Файл: Математический анализ.pdf

= lim n→∞
1

1 +
1
n

n
=
1
e
Таким образом, α < 1 и ряд сходится.
5.3.3. Интегральный признак Коши. Между сходимостью рядов и несоб- ственных интегралов есть прямая связь.
Теорема 5.3.3 (интегральный признак Коши). Рассмотрим функцию y = f(x),
заданную на промежутке [1, +∞), которая является непрерывной, неотрицатель- ной и монотонно убывающей на [1, +∞). Для того, чтобы сходился ряд
∞
X
n=1
f (n)
(5.3.1)
необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеград
+∞
Z
1
f (x) dx.
(5.3.2)
Доказательство. Необходимость. Пусть сходится ряд (5.3.1). Рассмотрим его частичные суммы S
n
= f (1)+. . .+f (n). Поскольку f (i+1) > f (x) > 0 при x ∈ [i, i+1],
то f (i + 1) =
i+1
Z
i f (i + 1) dx >
i+1
Z
i f (x) dx.
Поэтому
S > S
n+1
>
n+1
Z
1
f (x) dx,
где S сумма ряда (5.3.1). Отсюда и в силу монотонности и неотрицательности функ- ции f(x) получаем, что h
Z
1
f (x) dx 6 S
для любого h > 1.
Лемма 4.7.1 тогда показывает, что интеграл (5.3.2) сходится.
Достаточность. Пусть интеграл (5.3.2) сходится. Тогда аналогичным образом получаем, что
S
n
= f (1)+. . .+f (n) 6 2
Z
1
f (x) dx+
3
Z
2
f (x) dx+. . .+
n+1
Z
n f (x) dx =
n+1
Z
1
f (x) dx 6
+∞
Z
1
f (x) dx для любого n. Поэтому по теореме 5.2.2 ряд (5.3.1) сходится.
2
Пример 5.3.3. Рассмотреть ряд
∞
X
n=1 1
n p
(5.3.3)
и исследовать его на сходимость.
Решение. Ясно, что при p > 0 ряд расходится, так как не выполняется необходи- мый признак сходимости.
– 163 –

Пусть p > 0. Взяв функцию f(x) =
1
x p
, мы видим, что f(n) =
1
n p
и функция f удо- влетворяет всем условиям интегрального признака Коши. Используя пример 4.7.2,
получаем, что при p > 1 ряд (5.3.3) сходится, а при p 6 1 этот ряд расходится.
5.4. Условно сходящиеся ряды
5.4.1. Признак Лейбница.
Определение 5.4.1. Ряд вида a
1
− a
2
+ a
3
− a
4
+ · · · + (−1)
n+1
a n
+ . . . ,
где числа a n
> 0, n = 1, 2, . . . , и a n
→ 0 при n → ∞ монотонно убывая, называется рядом Лейбница.
Ряд Лейбница является одним из видов знакочередующихся рядов, в которых члены ряда последовательно меняют знак.
Теорема 5.4.1 (признак Лейбница). Ряд Лейбница сходится, и его сумма S 6
a
1
Доказательство. Рассмотрим частичные суммы ряда Лейбница с четными номе- рами S
2n
= a
1
− (a
2
− a
3
) − (a
4
− a
5
) − · · · − (a
2n−2
− a
2n−1
) − a
2n
. Так как разности в круглых скобках неотрицательны (a n
монотонно убывает при n → ∞), a
2n
> 0, то
S
2n
6
a
1
(5.4.1)
Последовательность S
2n возрастает, поскольку S
2n
= (a
1
− a
2
) + (a
3
− a
4
) + · · · +
(a
2n−1
− a
2n
), и разности в круглых скобках вновь неотрицательны.
Следовательно, существует lim n→∞
S
2n
= S, а S
2n+1
= S
2n
+ a
2n+1
и lim n→∞
S
2n+1
= lim n→∞
(S
2n
+ a
2n+1
) = S.
Отсюда следует, что lim n→∞
S
n
= S и ряд Лейбница сходится.
Неравенство S 6 a
1
вытекает из неравенства (5.4.1).
2
Пример 5.4.1. Исследовать на сходимость ряд
1 −
1 2
+
1 3
− · · · + (−1)
n+1 1
n
+ . . . .
Решение. Данный ряд сходится (но не абсолютно!) по признаку Лейбница.
Определение 5.4.2. Ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд из модулей его членов расходится.
Предыдущий пример дает условно сходящийся ряд.
5.4.2. Признаки условной сходимости рядов.
Теорема 5.4.2 (признак Абеля). Если для ряда
∞
X
n=1
a n
· b n
(5.4.2)
выполнены условия:
1) ряд
∞
P
n=1
a n
сходится;
2) последовательность {b n
} монотонна;
3) последовательность {b n
} ограничена,
то ряд (5.4.2) сходится.
– 164 –

Теорема 5.4.3 (признак Дирихле). Если для ряда (5.4.2) выполнены условия
1) частичные суммы A
n
=
n
P
k=1
a k
ограничены;
2) последовательность {b n
} монотонна;
3) последовательность {b n
} стремится к нулю при n → ∞,
то ряд (5.4.2) сходится.
Для доказательства этих признаков необходимо сначала рассмотреть преобра- зование, которая носит название "преобразование Абеля". Оно является аналогом интегрирования по частям для интегралов.
Пусть даны две конечных числовые последовательности α
1
, . . . , α
n и β
1
, . . . , β
n
Положим
A
k
= α
1
+ . . . + α
k
Тогда α
1
= A
1
, α
2
= A
2
− A
1
, . . ., α
n
= A
n
− A
n−1
. Поэтому n
X
k=1
α
k
· β
k
= A
1
β
1
+
n
X
k=2
(A
k
− A
k−1
)β
k
=
n−1
X
k=1
A
k
(β
k
− β
k+1
) + A
n
β
n
(5.4.3)
В этом и состоит преобразование Абеля.
Лемма 5.4.1. Если β
1
, . . . , β
n
— монотонная последовательность, а все A
k огра- ничены одним числом, т.е. |A
k
| 6 C, k = 1, . . . < n, то n
X
k=1
α
k
· β
k
6
C(|β
1
| + 2|β
n
|).
Доказательство. Из формулы (5.4.3) и монотонности последовательности {β
k
}
получим n
X
k=1
α
k
· β
k
=
n−1
X
k=1
A
k
(β
k
− β
k+1
) + A
n
β
n
6
n−1
X
k=1
|A
k
| · |β
k
− β
k+1
| + |A
n
| · |β
n
| 6 6
C ·
n−1
X
k=1
|β
k
− β
k+1
| + |β
n
|
!
= C ·
n−1
X
k=1
(β
k
− β
k+1
)
+ |β
n
|
!
=
= C(|β
1
− β
n
| + |β
n
|) 6 C(|β
1
| + 2|β
n
|).
Доказательство теоремы 5.4.2. Пусть выполнен условия теоремы. Используем критерий Коши для доказательства (теорема 5.1.2 для ряда (5.4.2).
Зафиксируем ε > 0 и рассмотрим выражение a
n+1
· b n+1
+ . . . + a n+p
· b n+p
(5.4.4)
Последовательность b n+1
, . . . , b n+p
— монотонна для любого p ∈ N и ограничена,
поэтому |b n
| 6 M для любого n ∈ N.
Поскольку ряд
∞
P
n=1
a n
сходится, то по критерию Коши существует номер N, что при n > N и для любого p ∈ N выполнено неравенство
|a n+1
+ . . . + a n+p
| < ε.
Применяя к сумме (5.4.4) лемму 5.4.1, получим
|a n+1
· b n+1
+ . . . + a n+p
· b n+p
| < ε(|b n+1
| + 2|b n+p
| 6 ε · 3M.
Т.е. для ряда (5.4.2) выполнен критерий Коши.
2
Доказательство признака Дирихле аналогично.
– 165 –

Замечание 5.4.1. Признак Дирихле сильнее признака Абеля, поскольку из огра- ниченности и монотонности последовательности {b n
} следует ее сходимость к некоторому числу b. Поэтому для ряда
∞
X
n=1
a n
(b n
− b)
применим признак Дирихле, а ряд b
∞
P
n=1
a n
сходится по услови признака Абеля.
Пример 5.4.2. Рассмотрим ряд
1 +
1 2
−
1 3
−
1 4
+
1 5
+
1 6
−
1 7
−
1 8
+ . . .
Исследовать его на сходимость.
Решение. Полагаем b n
=
1
n
, а последовательность a n
равна
1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, . . .
Тогда первая последовательность монотонно стремится к 0, а частичные суммы вто- рой последовательности принимают три значения: 1, 2, 0. Поэтому они ограничены.
По признаку Дирихле рассматриваемый ряд сходится. Отметим, что этот ряд не является рядом Лейбница.
5.5. Перестановки членов ряда
5.5.1. Перестановки членов абсолютно сходящегося ряда. Исследуем во- прос о перестановке членов сходящихся рядов.
Определение 5.5.1. Пусть ϕ — взаимно-однозначное отображение множе- ства натуральных чисел N на себя. Перестановкой ряда
∞
P
n=1
a n
назовем ряд
∞
P
n=1
a
ϕ(n)
Подчеркнем, что члены ряда при перестановке не меняются, не добавляются, не вычеркиваются, а переставляются на другие места.
Теорема 5.5.1. Если ряд
∞
P
n=1
a n
сходится абсолютно к сумме S, то любая пере- становка этого ряда также сходится к тому же числу S.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда члены ряда неотрицательны a
n
>
0 для всех n∈N. Пусть S сумма этого ряда, а
∞
P
n=1
a
ϕ(n)
— перестановка этого ряда. Тогда для частичных сумм справедливо неравенство S
n
= a
1
+ . . . + a n
6
S.
Возьмем частичную сумму перестановки ряда S
ϕ
n
= a
ϕ(1)
+ . . . + a
ϕ(n)
. Если через m(n) обозначить максимальное из натуральных чисел ϕ(1), . . . , ϕ(n), то в силу неот- рицательности членов ряда, S
ϕ
n
6
S
m(n)
. Поэтому S
ϕ
n
6
S для всех n. Таким образом,
частичные суммы перестановки ряда ограничены сверху, так что перестановка ряда сходится к некоторому числу S
ϕ
по теореме 5.2.2. Ясно, что S
ϕ
6
S.
Так как первоначальный ряд получается обратной перестановкой ϕ
−1
из ряда
∞
P
n=1
a
ϕ(n)
, то S 6 S
ϕ
. Поэтому S = S
ϕ
– 166 –

Рассмотрим произвольный абсолютно сходящийся ряд
∞
P
n=1
a n
с суммой S. Введем обозначания a
+
n
=
(
a n
,
если a n
>
0 0,
если a n
< 0,
a
−
n
=
(
0,
если a n
>
0
−a n
,
если a n
< 0.
Тогда a n
= a
+
n
− a
−
n
, |a n
| = a
+
n
+ a
−
n
. Поскольку ряд из модулей
∞
P
n=1
|a n
| сходится и выполнены неравенства 0 6 a
+
n
6
|a n
| и 0 6 a
−
n
6
|a n
| для всех n ∈ N, то по признаку сравнения ряды
∞
P
n=1
a
+
n и
∞
P
n=1
a
−
n также сходятся, соответственно, к суммам S
+
и S
−
Очевидно, что S = S
+
− S
−
По только что доказанной части теоремы ряд
∞
P
n=1
a
+
ϕ(n)
сходится к числу S
+
, а ряд
∞
P
n=1
a
+
ϕ(n)
сходится к числу S
−
. Поэтому S
ϕ
= S
+
− S
−
= S.
2 5.5.2. Теорема Римана. Для условно сходящихся рядов ситуация совершенно обратная.
Теорема 5.5.2 (Риман). Если ряд
∞
P
n=1
a n
сходится условно, то для любого числа
A найдется перестановка этого ряда, что сумма получившегося ряда будет равна
A. Причем A может быть как конечным числом так и ±∞.
Доказательство. Так как сам ряд сходится, а ряд из модулей расходится, то для рядов, введенных в предыдущей теореме,
∞
X
n=1
a
+
n
= +∞,
∞
X
n=1
a
−
n
= +∞.
Пусть для определенности A — конечно и неотрицательно. Выберем из ряда
P
∞
n=1
a
+
n подряд столько членов, чтобы их сумма превышала A и чтобы меньшее число таких членов было не больше A. Т.е.
a
+
1
+ . . . + a
+
n
1
> A,
а a
+
1
+ . . . + a
+
n
1
−1 6
A.
Существование такого номера n
1
следует из расходимости соответствующего ряда.
Выберем теперь из ряда
P
∞
n=1
a
−
n подряд столько членов, чтобы вычтя их из суммы уже выбранных членов, получить значение меньшее A и чтобы меньшее число членов не обладало таким свойством. Т.е.
a
+
1
+ . . . + a
+
n
1
− a
1
− − . . . − a
−
n
2
< A,
но a
+
1
+ . . . + a
+
n
1
− a
1
− − . . . − a
−
n
2
−1
>
A.
Эту процедуру мы будем продолжать дальше, добавляя и вычитая члены рядов.
Полученные суммы будут ни чем иным, как некоторыми частичными суммами первоначального ряда
∞
P
n=1
a n
. В целом мы получим новый ряд, он будет перестановкой первоначального. Так как a n
→ 0 при n → ∞, то разность между частичными суммами полученной перестановки и числом A будет стремиться к нулю.
2
– 167 –

5.5.3. Умножение рядов. Рассмотрим арифметические операции над рядами.
Если дан сходящийся к сумме A ряд
∞
X
n=1
a n
,
(5.5.1)
то для любой константы c выполнено равенство c · A
n
= c · (a
1
+ . . . + a n
) = ca
1
+ . . . + ca n
Поэтому ряд
∞
X
n=1
ca n
также сходится и его сумма равна c · S. Так что сходящийся ряд можно почленно умножать на постоянную и его сходимость не изменится.
Если рассмотреть еще одни сходящийся к сумме B ряд
∞
X
n=1
b n
,
(5.5.2)
то, действуя аналогичным образом, получим, что ряд
∞
X
n=1
(a n
+ b n
)
сходится и его сумма равна A + B. Поэтому сходящиеся ряды можно почленно скла- дывать.
Более сложная ситуация возникает, когда мы хотим перемножить сходящиеся ряды.
Что такое умножение рядов? Мы должны каждый член первого ряда умножить на каждый член второго ряда (как для конечных сумм) и затем расположить их как- то в виде элементов третьего ряда. Для конечных сумм все равно как эти элементы суммировать (от перестановки слагаемых сумма не меняется). Для бесконечных ря- дов теорема Римана показывает, что сумма ряда от перестановки может измениться.
Поэтому вопрос с умножением рядов требует более внимательного рассмотрения.
Теорема 5.5.3. Пусть даны два абсолютно сходящихся ряда (5.5.1) и (5.5.2).
Сумма первого ряда равна A, сумма второго ряда равна B. Если рассмотреть тре- тий ряд, составленный из всех произведений элементов первого ряда на элементы второго ряда a n
· b k
, расположенных в произвольном порядке, то полученный ряд также сходится абсолютно к сумме A · B.
Доказательство. Рассмотрим ряды из модулей элементов этих двух рядов. Они сходятся. Возьмем всевозможные произведения модулей |a n
| · |b k
| и расположим их в ряд в каком-то порядке. Рассмотрим частичную сумму получившегося ряда
C
m
= |a n
1
| · |b k
1
| + . . . + |a n
m
| · |b k
m
|.
Пусть max{n
1
, . . . , n m
} = s(m), а max{k
1
, . . . , k m
} = p(m), тогда
C
m
6
(|a
1
| + . . . + |a s(m)
|) · ((|b
1
| + . . . + |b p(m)
|) 6 M,
поскольку в данную сумму входят все элементы C
m и ряды из модулей сходятся.
Так что частичные суммы C
m ограничены сверху и, следовательно, полученный ряд сходится абсолютно.
– 168 –

По теореме 5.5.1 любая перестановка абсолютно сходящегося ряда не меняет его суммы. Поэтому расположим элементы ряда из произведений в следующем порядке a
1
b
1
+ a
2
b
1
+ a
2
b
2
+ a
2
b
1
+ a
3
b
1
+ a
3
b
2
+ a
3
b
3
+ a
2
b
3
+ a
1
b
3
+ . . .
Возьмем подпоследовательность последовательности его частичных сумм следующе- го вида a
1
b
1
,
a
1
b
1
+ a
2
b
1
+ a
2
b
2
+ a
2
b
1
= (a
1
+ b
2
)(b
1
+ b
2
),
a
1
b
1
+ a
2
b
1
+ a
2
b
2
+ a
2
b
1
+ a
3
b
1
+ a
3
b
2
+ a
3
b
3
+ a
2
b
3
+ a
1
b
3
= (a
1
+ a
2
+ a
3
)(b
1
+ b
2
+ b
3
),
и так далее. Полученная последовательность состоит и произведения частичных сумм рядов (5.5.1) и (5.5.2) и, следовательно, имеет своим пределом произведение

Глава 6
Функциональные последовательности и ряды
После изучения данной главы читатель должен уметь исследовать функциональ- ные, степенные ряды, разлагать функции в степенной ряд и ряд Фурье. Знать основ- ные определения, формулы и теоремы о функциональных рядах, степенных рядах и рядах Фурье: критерии равномерной сходимости, теорему о непрерывности, почлен- ной дифференцируемости и интегрируемости функциональных последовательностей и рядов, первую и вторую теоремы Абеля, формулу Коши-Адамара, разложение в ряд Тейлора, понятие аналитической функции, формулу Эйлера, ортогональность тригонометрической системы функций, ядра Дирихле и Фейера, теорему Римана об осцилляции, принцип локализации, признаки сходимости ряда Фурье, теорему
Фейера, теоремы Вейерштрасса о приближении, неравенство Бесселя и равенство
Парсеваля, полноту и замкнутость систем функций. Владеть методами определения равномерной сходимости функциональных рядов и последовательностей, методами разложения в степенные ряды и ряды Фурье.
6.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов
Определение 6.1.1. Пусть дана последовательность, элементами которой яв- ляются функции f
1
(x), f
2
(x), . . . , f n
(x), . . . ,
(6.1.1)
определенные на некотором множестве E ⊂ R. Такая последовательность называ- ется функциональной.
Зафиксируем число x
0
∈ E и рассмотрим числовую последовательность f
1
(x
0
), f
2
(x
0
), . . . , f n
(x
0
), . . . .
Допустим, что эта последовательность имеет предел, который естественно обо- значить f(x
0
):
f (x
0
) = lim n→∞
f n
(x
0
).
Пусть теперь для каждого x ∈ E соответствующая числовая последовательность
(6.1.1) имеет конечный предел f(x):
f (x) = lim n→∞
f n
(x).
(6.1.2)
Определение 6.1.2. Функция f(x), x ∈ E, называется предельной функцией для функциональной последовательности (6.1.1), а сходимость последовательно- сти {f n
(x)} к f(x) при n → ∞ называют поточечной на множестве E.
Будем далее изучать функциональные свойства f(x): непрерывность, дифферен- цируемость, интегрируемость. Задача эта не так проста, как может показаться. На- пример, из непрерывности всех функций f n
(x) в точке x
0
не следует непрерывность функции f(x) в этой же точке, т.е. свойства функций f n
(x) не переносятся автома- тически и не становятся свойствами предельной функции f(x).
170