x i
]
f =
sup x
′
,x
′′
∈[x i−1
,x i
]
|f(x
′
) − f(x
′′
)| 6 ε.
– 124 –

Поэтому n
X
i=1
ω
i
(f )∆x i
6
ε
n
X
i=1
∆x i
= ε · (b − a).
2 4.3.2. Интегрируемость монотонных функций. Монотонные функции так- же интегрируемы.
Теорема 4.3.2. Если функция f(x) монотонна на отрезке [a, b], то она инте- грируема на этом отрезке.
Доказательство. Предположим, что f является возрастающей на [a, b]. Тогда для данного разбиения T = {x
0
, x
1
, . . . , x n
} имеем ω
i
(f ) = f (x i
) − f(x i−1
). Поэтому n
X
i=1
ω
i
(f )∆x i
=
n
X
i=1
(f (x i
) − f(x i−1
))∆x i
6
|T |
n
X
i=1
(f (x i
) − f(x i−1
)) = |T |(f(b) − f(a)).
Так, что зафиксировав ε > 0, можно в качестве δ взять число
ε
f (b) − f(a)
. (Если f (b) = f (a), то f (x) ≡ 0 и интегрируемость такой функции очевидна.)
2
Для дальнейшего изучения нам хватит этих двух классов интегрируемых функ- ций.
Упражнение 4.3.1. Показать, что ограниченные функции f с конечным числом точек разрыва интегрируемы на отрезке [a, b].
4.4. Свойства определенного интеграла. Первая теорема о среднем
Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств определенного интеграла:
1.
b
Z
a dx = b − a.
Это свойство прямое следствие определения интеграла.
2. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то она интегрируема на любом отрезке [c, d], таком, что [c, d] ⊂ [a, b].
Данное свойство несложно вытекает из следствия 4.2.1.
3. (Аддитивность интеграла). Пусть a < c < b. Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то она интегрируема на отрезке [a, b], причем b
Z
a f (x) dx =
c
Z
a f (x) dx +
b
Z
c f (x) dx.
4. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то их сумма f + g также интегрируема на [a, b], причем b
Z
a
(f (x) + g(x))dx =
b
Z
a f (x) dx +
b
Z
a g(x) dx.
5. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то функция c f(x) также инте- грируема на [a, b] для любой постоянной c и b
Z
a
(cf (x))dx = c b
Z
a f (x) dx.
– 125 –

Доказательство свойств 3, 4, 5 прямо следует из определения интеграла и свойств предела.
6. Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [a, d], тогда их произведение f (x)g(x) также интегрируемо на [a, b].
7. Если функция f интегрируема на [a, b] и inf x∈[a,b]
f (x) > 0, то
1
f (x)
также инте- грируема на [a, b].
Свойства 6 и 7 вытекают из связи между колебаниями произведения и частного функций и колебаниями самих функций.
8. Если функция f интегрируема на [a, b], a < b, и неотрицательна на [a, b], то b
Z
a f (x) dx > 0.
9. (Монотонность интеграла). Если функции f и g интегрируемы на [a, b], a < b,
и f(x) 6 g(x) для всех x ∈ [a, b], то b
Z
a f (x) dx 6
b
Z
a g(x) dx.
Свойства 8 и 9 прямо следуют из определения интеграла.
10. Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на отрезке [a, b], a < b, и существует точка c ∈ [a.b], в которой функция непрерывна и положительна, тогда b
Z
a f (x) dx > 0.
11. Если функция f интегрируема на [a, b], a < b, то функция |f| также интегри- руема на [a, b] и b
Z
a f (x) dx
6
b
Z
a
|f(x)| dx.
12. Если функция f интегрируема на отрезке [−a, a], a > 0, и четная на этом отрезке, то a
Z
−a f (x) dx = 2
a
Z
0
f (x) dx,
если при тех же условиях функция f — нечетная на [−a, a], то a
Z
−a f (x) dx = 0.
13. Если функция f интегрируема на отрезке [0, T ], T > 0, и является перио- дической на вещественной оси R с периодом T , то для любого a ∈ R функция f интегрируема на [a, a + T ] и a+T
Z
a f (x) dx =
T
Z
0
f (x) dx.
– 126 –

Теорема 4.4.1 (первая теорема о среднем). Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], существуют такие константы m и M , что m 6 f (x) 6 M,
x ∈ [a, b],
функция g — неотрицательна на [a, b]. Тогда существует такое число µ, что m 6
µ 6 M и b
Z
a f (x)g(x) dx = µ
b
Z
a g(x) dx.
Если, кроме того, функция f непрерывна на [a, b], то найдется такая точка c ∈
(a, b), для которой b
Z
a f (x)g(x) dx = f (c)
b
Z
a g(x) dx.
Теорема 4.4.1 верна и для функций g, неположительных на [a, b].
Доказательство. Так как функции f и g — интегрируемы, то по свойству 6 их произведение также интегрируемо на [a, b].
Из условий теоремы получаем, что mg(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x).
Из свойств 5, 9 имеем m
b
Z
a g(x) dx 6
b
Z
a f (x)g(x) dx 6 M
b
Z
a g(x) dx.
Если b
Z
a g(x) = 0, то из последнего неравенства очевидно выполняется неравенство b
Z
a f (x)g(x) = 0. Поэтому заключение теоремы верно для любого числа µ.
Если b
Z
a g(x) > 0, то разделив на этот интеграл полученное неравенство имеем m 6
b
R
a f (x)g(x) dx b
R
a g(x) dx
6
M.
Так что в качестве µ можно выбрать отношение b
R
a f (x)g(x) dx b
R
a g(x) dx
– 127 –

Последняя часть теоремы следует из теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении для непрерывных на отрезке функций (теорема 1.14.2) и из условия, что m 6 f (x) 6 M.
2
Следствие 4.4.1. Если функция f интегрируема на [a, b] и для некоторых кон- стант m и M справедливо неравенство m 6 f (x) 6 M,
x ∈ [a, b],
то найдется число µ, такое, что m 6 µ 6 M и b
Z
a f (x) dx = µ(b − a),
если, кроме того, функция f — непрерывна на [a, b], то найдется точка c ∈ (a, b),
такая, что b
Z
a f (x) dx = f (c)(b − a).
4.5. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула
Ньютона-Лейбница
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], тогда, как мы видели, она интегрируема на любом меньшем отрезке из [a, b]. Следовательно, мы можем рас- смотреть интеграл
F (x) =
x
Z
a f (t) dt,
x ∈ [a, b].
(4.5.1)
Определение 4.5.1. Интеграл (4.5.1) называют интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 4.5.1. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то интеграл
(4.5.1) с переменным верхним пределом является непрерывной функцией на [a, b].
Доказательство. Действительно, свойство 3 аддитивности интеграла влечет, что
F (x
1
) − F (x
2
) =
x
1
Z
x
2
f (t) dt.
Поэтому из свойства 11 и ограниченности интегрируемой функции получаем
|F (x
1
) − F (x
2
)| =
x
1
Z
x
2
f (t) dt
6
x
1
Z
x
2
|f(t)| dt
6
c x
1
Z
x
2
dt
= c|x
1
− x
2
|.
Откуда следует непрерывность F (x).
2
Теорема 4.5.2. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] и непрерывна в точке x
0
∈ [a, b], то интеграл (4.5.1) является дифференцируемой функцией в точке x
0
и
F
′
(x
0
) = f (x
0
).
– 128 –

Доказательство. Взяв ∆x — некоторое приращение аргумента так, чтобы (x
0
+
∆x) ∈ [a, b], получим из свойств интеграла, что
F (x
0
+ ∆x) − F (x
0
)
∆x
=
1
∆x x
0
+∆x
Z
x
0
f (t) dt.
Тогда
F (x
0
+ ∆x) − F (x
0
)
∆x
− f(x
0
) =
1
∆x
·
x
0
+∆x
Z
x
0
f (t) dt −
f (x
0
)
∆x
·
x
0
+∆x
Z
x
0
dt =
=
1
∆x
·
x
0
+∆x
Z
x
0
(f (t) − f(x
0
)) dt
В силу непрерывности функции f в точке x
0
для любого ε > 0 найдется такое ∆ > 0,
что при |t − x
0
| < δ следует, что |f(t) − f(x
0
)| < ε.
Выбирая теперь |∆x| < δ, получим
F (x
0
+ ∆x) − F (x
0
)
∆x
− f(x
0
)
6 1
|∆x|
·
x
0
+∆x
Z
x
0
|f(t) − f(x
0
)| dt
6
ε
1
|∆x|
· |∆x| = ε.
Поэтому при ∆x → 0 предел отношения
F (x
0
+ ∆x) − F (x
0
)
∆x существует и равен f (x
0
), т.е. F
′
(x
0
) = f (x
0
).
2
В частности, справедливо утверждение
Теорема 4.5.3. Если функция f непрерывна на отрезке, то на этом отрезке у нее есть первообразная, равная x
Z
a f (t) dt.
Рассмотрим теперь основную формулу интегрального исчисления — формулу
Ньютона-Лейбница.
Теорема 4.5.4 (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Если функция Φ является произвольной первообразной для f на этом отрезке, то b
Z
a f (x) dx = Φ(b) − Φ(a) = Φ|
b a
Доказательство. Рассмотрим разность Φ(x) − F (x), тогда
(Φ(x) − F (x))
′
= Φ
′
(x) − F
′
(x) = f (x) − f(x) = 0.
По свойству первообразных эта разность есть постоянная величина на [a, b], т.е.
Φ(x) − F (x) = c. Следовательно, Φ(a) − F (a) = Φ(a) − 0 = c, т.е. c = Φ(a).
– 129 –

С другой стороны F (b) =
b
Z
a f (t) dt. Поэтому b
Z
a f (t) dt = F (b) = Φ(b) − c = Φ(b) − Φ(a).
2
Пример 4.5.1. Найти интеграл
1
Z
0
sin x dx.
Решение. Поскольку
Z
sin x dx = − cos x + C,
то по формуле Ньютона–Лейбница получаем
1
Z
0
sin x dx = − cos x|
1 0
= − cos 1 + 1.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 4.5.2. Найти интеграл
2
Z
0
x
2
dx.
Решение. Имеем
2
Z
0
x
2
dx =
x
3 3
2 0
=
8 3
4.6. Основные методы интегрирования
Рассмотрим два правила (метода) интегрирования в определенном интеграле: за- мену переменной и интегрирование по частям.
4.6.1. Замена переменной.
Теорема 4.6.1 (замена переменной). Пусть функция f(x) непрерывна на отрез- ке [a, b]. Функция ϕ(t) определена и непрерывна вместе со своей производной ϕ
′
(t)
на отрезке [α, β], причем для всех t ∈ [α, β] выполняется неравенство a 6 ϕ(t) 6 b и ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда b
Z
a f (x) dx =
β
Z
α
f (ϕ(t)) ϕ
′
(t) dt.
(4.6.1)
При доказательстве теоремы используются формула замены переменной для неопределенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.
Пример 4.6.1. Вычислить интеграл
2
Z
0
e x
2
x dx.
– 130 –

Решение. Применим формулу (4.6.1), вводя новую переменную u = x
2
, получим
2
Z
0
e x
2
x dx =
1 2
2
Z
0
e x
2
d(x
2
) =
1 2
4
Z
0
e u
du =
e
4
− 1 2
Формула замены переменной (4.6.1) может быть обобщена на случай, когда подынтегральная функция лишь интегрируема.
4.6.2. Интегрирование по частям.
Теорема 4.6.2 (интегрирование по частям). Если функции u(x) и v(x) непрерыв- но дифференцируемы на отрезке [a, b], то b
Z
a u dv = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
b
Z
a v du.
(4.6.2)
Теорема 4.6.2 также получается из формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.
Пример 4.6.2. Найти значение интеграла
2
Z
1
ln x dx.
Решение. Применяя формулу (4.6.2), получим
2
Z
1
ln x dx = x ln x |
2 1
−
2
Z
1
dx = 2 ln 2 − 1.
Пример 4.6.3. Вычислить интеграл
I
n
=
π
2
Z
0
sin n
x dx.
Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, мы получаем рекур- рентное соотношение
I
n
=
n − 1
n
I
n−2
Замечая, что
I
0
=
π
2
Z
0
dx =
π
2
,
I
1
=
π
2
Z
0
sin x dx = 1,
имеем ответ:
I
n
=





(n − 1)!!
n!!
π
2
при n четном,
(n − 1)!!
n!!
при n нечетном.
(4.6.3)
– 131 –

Из формулы (4.6.3) легко получается формула Валлиса:
π
2
= lim n→∞
1 2n + 1

(2n)!!
(2n − 1)!!

2
Следствием формулы (4.6.2) служит также следующее утверждение.
Теорема 4.6.3 (вторая теорема о среднем). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], а функция g монотонна и непрерывна на [a, b]. Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что b
Z
a g(x)f (x) dx = g(a)
ξ
Z
a f (x) dx + g(b)
Z
b
ξ
f (x) dx.
Данную теорему также называют теоремой Бонне. Ее можно обобщить на случай интегрируемых функций f и g.
4.7. Несобственный интеграл и его свойства. Признаки сходимости
4.7.1. Определение несобственного интеграла. Функция, не ограниченная на отрезке, не интегрируема на нем по Риману. Если же промежуток интегрирова- ния бесконечен, то интеграл Римана по нему не определен. Тем не менее во многих задачах математики и физики возникает необходимость либо интегрировать неогра- ниченные функции, либо рассматривать интеграл по неограниченному промежутку.
Здесь мы дадим определение таких интегралов.
Пусть функция y = f(x) задана на конечном или бесконечном промежутке [a, ω)
(ω — либо конечное число, либо +∞). И пусть функция f интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, η], a 6 η < ω.
Определение 4.7.1. Если существует (конечный) предел lim
η→ω
η
Z
a f (x) dx,
то функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) на промежут- ке [a, ω), а указанный предел называется несобственным интегралом от функции f по промежутку [a, ω) и обозначается
ω
Z
a f (x) dx.
В этом случае также говорят, что несобственный интеграл сходится (в против- ном случае он называется расходящимся).
Понятие сходимости не меняется, если мы заменим точку a на любую точку c,
a < c < ω.
При ω = ±∞ (т.е. в случае неограниченного промежутка) несобственный инте- грал часто называют несобственным интегралом первого рода.
При ω конечном (т.е. в случае ограниченного промежутка и неограниченной функции) данный интеграл называют несобственным интегралом второго рода.
Эти два типа интегралов мы изучаем одновременно, что позволяет унифициро- вать их изложение.
– 132 –

Приведем критерий сходимости несобственного интеграла, который является пе- реформулировкой общего критерия Коши существования предела функции.
Теорема 4.7.1 (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла
ω
Z
a f (x) dx необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое число η =
η(ε), a < η < ω, что для любых чисел η
′
, η
′′
, таких, что η < η
′
, η
′′
< ω, выполнялось неравенство
η
′′
Z
η
′
f (x) dx
< ε.
Отметим, что определение несобственного интеграла по ограниченному проме- жутку содержательно лишь в случае, когда функция f не ограничена в любой окрест- ности точки ω. Это связано с тем, что функция f, интегрируемая на любом отрезке
[a, η], a < η < ω, и ограниченная на промежутке [a, ω), интегрируема по Риману на отрезке [a, ω].
Таким образом, можно считать, что функция f не ограничена на [a, ω).
Нами дано определение несобственного интеграла, если на [a, ω) есть лишь одна особая точка, в окрестности которой функция f не ограничена. Если таких особых точек несколько, например a
1
< a
2
< . . . < a n
< ω, то делается следующее: от- резки [a i
, a i+1
] делятся точками b i
на две части и несобственный интеграл по [a, ω)
определяется так:
ω
Z
a f (x) dx =
a
1
Z
a f (x) dx +
b
1
Z
a
1
f (x) dx + · · · +
ω
Z
b n
f (x) dx.
Причем если хотя бы один из интегралов в этой формуле расходится, то и весь интеграл
ω
Z
a f (x) dx считается расходящимся.
Величина данного интеграла (а также сходимость и расходимость) не зависят от способа выбора точек b i
Пример 4.7.1. Выяснить, при каких p сходится и расходится интеграл
1
Z
0
dx x
p
Решение. Пусть сначала p 6= 1, тогда
1
Z
0
dx x
p
= lim
η→+0 1
Z
η
dx x
p
=
= lim
η→+0
x
1−p
1 − p
1
η
=
(
1 1−p при p < 1,
+∞ при p > 1.
– 133 –

При p = 1 этот интеграл также расходящийся. Таким образом, интеграл
1
Z
0
dx x
p сходится при p < 1 и расходится при p > 1.
Пример 4.7.2. Рассмотреть тот же самый вопрос для интеграла
+∞
Z
1
dx x
p
Решение. Аналогично предыдущему примеру нетрудно показать, что данный ин- теграл сходится при p > 1 и расходится при p 6 1.
Формулы интегрального исчисления сохраняют свой вид для несобственного ин- теграла (например, формула Ньютона-Лейбница), нужно только иметь в виду, что при подстановке верхних или нижних пределов интегрирования следует находить соответствующий предел этих функций.
Пример 4.7.3. Вычислить интеграл Эйлера
J =
π
2
Z
0
ln sin x dx.
Решение. Сделав замену переменных x = 2t, получим
J = 2
π
4
Z
0
ln sin 2t dt = 2
π
4
Z
0
ln(2 sin t cos t)dt =
=
π
2
ln 2 + 2
π
4
Z
0
ln sin t dt +
π
4
Z
0
ln cos t dt.
Произведя в последнем интеграле замену переменных t =
π
2
− y, имеем
J =
π
2
ln 2 + 2
π
4
Z
0
ln sin t dt + 2
π
2
Z
π
4
ln sin y dy =
π
2
ln 2 + 2J.
Отсюда находим, что
J = −
π
2
ln 2.
Пример 4.7.4. Вычислить интеграл
J
n
=
+∞
Z
0
x n
e
−x dx,
n = 0, 1, 2 . . . .
Решение. Проинтегрируем по частям заданный интеграл при n > 0, тогда полу- чим
J
n
= −x n
e
−x
+∞
0
+
+∞
Z
0
x n−1
e
−x dx = nJ
n−1
– 134 –

Так как
J
0
=
+∞
Z
0
e
−x dx = −e
−x
+∞
0
= 1,
то J
n
= n!.
4.7.2. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрица- тельных функций. Везде далее в этом параграфе будем предполагать, что вы- полнены следующие условия: функция y = f(x) определена на конечном или беско- нечном промежутке [a, ω) и интегрируема на любом отрезке [a, η] для всех η, удовле- творяющем неравенствам a 6 η < ω.
Часто бывают полезны признаки сходимости несобственных интегралов. Рассмот- рим сначала интегралы от неотрицательных функций.
Лемма 4.7.1. Если функция y = f(x) неотрицательна на промежутке [a, ω),
то для сходимости несобственного интеграла
ω
Z
a f (x) dx необходимо и достаточно, чтобы все интегралы
η
Z
a f (x) dx,
a 6 η < ω,
(4.7.1)
были ограничены одной константой M .
Доказательство леммы 4.7.1 следует из теоремы 1.11.2 Вейерштрасса о пределе монотонной функции, поскольку интегралы в формуле (4.7.1) являются монотонно возрастающими по η функциями.
Теорема 4.7.2 (признак сравнения). Пусть функции f и g неотрицательны на промежутке [a, ω) и выполнено неравенство f (x) 6 g(x),
x ∈ [a, ω).
(4.7.2)
Если интеграл
ω
Z
a g(x) dx
(4.7.3)
сходится, то сходится и интеграл
ω
Z
a f (x) dx,
(4.7.4)
если же интеграл (4.7.4) расходится, то расходится и интеграл (4.7.3).
Доказательство. Если интеграл (4.7.3) сходится, то по лемме 4.7.1 интегралы
η
Z
a g(x) dx,
η ∈ [a, ω),
– 135 –

ограничены в совокупности некоторой константой M. Тогда в силу неравенства
(4.7.2) интегралы
η
Z
a f (x) dx так же равномерно ограничены той же константой M.
Снова по лемме 4.7.1 интеграл (4.7.4) сходится.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
2
Следствие 4.7.1 (признак сравнения в предельной форме). Пусть функции f и g положительны на промежутке [a, ω). Если существует предел lim x→ω
f (x)
g(x)
= k,
причем k 6= 0 и конечно, то интегралы (4.7.3) и (4.7.4) либо одновременно сходятся,
либо одновременно расходятся.
В качестве функций сравнения g(x) часто берут степенные функции. Именно в случае конечных промежутков [a, ω) берутся функции g(x) =
1
(ω − x)
p
,
интегралы от которых сходятся при p < 1 и расходятся при p > 1.
В случае бесконечных промежутков (ω = ±∞) берут функцию g вида g(x) =
1
|x|
p
,
так как известно (см. пример 4.7.2), что интеграл от этой функции сходится при p > 1 и расходится при p 6 1.
Пример 4.7.5. Показать, что интеграл
1
Z
0
x
2 3
√
1 − x
2
dx сходится.
Решение. В самом деле, обозначая подынтегральную функцию через f (x) и вводя функцию сравнения g(x) =
1 3
√
1 − x
,
имеем lim x→1−0
f (x)
g(x)
= lim x→1−0
x
2 3
√
1 + x
=
1 3
√
2
Так как показатель степени у функции g(x) равен 1/3 < 1, то по следствию 4.7.1
данный интеграл сходится.
4.7.3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. Рас- смотрим теперь интегралы от функций f, которые могут менять знак на промежутке
[a, ω).
– 136 –

Определение 4.7.2. Интеграл вида
ω
Z
a f (x) dx
(4.7.5)
называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интеграл
ω
Z
a
|f(x)| dx.
Непосредственно из критерия Коши сходимости несобственного интеграла (тео- рема 4.7.1) следует
Теорема 4.7.3. Если интеграл вида (4.7.5) сходится абсолютно, то он сходит- ся.
Важно отметить, что существуют так называемые условно сходящиеся интегра- лы, т.е. сходящиеся интегралы от таких функций, что интеграл от модуля этих функ- ций расходится.
Рассмотрим один из условно сходящихся интегралов.
Пример 4.7.6. Показать, что интеграл
+∞
Z
0
sin x x
dx
(4.7.6)
сходится.
Решение. При x → 0 подынтегральная функция стремится к 1 (первый замеча- тельный предел), поэтому данный интеграл несобственный лишь за счет неограни- ченности промежутка интегрирования. Тогда на сходимость достаточно исследовать интеграл
+∞
Z
1
sin x x
dx.
Выполним в данном интеграле интегрирование по частям:
+∞
Z
1
sin x x
dx = −
+∞
Z
1 1
x d(cos x) =
= −
cos x x
+∞
1
+
+∞
Z
1
cos x d

1
x

= cos 1 −
+∞
Z
1
cos x x
2
dx.
Интеграл в правой части абсолютно сходится (значит, просто сходится), так как подынтегральная функция допускает оценку cos x x
2 6
1
x
2
на промежутке интегрирования.
Итак, интеграл (4.7.6) сходится. Покажем, что интеграл от модуля подынтеграль- ной функции расходится. Действительно, справедливо неравенство
| sin x| > sin
2
x =
1 − cos 2x
2
– 137 –

Тогда для любого η > 1 имеем
η
Z
1
| sin x|
x dx >
1 2
η
Z
1 1
x dx −
1 2
η
Z
1
cos 2x x
dx.
Интеграл
+∞
Z
1
dx x
расходится (он равен +∞). Интеграл же
+∞
Z
1
cos 2x x
dx сходится. Этот факт доказывается точно так же, как сходимость интеграла (4.7.6).
Таким образом, получаем, что интеграл (4.7.6) не является абсолютно сходящимся.
Приведем признак сходимости для условно сходящихся интегралов.
Теорема 4.7.4 (признак Абеля). Рассмотрим интеграл вида
ω
Z
a f (x)g(x) dx.
(4.7.7)
Если выполнены условия:
1) интеграл
ω
Z
a f (x) dx сходится;
2) функция g(x) монотонна;
3) функция g(x) ограничена на [a, ω),
то интеграл (4.7.7)сходится.
Теорема 4.7.5 (признак Дирихле). Если для интеграла (4.7.7) выполнены усло- вия
1) функция f (x) имеет ограниченную первообразную на промежутке [a, ω);
2) функция g(x) монотонна на [a, ω)
3) и lim x→ω
g(x) = 0,
то интеграл (4.7.7)сходится.
Доказательство этих теорем следует из критерия Коши сходимости несобствен- ного интеграла и второй теоремы о среднем (теорема 4.6.3).
Пример 4.7.6 удовлетворяет условиям признака Дирихле.
– 138 –

4.8. Спрямляемые и гладкие кривые. Длина кривой
4.8.1. Определение кривой. Рассмотрим отображения отрезков в трехмерное пространство R
3
. Пусть [a, b] — некоторый отрезок, а r(t) — его отображение в R
3
Обозначим координаты отображения r(t) через x(t), y(t), z(t), т.е.
r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
t ∈ [a, b].
Будем считать отображение r(t) непрерывным, если непрерывны все функции x, y, z.
Определение 4.8.1. Непрерывное отображение r(t) отрезка [a, b] в R
3
назовем путем, а его образ — носителем этого пути.
Рассматриваемое отображение не предполагается взаимно однозначным. Точки носителя пути, в которые отображаются разные точки отрезка [a, b], называются точками самопересечения или кратными точками этого пути.
Сама переменная t называется параметром.
При определении понятия кривой будем исходить из физического представления о траектории точки, движущейся в пространстве. На такой траектории можно вы- бирать различные параметры, точно описывающие положение на ней движущейся точки. Различным параметрам соответствуют разные отображения отрезков на тра- екторию, каждое из которых дает полное ее описание.
В силу этого соображения естественно определить кривую как класс в каком-то смысле равноправных непрерывных отображений отрезков в пространство.
Определение 4.8.2. Путь r(t), t ∈ [a, b], называется эквивалентным пути

ρ(τ ), τ ∈ [α, β], если существует такая непрерывная строго монотонная функ- ция ϕ, отображающая отрезок [a, b] на отрезок [α, β], что для каждого t ∈ [a, b]
справедливо равенство

ρ(ϕ(t)) = r(t).
(4.8.1)
Если путь r(t) эквивалентен пути ρ(τ ), то
r(t) ∼ ρ(τ).
Нетрудно проверить, что это отношение есть отношение эквивалентности. Таким образом, множество всех путей разбивается на непересекающиеся классы.
Определение 4.8.3. Всякий класс γ эквивалентных путей называется кривой или (более подробно) непрерывной параметрически заданной кривой.
Каждое из отображений, задающее путь из класса γ, называется параметриза- цией этой кривой.
Такие же определения даются для плоских кривых, т.е. для кривых, лежащих на плоскости R
2
Пример 4.8.1. Показать, что отображение x = R cos t,
y = R sin t,
t ∈ [0, 2π],
задает одну из возможных параметризаций окружности радиуса R с центром в на- чале координат на плоскости (рис. 4.8.1).
Решение. Очевидно.
Пример 4.8.2. Показать, что верхнюю полуокружность можно также задать другой параметризацией:
x = t,
y =
√
R
2
− t
2
,
t ∈ [0, R].
Решение. Очевидно.
– 139 –

Носитель пути одинаков для любых параметризаций одной кривой, поэтому он называется носителем кривой.
Если r(t), t ∈ [a, b], — параметризация кривой γ, то точка r(a) называется на- чальной точкой кривой, а точка r(b) — конечной точкой кривой γ.
Кривая γ называется простой, если она не имеет точек самопересечения, т.е.
некоторая (а значит, и любая) параметризация этой кривой осуществляет взаимно однозначное отображение отрезка на носитель кривой.
Кривая γ называется замкнутой, если начальная и конечная точки этой кривой совпадают.
O
t
(x, y)
R
Рис 4.8.1. Параметризация окружности
Кривая γ называется простой замкнутой кривой, если она замкнута и не имеет других точек самопересечения, кроме начальной и конечной.
Два пути называются ориентированно эквивалентными, если функция ϕ из опре- деления 4.8.2 является строго возрастающей.
Определение 4.8.4. Совокупность всех ориентированно эквивалентных меж- ду собой путей называется ориентированной кривой.
Вместо выражения "задана ориентированная кривая" часто говорят, что "задана ориентация на кривой" или "задан порядок обхода этой кривой".
Кривые могут быть одинаково ориентированы или противоположно ориентирова- ны. Таким образом, у любой простой кривой возможны только две ориентации. Они задаются порядком прохождения параметра по отрезку, на котором этот параметр определен.
Часто плоские кривые задают неявным образом. А именно пусть γ — плоская кривая, задаваемая вектор-функцией
r(t) = (x(t), y(t)),
t ∈ [a, b].
– 140 –

Если существует такая непрерывная функция F (x, y), что координаты (x, y) кривой
γ удовлетворяют условию
F (x(t), y(t)) ≡ 0,
то говорят, что уравнение
F (x, y) = 0
(4.8.2)
является неявным представлением кривой γ.
Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, множество точек, удовлетво- ряющее уравнению вида (4.8.2), не есть кривая в определенном выше смысле даже для достаточно "хороших" функций F .
Если кривая γ задается непрерывно дифференцируемой вектор-функцией r(t), то такая кривая называется непрерывно дифференцируемой.
Конечно, когда речь идет о непрерывно дифференцируемых кривых, мы должны сузить класс допустимых преобразований ϕ из (4.8.1): считать их тоже непрерывно дифференцируемыми.
Пусть задана кривая γ своей параметризацией r(t) = (x(t), y(t), z(t)),
t ∈
[a, b], причем все функции x, y, z дифференцируемы в точке t
0
∈ [a, b] и r
′
(t
0
) =
(x
′
(t
0
), y
′
(t
0
), z
′
(t
0
)) 6= 0. Рассмотрим приращение ∆t, такое, что (t
0
+ ∆t) ∈ [a, b].
Прямая, проходящая через точки r(t
0
) и r(t
0
+ ∆t), называется секущей.
Вектор
∆r
∆t
=
r(t
0
+ ∆t) − r(t
0
)
∆t параллелен этой секущей. Таким образом, при
∆t → 0 и в силу дифференцируемости вектор-функции r(t) в точке t
0
получаем, что секущая стремится к некоторому предельному положению с направляющим векто- ром r
′
(t
0
).
Это предельное положение называется касательной к кривой γ в точке r(t
0
).
Итак, в векторной записи уравнение касательной имеет вид
r = r(t
0
) + r
′
(t
0
) t,
−∞ < t < +∞,
а в координатной записи x = x(t
0
) + x
′
(t
0
) t,
y = y(t
0
) + y
′
(t
0
) t,
z = z(t
0
) + z
′
(t
0
) t,
t ∈ (−∞, +∞).
Исключив переменную t, получим уравнение x − x
0
x
′
(t
0
)
=
y − y
0
y
′
(t
0
)
=
z − z
0
z
′
(t
0
)
,
(4.8.3)
где x
0
= x(t
0
), y
0
= y(t
0
), z
0
= z(t
0
).
Следовательно, если r
′
(t
0
) 6= 0, то у кривой есть касательная вида (4.8.3).
Определение 4.8.5. Точка r(t) кривой γ, в которой r
′
(t) 6= 0, называется неосо- бой, а точка, в которой r
′
(t) = 0, — особой.
Определение 4.8.6. Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой кривой. Кривая, представимая в виде объединения конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.
В примере 4.8.1 окружность — гладкая кривая.
Если плоская кривая задается явным образом непрерывно дифференцируемой функцией, то график этой функции есть гладкая кривая.
– 141 –

4.8.2. Длина кривой. Дадим определение длины кривой. Пусть γ — некоторая простая кривая с параметризацией
r = r(t), t ∈ [a, b].
(4.8.4)
Рассмотрим разбиение T отрезка [a, b] вида T = {t
0
= a < t
1
< . . . < t n
= b}.
Положим
σ
T
=
n
X
i=1
|r(t i
) − r(t i−1
)|.
Очевидно, что σ
T
— это длина ломаной с вершинами в точках r(a), r(t
1
), . . . , r(b).
Определение 4.8.7. Для заданной простой кривой γ вида (4.8.4) величина
S
γ
= S = sup
{T }
σ
T
,
где верхняя грань берется по всем разбиениям T отрезка [a, b], называется длиной кривой γ. Если S < +∞, то кривая называется спрямляемой, в противном случае
— неспрямляемой.
Нетрудно показать, что если кривая γ спрямляема, то любая часть этой кривой также спрямляема. Поэтому можно говорить о длине s(t) части кривой γ, когда параметр изменяется от 0 до t. При этом s(0) = 0, а s(b) = S.
Теорема 4.8.1. Пусть кривая вида (4.8.4) непрерывно дифференцируема. Тогда кривая γ спрямляема, и переменная длина дуги s(t) является возрастающей непре- рывно дифференцируемой функцией параметра t, t ∈ [a, b], при этом ds dt
=
dr dt
=
s
dx dt

2
+

dy dt

2
+

dz dt

2
,
где r(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Следствие 4.8.1. Если параметром непрерывно дифференцируемой кривой яв- ляется переменная длина дуги s, то dr dt
= 1.
Параметризация спрямляемой кривой, при которой параметром служит перемен- ная длина дуги, называется естественной параметризацией.

1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   43

Следствие 4.8.1 позволяет производить проверку: будет ли данная параметриза- ция естественной?
Из теоремы 4.8.1 и формулы Ньютона-Лейбница легко следует формула для на- хождения длины кривой.
Теорема 4.8.2. Если γ — непрерывно дифференцируемая кривая вида (4.8.4), то длина S этой кривой вычисляется по формуле
S =
b
Z
a d

L = 2π
b
Z
a y(x)
p
1 + (y
′
(x))
2
dx.
(4.11.2)
– 151 –

Пример 4.11.1. Найти площадь L сферы радиуса R.
Решение. Эта сфера может быть получена вращением полуокружности y =
√
R
2
− x
2
, x ∈ [−R, R], вокруг оси OX. Но гораздо удобнее пользоваться формулой не (4.11.2), а (4.11.1), задавая эту полуокружность параметрически:
x = R cos t,
y = R sin t,
t ∈ [0, π].
Имеем x
′
= −R sin t, y
′
= R cos t,
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
= R,
тогда по формуле (4.11.1) получим
L = 2π
π
Z
0
R
2
sin t dt = 4πR
2
Пример 4.11.2. Найти площадь L поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги цепной линии y = a ch x
a
,
x ∈ [−b, b].
Решение. По формуле (4.11.2) имеем
L = 2πa b
Z
−b ch x
a r
1 + sh
2
x a
dx =
= 2πa b
Z
−b ch
2
x a
dx = πa

2b + a sh
2b a

4.12. Некоторые приложения в механике
Пусть M — материальная точка массы m с координатами x и y. Произведения mx и my называются статическими моментами этой точки относительно осей,
соответственно, OY и OX.
Рассмотрим плоскую кривую γ, заданную параметрически,
r(t) = {x(t), y(t)}, t ∈ [a, b].
Так же, как в предыдущей лекции, будем считать, что γ — простая спрямляемая ориентированная кривая. Вдоль кривой γ распределена масса с плотностью ρ =
ρ(x, y), которая является неотрицательной непрерывной функцией. Если ρ ≡ const,
то кривая называется однородной кривой.
Определим статические моменты этой кривой относительно координатных осей.
Пусть T = {s
0
, s
1
, . . . , s n
} — разбиение отрезка [0, S] с диаметром λ, где S — длина всей кривой γ. Выберем на отрезках [s i−1
, s i
] по точке ξ
i и положим x(ξ
i
) = x i
, y(ξ
i
) =
y i
Выражения y i
ρ(x i
, y i
)∆s i
назовем элементарными статическими моментами части кривой γ относительно оси OX. Очевидно, что элементарный статический мо- мент численно равен статическому моменту материальной точки массы ρ(x i
, y i
)∆s i
с ординатой y i
. То есть мы как бы заменили эту часть кривой материальной точкой.
– 152 –

Определение 4.12.1. Предел вида lim
λ→0
n
X
i=1
y i
ρ(x i
, y i
)∆s i
называется статическим моментом M
x материальной кривой γ относительно оси
OX.
Из определения видно, что статический M
x момент равен
M
x
=
Z
S
0
y(s)ρ(x(s), y(s)) ds.
В этом определении фактически используется естественная параметризация кривой
γ. Если перейдем к произвольной параметризации кривой по теореме 4.8.2, то полу- чим
M
x
=
b
Z
a y(t)ρ(x(t), y(t))
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt.
Аналогично определяется статический момент M
y материальной кривой γ от- носительно оси OY :
M
y
=
S
Z
0
x(s)ρ(x(s), y(s)) ds =
b
Z
a x(t)ρ(x(t), y(t))
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt.
Определение 4.12.2. Точка плоскости P (x
0
, y
0
), обладающая тем свойством,
что если в нее поместить материальную точку массы, равной массе M кривой
γ, то эта точка относительно любой координатной оси имеет статический мо- мент, численно равный статическому моменту кривой относительно той же оси,
называется центром тяжести кривой γ.
Из данного определения получаем формулы x
0
=
b
R
a x(t)ρ(x(t), y(t))
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt b
R
a
ρ(x(t), y(t))
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt
,
y
0
=
b
R
a y(t)ρ(x(t), y(t))
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt b
R
a
ρ(x(t), y(t))
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt
Если кривая однородная, то формулы упрощаются:
x
0
=
1
S
b
Z
a x(t)
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt,
y
0
=
1
S
b
Z
a y(t)
p
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
dt.
(4.12.1)
В этом случае говорят о геометрическом центре тяжести кривой.
Сравнивая формулы (4.12.1) и формулу площади поверхности вращения из § 4.11,
получим следующее утверждение.
Теорема 4.12.1 (первая теорема Гульдина). Площадь поверхности, полученная вращением кривой γ около некоторой, не пересекающей ее, оси, равна длине кривой,
умноженной на длину окружности, описанной геометрическим центром тяжести этой кривой вокруг той же оси.
– 153 –

Пример 4.12.1. Рассмотрим окружность радиуса a с центром в точке (0, b), 0 <
a < b. Тогда ее геометрический центр тяжести есть точка (0, b). Будем вращать эту окружность вокруг оси OX. Получим поверхность, называемую тором. Найти площадь L поверхности тора по теореме Гульдина.
Решение. Эта площадь равна
L = 2πa · 2πb = 4π
2
ab.
Пример 4.12.2. Найти геометрический центр тяжести цепной линии y = a ch x
a
,
x ∈ [−b, b].
Решение. В силу симметрии цепной линии относительно оси OY имеем, что M
y
=
0. Тогда x
0
= 0.
По теореме Гульдина,
L = 2πy
0
· 2S,
где L — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси OX; S — длина половины цепной линии.
Площадь L была вычислена в § 4.11 (пример 4.11.2), она равна
L = πa

2b + a sh
2b a

Найдем ее длину:
2S =
b
Z
−b p
1 + (y
′
)
2
dx =
b
Z
−b r
1 + sh
2
x a
dx =
= 2
b
Z
0
ch x
a dx = 2a sh x
a b
0
= 2a sh b
a
Тогда по теореме Гульдина имеем y
0
=
2b + a sh
2b a
4 sh b
a
– 154 –

Глава 5
Числовые ряды
После изучения этой главы читатель должен уметь находить суммы числовых ря- дов, исследовать их на сходимость, используя признаки сходимости. Знать основные определения, формулы и признаки сходимости числовых рядов: необходимый при- знак сходимости, критерий Коши, признак сравнения, признаки Коши, Даламбера,
Лейбница, Абеля, Дирихле. Владеть методами исследования сходимости числовых рядов.
5.1. Числовые ряды. Сходимость ряда
Рассмотрим в качестве приложения теории последовательностей специальный вид последовательностей — ряд, который играет важную роль в математическом анализе.
Определение 5.1.1. Пусть {a n
} — последовательность вещественных чисел.
Тогда символ a
1
+ a
2
+ · · · + a n
+ · · · =
∞
X
n=1
a n
(5.1.1)
называется числовым рядом.
Определение 5.1.2. Числа a n
,
n = 1, 2, . . . называются членами ряда, эле- мент a n
называется n-м членом ряда.
Определение 5.1.3. Сумму
S
n
=
n
X
k=1
a k
(5.1.2)
называют частичной суммой ряда или n-й частичной суммой ряда.
Определение 5.1.4. Если последовательность {S
n
} частичных сумм сходит- ся, то ряд называется сходящимся. Если последовательность {S
n
} не имеет пре- дела, то ряд называется расходящимся.
Определение 5.1.5. Число S = lim n→∞
S
n
, если оно существует, называется сум- мой ряда. Будем писать
∞
X
n=1
a n
= S.
Пример 5.1.1. Рассмотрим ряд, являющийся суммой геометрической прогрессии a + aq
2
+ . . . + aq n
+ . . . ,
a 6= 0.
(5.1.3)
Исследовать его на сходимость.
Решение. Частичная сумма
S
n
= a + aq
2
+ . . . + aq n−1
= a ·
1 − q n
1 − q
,
q 6= 1.
155

Тогда lim n→∞
S
n
=





a
1−q
,
|q < 1,
∞,
|q| > 1,
не существует, q = −1.
При q = 1 частичная сумма S
n
= an → ∞ при n → ∞. Поэтому при q = 1 ряд также расходится.
Таким образом, ряд (5.1.1) сходится при |q| < 1 к сумме S =
a
1 − q и расходится при |q| > 1.
Особо отметим случай q = −1, a = 1. Ряд
1 − 1 + 1 − 1 + . . . + (−1)
n−1
+ . . .
является расходящимся.
Сейчас получим числовой ряд, сумма которого равна e (этот ряд удобно исполь- зовать для приближенного вычисления числа e).
Рассмотрим последовательность {α
n
} из примера 1.8.8 (§1.8):
α
n
=

1 +
1
n

n
→ e при n → ∞.
При решении этого примера было установлено, что
α
n
< S
n
= 1 + 1 +
1 2!
+ · · · +
1
n!
Докажем теперь, что S
n
6
e.
Действительно, при любом фиксированном k и k 6 n выполняется неравенство
1 + 1 +
1 2!

1 −
1
n

+ · · · +
1
k!

1 −
1
n

· · · · ·

1 −
k − 1
n

< α
n
(5.1.4)
(см. разложение α
n в § 1.8).
При n → ∞ левая часть неравенства (5.1.4) стремится к S
k
, а правая — к e,
поэтому
S
k
6
e.
Теперь из соотношения
α
n
< S
n
6
e при n → ∞ получаем, что lim S
n
= e, но S
n
— это частичная сумма ряда
1 +
1 1!
+
1 2!
+ · · · +
1
n!
+ . . .
(5.1.5)
Следовательно, число e есть сумма ряда (5.1.5).
5.1.1. Критерий Коши. Учитывая, что сходимость ряда (5.1.1) равносильна сходимости последовательности его частичных сумм (5.1.2), легко получить крите- рий Коши сходимости ряда. Для этого нужно переформулировать критерий Коши
(теорема 1.8.1) сходимости последовательности {S
n
}.
Теорема 5.1.1 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд (5.1.1) сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое число N ∈ N, что из m > N, n > N следует
|S
m
− S
n
| < ε.
(5.1.6)
– 156 –

Замечание 5.1.1. Если взять m > n и положить m = n + p, то неравенство
(5.1.6) можно переписать в виде
|a n+1
+ a n+2
+ · · · + a n+p
| < ε.
Таким образом критерий Коши можно сформулировать так
Теорема 5.1.2 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд (5.1.1) сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое число N ∈ N, что из n > N
и для любого p ∈ N следует
|a n+1
+ a n+2
+ · · · + a n+p
| < ε.
(5.1.7)
Следствие 5.1.1. Если у ряда изменить только конечное число членов, то по- лученный при этом новый ряд будет сходиться, если сходится исходный ряд, и будет расходиться, если исходный ряд расходится.
Доказательство. Для исследования сходимости нового ряда следует использо- вать критерий Коши, считая, что число N (в этом критерии) больше, чем макси- мальный из номеров измененных членов ряда. Тогда условие (5.1.6) будет записано совершенно идентично для исходного и нового ряда.
2 5.1.2. Необходимый признак сходимости ряда.
Следствие 5.1.2. Если ряд a
1
+ · · · + a n
+ . . . сходится, то n-й член ряда стре- мится к нулю при n → ∞, т.е. lim n→∞
a n
= 0.
Доказательство. Достаточно положить в критерии m = n + 1. Тогда условие
(5.1.6) перепишется в виде
|S
n+1
− S
n
| = |a n+1
| < ε.
Это неравенство (из определения предела последовательности) дает, что lim n→∞
a n+1
= 0 или lim n→∞
a n
= 0. 2
Существуют ряды, у которых a n
→ 0 при n → ∞, но эти ряды расходятся.
Пример 5.1.2. Исследовать сходимость ряда
1 +
1 2
+
1 3
+ · · · +
1
n
+ . . . ,
который будет часто встречаться в дальнейшем в курсе математического анализа.
Этот ряд называется гармоническим. Название связано с тем, что члены ряда удовлетворяют условию
1
a n
=
1 2

1
a n−1
+
1
a n+1

А в этом случае говорят, что a n
есть среднее гармоническое между a n−1
и a n+1
Решение. Сходимость последовательности частичных сумм этого ряда
S
n
= 1 +
1 2
+ · · · +
1
n уже исследована в примере 1.8.4, там получено, что {S
n
} расходится. Следовательно,
гармонический ряд расходится (но a n
→ 0 при n → ∞).
– 157 –

5.2. Абсолютная сходимость ряда
5.2.1. Сходимость абсолютно сходящегося ряда.
Определение 5.2.1. Ряд
∞
P
n=1
a n
называется абсолютно (безусловно) сходящим- ся, если сходится ряд
∞
P
n=1
|a n
|.
Теорема 5.2.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Доказательство. Справедливо неравенство
|a n+1
+ · · · + a n+p
| 6 |a n+1
| + · · · + |a n+p
|,
из которого (с использованием критерия Коши (см. условие (5.1.7))) в предыдущем параграфе) и следует утверждение теоремы.
2
Заметим, что из сходимости ряда в общем случае не следует абсолютная схо- димость, т.е. абсолютная сходимость есть для ряда требование более сильное, чем просто сходимость. Это можно продемонстрировать на примере.
Пример 5.2.1. Исследовать на сходимость ряд
1 − 1 +
1 2
−
1 2
+
1 3
−
1 3
+ . . . .
Решение. Частичные суммы ряда равны
S
n
=



2
n + 1
,
если n — нечетное,
0,
если n — четное.
Ясно, что lim n→∞
S
n
= 0 и ряд сходится.
Ряд же, составленный из абсолютных величин его членов
1 + 1 +
1 2
+
1 2
+
1 3
+ . . . ,
расходится. Доказательство этого факта осуществляется так же, как и для гармони- ческого ряда.
Теорема 5.2.2 (сходимость рядов с неотрицательными членами). Ряд a
1
+ a
2
+
· · · + a n
+ . . . , члены которого — неотрицательные числа, сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.
Доказательство. Ясно, что S
n
6
S
n+1
, так как a n+1
>
0, т.е. последовательность
{S
n
} частичных сумм возрастающая. Если эта последовательность ограничена свер- ху (S
n
6
S), но предел S
n существует по признаку сходимости Вейерштрасса для монотонной последовательности (теорема 1.8.2) и ряд сходится.
Если же ряд сходится и его сумма равна S, то, очевидно, S
n
6
S и теорема полностью доказана.
2 5.2.2. Признаки сравнения. Из предыдущего критерия вытекает следующая очень простая, но чрезвычайно полезная теорема.
Теорема 5.2.3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами a
1
+ a
2
+ · · · + a n
+ . . . ,
(5.2.1)
– 158 –

b
1
+ b
2
+ · · · + b n
+ . . . .
(5.2.2)
Если существует номер N ∈ N, такой что при любом n > N имеет место нера- венство a n
6
b n
, то из сходимости ряда (5.2.2) вытекает сходимость ряда (5.2.1),
а из расходимости ряда (5.2.1) вытекает расходимость ряда (5.2.2).
Доказательство. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ря- да, можно, без ограничения общности, считать, что a n
6
b n
для любого n ∈ N.
Обозначим частичные суммы ряда (5.2.1) через A
n
, а ряда (5.2.2) — через B
n
Пусть ряд (5.2.2) сходится и его сумма равна B.
Тогда A
n
6
B
n
6
B для любого n, т.е. последовательность частичных сумм {A
n
}
ограничена сверху и по теореме 5.2.2 ряд (5.2.1) сходится.
Пусть теперь ряд (5.2.1) расходится. Докажем расходимость ряда (5.2.2). Будем рассуждать от противного: допустим, что ряд (5.2.2) сходится. Тогда немедленно получаем (см. первую часть доказательства), что ряд (5.2.1) сходится. Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы.
2
Пример 5.2.2. Исследовать сходимость ряда
1 +
1 2
2
+
1 3
2
+ · · · +
1
n
2
+ . . . ,
(5.2.3)
используя признак сравнения.
Решение. Легко доказать сходимость ряда
1 +
1 1 · 2
+
1 2 · 3
+ · · · +
1
(n − 1) n
+ . . . .
(5.2.4)
Его частичную суму S
n можно преобразовать следующим образом:
S
n
= 1 +
1 1·2
+
1 2·3
+ · · · +
1
(n−1) n
=
= 1+

1−
1 2

+

1 2
−
1 3

+ · · · +

1
n−1
−
1
n

=
= 1 + 1 −
1 2
+
1 2
−
1 3
+ · · · +
1
n − 1
−
1
n
= 2 −
1
n
Тогда lim n→∞
S
n
= lim n→∞

2 −
1
n

= 2,
и ряд (5.2.4) сходится.
Очевидно, что
0 <
1
n
2
<
1
(n − 1) n
,
n = 2, 3, . . . ,
и по признаку сравнения ряд (5.2.2) сходится.
Теорема 5.2.4 (мажорантный признак Вейерштрасса). Пусть даны два ряда a
1
+ a
2
+ · · · + a n
+ . . . ,
(5.2.5)
b
1
+ b
2
+ · · · + b n
+ . . . ,
(5.2.6)
причем ряд (5.2.6) сходится, и его члены неотрицательны (члены ряда (5.2.5) —
произвольны). Если существует номер N ∈ N, такой, что при любом n > N имеет место неравенство |a n
| 6 b n
, то ряд (5.2.5) сходится абсолютно.
– 159 –

Доказательство. Немедленно следует из признака сравнения и теоремы 5.2.1. 2
Пример 5.2.3. Показать абсолютную сходимость ряда
∞
P
n=1
sin n n
2
Решение. Ряд сходится абсолютно, так как sin n n
2 6
1
n
2
для любого n ∈ N, а ряд
∞
P
n=1 1
n
2
сходится.
Теорема 5.2.5 (признак сравнения в предельной форме). Пусть даны два ряда с положительными членами a
1
+ a
2
+ · · · + a n
+ . . . ,
b
1
+ b
2
+ · · · + b n
+ . . . .
Если существует конечный предел lim n→∞
a n
b n
= k 6= 0,
то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.
Пример 5.2.4. Рассмотрим ряд
∞
X
n=1 1
√
2n
4
− 1
(5.2.7)
Исследовать его сходимость.
Решение. Сравнивая этот ряд с рядом
∞
P
n=1 1
n
2
, получим lim n→∞
1
√
2n
4
−1 1
n
2
=
1
q
2 −
1
n
4
=
1
√
2 6= 0.
Поэтому ряд (5.2.7) сходится.
5.3. Признаки абсолютной сходимости рядов
Рассмотрим признаки сходимости рядов. Начнем с признаков абсолютной сходи- мости.
5.3.1. Признак Коши.
Теорема 5.3.1 (признак Коши). Пусть дан ряд
∞
X
n=1
a n
и
α = lim n→∞
n p
|a n
|.
Тогда справедливы утверждения:
a) если α < 1, то ряд
∞
P
n=1
a n
абсолютно сходится;
b) если α > 1, то ряд
∞
P
n=1
a n
расходится;
– 160 –

c) если α = 1, то вопрос о сходимости ряда
∞
P
n=1
a n
остается открытым, т.е.
существуют как (абсолютно) сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых
α = 1.
Доказательство. A) Если α < 1, то, используя свойство плотности вещественных чисел, найдем и зафиксируем число q так, что α < q < 1.
В соответствии с определением верхнего предела последовательности найдем но- мер N ∈ N такой, что при n > N выполнено n
p
|a n
| < q. Тогда при n > N будем иметь

1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   43