Файл: Математический анализ.pdf

Это наименьший частичный предел, поскольку для любого ε > 0 найдется n ∈ N,
такое, что a − ε < a n
< a + ε (это вытекает из определения предела последова- тельности {a n
}). Но a n
= inf k>n x
k и a − ε < a n
6
x k
при k > n, т.е. все элементы последовательности {x k
} (за исключением может быть конечного числа элементов x
1
, x
2
, . . . , x n−1
) больше числа a−ε. Это означает, что любой частичный предел нашей последовательности l > a − ε. В силу произвольности ε > 0, l > a.
2
Несколько удлинив рассуждения, можно доказать теорему 1.9.2 и для случая,
когда последовательность неограничена.
Следствие 1.9.1. Последовательность имеет предел или стремится к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае, когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают.
Доказательство. Приведем его для случая, когда все пределы конечны. Пусть lim k→∞
x k
= lim k→∞
x k
= A ∈ R.
Поскольку a
n
= inf k>n x
k
6
x n
6
sup k>n x
k
= b n
,
т.е. a n
6
x n
6
b n
. Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, получим,
что lim n→∞
x n
= A.
Пусть теперь lim k→∞
x k
= A. Тогда любая подпоследовательность {x k
n
} сходится к тому же числу A, т.е. все частичные пределы равны A, откуда и следует, что lim k→∞
x k
= lim k→∞
x k
= A.
2
Следствие 1.9.2. Последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится любая ее подпоследовательность.
Доказательство. Пусть сходится любая подпоследовательность {x k
n
} последова- тельности {x k
}. Тогда сходится и сама последовательность {x k
}, так как она одно- временно является и подпоследовательностью.
Пусть теперь сходится последовательность {x k
}. Возьмем любую подпоследова- тельность {x k
n
}. Нижний и верхний пределы подпоследовательности {x k
n
} заключе- ны между нижним и верхним пределами последовательности {x k
}. Но эти последние пределы совпадают, значит, совпадают нижний и верхний пределы подпоследова- тельности, что обеспечивает сходимость {x k
n
}.
2 1.10. Предел функции
1.10.1. Определения предела функции. Пусть E — некоторое множество действительных (E ⊂ R) и x
0
— предельная точка множества E. Пусть f : E → R —
вещественная функция, определенная на E.
Определение 1.10.1. Будем говорить, что функция f : E → R имеет своим пределом число A при x, стремящемся к x
0
, если для любого числа ε > 0 существу- ет число δ > 0, такое что для любой точки x ∈ E, такой, что 0 < |x − x
0
| < δ,
выполнено неравенство |f(x) − A| < ε.
– 33 –

В логической символике выделенные условия запишутся в виде
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E 0 < |x − x
0
| < δ =⇒ |f(x) − A| < ε.
Тот факт, что число A есть предел функции f(x) при x → x
0
, записывают следу- ющим образом:
lim x→x
0
x∈E
f (x) = A.
В этой записи условие, что x ∈ E, как правило, будем опускать, предполагая его всегда выполненным. Часто про определение 1.10.1 предела функции говорят, что оно записано "на языке ε − δ" или в форме Коши.
Пример 1.10.1. Показать, что lim x→0
x∈E
x · sin
1
x
= 0,
где E = R \ {0}. Здесь 0 не принадлежит E.
Решение. Пусть число ε > 0 произвольное. Возьмем δ = ε. Тогда для всех x ∈ E,
для которых 0 < |x| < δ, выполнено неравенство x · sin
1
x
6
|x| < δ = ε.
Пример 1.10.2. Показать, что lim x→2
x
2
= 4.
Решение. Зафиксируем число ε > 0 и найдем δ > 0, решая неравенство |x
2
− 4| < ε
относительно величины |x − 2|:
|x − 2| · |x + 2| < ε,
|x − 2| <
ε
|x + 2|
Выражение
ε
|x + 2|
в качестве δ брать нельзя, так как оно зависит от x, а из опре- деления 1.10.1 следует, что δ может зависеть только от ε и от x
0
. Оценим поэтому величину
ε
|x + 2|
, предполагая, что x ∈ (1, 3), т.е. лежит в единичной окрестности точки x
0
= 2:
ε
5
<
ε
|x + 2|
Теперь в качестве δ можно взять величину
ε
5
, предполагая при этом, что x ∈ (1, 3)
или, коротко, δ = min
ε
5
, 1

Упражнение 1.10.1. Показать, что lim x→2 1
x
=
1 2
Перефразируем определение 1.10.1, используя геометрическую интерпретацию и понятие проколотой окрестности точки x
0
Определение 1.10.2. Проколотой окрестностью точки называется окрест- ность точки, из которой исключена сама эта точка.
– 34 –

Если U(x
0
) — обозначение окрестности точки x
0
, то проколотую окрестность этой точки будем обозначать символом o
U (x
0
).
Введем в рассмотрение множества
U
E
(x
0
) := E ∩ U
(
x
0
),
o
U
E
(x
0
) := E ∩
o
U (x
0
)
(знак :=, как всегда, заменяет слова "есть по определению"), которые будем назы- вать, соответственно, окрестностью и проколотой окрестностью точки x
0
в множе- стве E.
Если x
0
— предельная точка E, то o
U (x
0
) 6= ∅, какова бы ни была окрестность
U (x
0
).
Введем еще символы o
U
δ
E
(x
0
) и V
ε
R
(A) для обозначения проколотой δ-окрестности точки x
0
в множестве E и ε-окрестности точки A в R. Тогда в определении 1.10.1
условие того, что A есть предел функции f(x) при x → x
0
, x ∈ E можно записать в виде
∀V
ǫ
R
(A)
∃
o
U
δ
E
(x
0
)
⇒
f (
o
U
δ
E
(x
0
)) ⊂ V
ε
R
(A).
В последней записи буквы ε и δ можно опустить, так как из существования произ- вольной окрестности точки x
0
следует существование симметричной δ-окрестности.
Теперь определение 1.10.1 можно переформулировать.
Определение 1.10.3. Предел lim x→x
0
x∈E
f (x) = A,
если выполнено условие
∀V
R
(A) ∃
o
U
E
(x
0
)
⇒
f (
o
U
E
(x
0
)) ⊂ V
R
(A).
Пример 1.10.3. Показать, что функция sgn x =





1,
если x > 0,
0,
если x = 0,
−1, если x < 0
не имеет предела при x → 0.
Решение. Легко видеть, что возможными значениями предела A могут быть толь- ко числа −1, 0, 1, т.е. значения функции sgn x. Действительно, если взять любое дру- гое число в качестве A (например, 2, 5), то у этого числа всегда найдется окрестность
V
R
(A) (для числа 2, 5 это, например, окрестность (1, 5; 3, 5)), которая не содержит ни одного значения функции sgn x, и условие f(
o
U
E
(x
0
)) ⊂ V
R
(A) не может быть выпол- нено ни для каких o
U
E
(x
0
).
Но это условие не может быть выполнено и для чисел {−1, 0, 1}. Если, например,
A = 1 и V
R
(1) = (0, 5; 1, 5), то sgn(
o
U
E
(0)) = {−1, 1}, какова бы ни была проколотая окрестность o
U
E
(0), таким образом, sgn(
o
U
E
(0)) /
∈ V
R
(1) = (0, 5; 1, 5). Рассуждая ана- логично, получим, что числа {−1, 0} также не могут быть пределом функции sgn x при x → 0. Таким образом, никакое число не может быть пределом sgn x при x → 0:
этот предел не существует.
– 35 –

Дадим другое определение предела функции (на "языке последовательностей"
или иногда говорят — "по Гейне").
Определение 1.10.4. Число A называется пределом функции f : E → R при x, стремящемся к x
0
, если для любой числовой последовательности {x n
}, которая сходится к x
0
,
x n
∈ E \ x
0
, выполняется условие lim n→∞
f (x n
) = A.
Теорема 1.10.1. Определение 1.10.1 и определение 1.10.4 предела функции экви- валентны.
Доказательство. Пусть функция f имеет предел A при x → x
0
в смысле опре- деления 1.10.1. Проверим выполнение определения 1.10.4. Зафиксируем последова- тельность {x n
}, x n
→ x
0
,
x n
∈ E \ x
0
. Зададим ε > 0 и подберем δ > 0 так,
как это сказано в первом определении. Затем подберем натуральное N так, чтобы
|x n
− x
0
| < δ для n > N, но тогда |f(x n
) − A| < ε для n > N, а это означает, что lim n→∞
f (x n
) = A
и определение 1.10.4 выполнено (ведь последовательность {x n
} выбрана произвольно,
лишь бы x n
→ x
0
, x n
∈ E \ x
0
).
Обратно. Пусть функция f имеет предел в смысле определения 1.10.4. Допустим,
что при этом она не имеет предела в смысле определения 1.10.1, т.е. выполняется отрицание определения 1.10.1:
∃ε
0
> 0 ∀δ > 0 ∃x ∈ E
⇒
(0 < |x − x
0
| < δ ∧ |f(x) − A| > ε
0
).
Так как δ — произвольное число, то пусть δ = 1/k,
k = 1, 2, . . . . Для каждого такого
δ = 1/k существует точка x k
∈ E, для которой
0 < |x k
− x
0
| < 1/k и
|f(x k
) − A| > ε
0
,
k = 1, 2, . . . .
Из этих соотношений видно, что x k
→ x
0
,
x k
∈ E \ x
0
, но lim k→∞
f (x k
) 6= A,
а это противоречит тому, что определение 1.10.4 выполнено.
2 1.10.2. Общие свойства предела. Напомним некоторые определения, необхо- димые для того, чтобы сформулировать свойства предела функции.
Определение 1.10.5. Функцию f : E → R, принимающую только одно значение
C, назовем постоянной. Функцию f : E → R назовем финально постоянной при x → x
0
, x ∈ E, если она постоянная в некоторой проколотой окрестности o
U
E
(x
0
)
точки x
0
, предельной для множества E.
Определение 1.10.6. Функция f : E → R называется ограниченной, ограни- ченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число C, такое что для любого x ∈ E выполнено, соответственно,
|f(x)| < C,
f (x) < C,
C < f (x).
Легко по аналогии с определением 1.10.5 дать определение, например, функции,
финально ограниченной при x → x
0
,
x ∈ E.
– 36 –

Теорема 1.10.2. A. Если f : E → R есть финально постоянная при x → x
0
и эта постоянная равна A, то lim x→x
0
f (x) = A.
B. Если предел функции f : E → R существует при x → x
0
,
x ∈ E, то функция f финально ограничена при x → x
0
,
x ∈ E.
C. Если предел функции f : E → R при x → x
0
существует, то он единственный.
Доказательство. Утверждения A и B непосредственно вытекают из соответству- ющих определений. Необходимые записи предлагается проделать читателю. Дока- жем утверждение C. Допустим, что существуют два разных предела A
1
и A
2
у функ- ции f при x → x
0
,
x ∈ E. Возьмем тогда окрестности V (A
1
) и V (A
2
) так, чтобы они не имели общих точек. Это можно сделать на основании свойства I
3
действительных чисел.
Теперь из определения 1.10.3 предела функции следует, что существуют две про- колотые окрестности o
U
′
E
(x
0
) и o
U
′′
E
(x
0
), такие что f (
o
U
′
E
(x
0
)) ⊂ V (A
1
) и f (
o
U
′′
E
(x
0
)) ⊂
V (A
2
). Отсюда следует, что V (A
1
) ∩ V (A
2
) 6= ∅ . Полученным противоречием и до- казывается утверждение C.
2
Теорема 1.10.3. Пусть f : E → R и g : E → R — две функции с общей об- ластью определения. Если пределы функций f и g существуют при x → x
0
, x ∈
E
( lim x→x
0
f (x) = A, lim x→x
0
g(x) = B), то a) lim x→x
0
(f (x) + g(x)) = lim x→x
0
f (x) + lim x→x
0
g(x) = A + B;
b) lim x→x
0
(f (x) · g(x)) = lim x→x
0
f (x) · lim x→x
0
g(x) = A · B;
c) lim x→x
0
f (x)
g(x)
=
lim x→x
0
f (x)
lim x→x
0
g(x)
=
A
B
, если B 6= 0 и g(x) 6= 0 при x ∈ E.
Доказательство вытекает из соответствующей теоремы об арифметических свой- ствах предела последовательности, при этом следует использовать определение 1.10.4
предела функции "на языке последовательностей".
2
Теорема 1.10.4. Если функции f : E → R и g : E → R таковы, что lim x→x
0
f (x) =
A, lim x→x
0
g(x) = B и A < B, то найдется проколотая окрестность o
U
E
(x
0
), для точек которой выполнено неравенство f (x) < g(x).
Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.
Следствие 1.10.1. Пусть lim x→x
0
f (x) = A, lim x→x
0
g(x) = B. Если в некоторой про- колотой окрестности o
U
E
(x
0
) точки x
0
:
a) выполнено f (x) > g(x), то A > B;
b) выполнено f (x) > g(x), то A > B;
c) выполнено f (x) > B, то A > B;
d) выполнено f (x) > B, то A > B.
Доказательство. Рассуждая от противного при доказательстве, например, пунк- та a), т.е. предполагая, что A < B, по теореме 1.10.4 найдем проколотую окрестность o
V
E
(x
0
), для которой f (x) < g(x), x ∈
o
V
E
(x
0
). Получили противоречие с услови- ем f(x) > g(x), x ∈
o
U
E
(x
0
), так как o
V
E
(x
0
) ∩
o
U
E
(x
0
) 6= 0. Совершенно аналогично доказывается b). Пункты c) и d) получаются уже из a) и b) при g(x) ≡ B.
2
– 37 –

Теорема 1.10.5. Если между функциями f, g, h, определенными на множестве
E
, имеет место соотношение f (x) 6 g(x) 6 h(x),
x ∈ E
и если lim x→x
0
f (x) = lim x→x
0
h(x) = C,
то существует также предел g(x) при x → x
0
,
x ∈ E, и lim x→x
0
g(x) = C.
Доказательство. Если lim x→x
0
f (x) = lim x→x
0
h(x) = C, то для любого фиксированного
ε > 0 найдутся такие две проколотые окрестности o
U
′
E
(x
0
) и o
U
′′
E
(x
0
), что
C − ε < f(x),
x ∈
o
U
′
E
(x
0
),
h(x) < C + ε,
x ∈
o
U
′′
E
(x
0
).
Тогда для точек x ∈
o
U
E
(x
0
) ⊂
o
U
′
E
(x
0
) ∩
o
U
′′
E
(x
0
)
будем иметь
C − ε < f(x) 6 g(x) 6 h(x) < C + ε
или
C + ε < g(x) < C + ε,
|g(x) − C| < ε для x ∈
o
U
E
(x
0
).
Следовательно, lim x→x
0
g(x) = C.
2
Замечание 1.10.1. Иногда теорему 1.10.5 называют теоремой "о двух мили- ционерах" или теоремой "о зажатой" функции.
1.10.3. Первый замечательный предел. В качестве иллюстрации использо- вания теорем 1.10.4 и 1.10.5 докажем, что lim x→0
sin x x
= 1.
Этот предел часто называют первым замечательным пределом.
Доказательство состоит из проверки четырех утверждений:
a) cos
2
x <
sin x x
< 1 для 0 < |x| <
π
2
;
b) |sin x| 6 |x| для всех x ∈ R;
c) lim x→0
sin x = 0;
d) lim x→0
sin x x
= 1.
– 38 –

sin x
O
A
C
B
D
x
1
−1
Рис 1.10.1. Первый замечательный предел
Утверждение a) достаточно проверить только для положительных x,
0 < x <
π
2
Для отрицательных x оно следует из четности всех входящих в неравенство функций.
Сравнивая (рис. 1.10.1 ) площади сектора OCD (S
1
), треугольника OAB (S
2
) и сектора OAB (S
3
), получим
S
1
< S
2
< S
3
,
или
1 2
|OC| · |` CD| <
1 2
|OA| · |BC| <
1 2
|OA| · |` AB| ,
или
1 2
(cos x) · (x cos x) <
1 2
· (1) · (sin x) <
1 2
(1) · (x),
разделив последнее неравенство на
1 2
x > 0, получим утверждение a).
Утверждение b) легко получить из a) и элементарных соображений. Действитель- но, если x удовлетворяет условию 0 < |x| <
π
2
, то
0 6 cos
2
x <
sin x x
< 1 =⇒ 0 <
sin x x
< 1 =⇒ |sin x| < |x| .
Для |x| >
π
2
неравенство |sin x| < |x| выполняется очевидным образом:
|sin x| 6 1, а |x| >
π
2
> 1, 5.
При x = 0 справедливо равенство |sin x| = |x|.
Таким образом,
|sin x| 6 |x| для всех x ∈ R.
– 39 –

Утверждение c) следует из теоремы 1.10.5 и неравенств
0 6 |sin x| 6 |x| .
Здесь роль функций f, g, h играют, соответственно,
0,
|sin x| , |x| .
И, наконец, утверждение d) получается из неравенств a) и теоремы 1.10.5:
1 − sin
2
x <
sin x x
< 1 для 0 < |x| <
π
2
,
lim x→0
(1 − sin
2
x) = 1,
lim x→0 1 = 1.
Следовательно,
lim x→0
sin x x
= 1.
1.10.4. Пределы функции справа и слева, бесконечные пределы и пре- делы при x → ∞.
Определение 1.10.7. Число A называется правым пределом (или пределом справа) функции f : E → R в точке x
0
, x ∈ E, если
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E (0 < x − x
0
< δ =⇒ |f(x) − A| < ε).
Аналогично определяется левый предел (или предел слева) (следует изменить только одно неравенство 0 < x
0
− x < δ).
Для обозначения правого предела используют символы lim x→x
0
+0
f (x) = f (x
0
+ 0) при x
0 6= 0.
Если x
0
= 0, то пишут lim x→+0
f (x) = f (+0). Для записи левого предела используют такие же формулы, заменяя только символ +0 на −0.
Напрмиер, для функции sgn x правый предел при x → +0 равен (+1), а левый равен (−1).
Легко доказать, используя определения 1.10.1 и 1.10.7, следующую теорему.
Теорема 1.10.6. Предел функции f : E → R, x ∈ E, существует тогда и только тогда, когда существуют пределы справа и слева в этой точке и они равны.
До сих пор мы говорили о конечных пределах (A 6= ∞) при x → x
0
, причем x
0
также было конечное число. На практике часто приходится сталкиваться со случа- ями, когда A = +∞, −∞, ∞ или x
0
= +∞, −∞, ∞ либо одновременно A и x
0
не являются конечными числами. Например, интуитивно ясно, что lim x→∞
1
x
= 0,
или lim x→+0 1
x
= +∞.
Покажем, как выглядят точные формулировки соответствующих определений.
Определение 1.10.8. Число A называется пределом функции f : E → R при x → ∞, x ∈ E, если
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E (|x| > δ =⇒ |f(x) − A| < ε).
Определение 1.10.9. Говорят, что пределом функции f : E → R при x → x
0
+
0, x ∈ E является +∞, если ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ E (0 < x − x
0
< δ =⇒ f(x) > ε).
Нетрудно дать и другие аналогичные определения предела, когда A = +∞, −∞,
∞ и x
0
= +∞, −∞, ∞. Предоставим сделать это самому читателю.
– 40 –

1.10.5. Второй замечательный предел. Уже известен предел последователь- ности
α
n
=

1 +
1
n

n
,
n = 1, 2, . . . ,
lim n→∞
α
n
= lim n→∞

1 +
1
n

n
= e.
Докажем теперь, что lim x→0
(1 + x)
1
x = e,
x ∈ R \ 0.
Для этого достаточно доказать два равенства (см. теорему 1.10.6):
a) lim x→+0
(1 + x)
1
x
= e, b) lim x→−0
(1 + x)
1
x
= e.
Рассмотрим равенство a). Воспользуемся определением правого предела "на язы- ке последовательностей" (его легко сформулировать по аналогии с определени- ем 1.10.4).
Заметим предварительно, что если {n k
} — произвольная (не обязательно строго возрастающая) последовательность натуральных чисел такая, что lim k→∞
n k
= +∞, то lim k→∞
α
n k
= e, т.е.
lim k→∞

1 +
1
n k

n k
= e
(докажите это самостоятельно).
Пусть {x k
}, k = 1, 2, . . . , произвольная последовательность, для которой вы- полняются условия x k
→ 0 при k → ∞, x k
> 0 (без ограничения общности можно считать, что x k
< 1).
Тогда
1
x k
→ +∞ при k → ∞ и n k
=

1
x k

→ ∞, n k
> 0. Из определения целой части числа следует, что n
k
6 1
x k
< n k
+ 1,
т.е.
1
n k
+ 1
< x k
6 1
n k
Тогда справедливы неравенства

1 +
1
n k
+ 1

n k
< (1 + x k
)
1
x k
<

1 +
1
n k

n k
+1
Предел крайних членов этого неравенства равен e. Действительно, для левой части имеем lim k→∞

1 +
1
n k
+ 1

n k
= lim k→∞






1 +
1
n k
+ 1

n k
+1

1 +
1
n k
+ 1






=
=
lim k→∞

1 +
1
n k
+ 1

n k
+1
lim k→∞

1 +
1
n k
+ 1

= e/1 = e.
– 41 –

Аналогично получим, что lim k→∞

1 +
1
n k

n k
+1
= e. Отсюда следует, что lim k→∞
(1 + x k
)
1
x k
= e,
поэтому lim x→+0
(1 + x)
1
x = e.
Аналогично доказывается, что lim x→−0
(1 + x)
1
x = e,
откуда окончательно получаем требуемый результат.
1.11. Теоремы о пределе функции
1.11.1. Критерий Коши существования предела функции. Для опреде- ленности рассмотрим подробно случай существования предела функции f : E → R в точке x
0
,
x
0 6= −∞, +∞, ∞ (см. определения 1.10.1 и 1.10.4 § 1.10).
Определение 1.11.1. Будем говорить, что функция f : E → R удовлетворяет в точке x
0
(x
0
— предельная точка множества E) условию Коши, если
∀ε > 0 ∃
o
U
E
(x
0
) ∀x
′
, x
′′
∈
o
U
E
(x
0
) ⇒
f(x
′
) − f(x
′′
)
< ε.
Теорема 1.11.1 (критерий Коши существования предела функции). Для того чтобы функция f : E → R имела в точке x
0
конечный предел, необходимо и доста- точно, чтобы функция f удовлетворяла в точке x
0
условию Коши.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует конечный предел lim x→x
0
f (x) = A.
Фиксируем произвольное положительное число ε. В силу определения 1.10.1
(§ 1.10) предела функции по Коши для положительного числа
ε
2
найдется поло- жительное число δ такое, что каковы бы ни были два значения аргумента x
′
и x
′′
,
x
′
, x
′′
∈ E, удовлетворяющие условиям
0 <
x
′
− x
0
< δ,
0 <
x
′′
− x
0
< δ
(т.е. x
′
, x
′′
∈
o
U
δ
E
(x
0
), для соответствующих значений функции справедливы неравен- ства f(x
′
) − A
<
ε
2
,
f(x
′′
) − A
<
ε
2
Теперь легко получаем неравенство для условия Коши:
f(x
′
) − f(x
′′
)
=
f(x
′
) − A + A − f(x
′′
)
6 6
f(x
′
) − A
+
A − f(x
′′
)
<
ε
2
+
ε
2
= ε,
а это и означает, что функция f удовлетворяет в точке x
0
условию Коши.
– 42 –