Файл: Математический анализ.pdf

С помощью этих новых обозначений запишем найденное решение:
y = cαe iω(x−δ)
Резюмируем полученный результат.
Теорема 11.3.4. Общее решение дифференциального уравнения (11.3.11) есть y = cαe iω(x−δ)
+ c
1
y
1
(x) + c
2
y
2
(x),
где c
1
y
1
(x) + c
2
y
2
(x) есть общее решение однородного уравнения (11.3.8), а величины
α и δ определяются по формулам
α =
1
p
(k − mω
2
)
2
+ r
2
ω
2
,
cos ωδ = (k − mω
2
)α,
sin ωδ = rωα.
11.4. Приложения к физике
11.4.1. Охлаждение или нагревание тела. Рассмотрим явление охлажде- ния или нагревания тела, например металлической пластинки, погруженной в очень большую ванну определенной температуры. Мы предполагаем, что ванна настолько велика, что на ее собственную температуру процесс не влияет. Предполагаем также,
что погруженное тело в каждый момент имеет повсюду одну и ту же температуру и что быстрота изменения температуры пропорциональна разности температур тела и окружающей среды (ньютоновский закон охлаждения).
Если обозначить время через t, а разность температур тела и среды через y(t),
то закон охлаждения выразится уравнением y
′
= −ky,
(11.4.1)
где k — положительная постоянная, зависящая от материала.
Уравнение (11.4.1) есть уравнение с разделяющимися переменными. Решая его,
получим следующий интегральный закон охлаждения:
y = ce
−kt
Получаем, что температура понижается по экспоненциальному закону и стремится сравняться с окружающей средой. Скорость, с которой это происходит, характери- зуется постоянной k. Значение постоянной c здесь находим, используя начальные условия: при t = 0 функция y(0) = y
0
. Тогда c = y
0
, и, таким образом, закон охла- ждения окончательно запишется в виде y = y
0
e
−kt
11.4.2. Замыкание и размыкание электрического тока. Рассмотрим явле- ние, которое происходит при замыкании (или размыкании) постоянного электриче- ского тока. Если R — сопротивление цепи, E — внешняя электродвижущая сила,
то сила тока J постепенно возрастает от начального значения 0 до конечного ста- ционарного значения
E
R
. Мы, следовательно, должны рассматривать силу тока J
как функцию времени t. Ход изменения тока зависит от самоиндукции цепи. Цепь характеризуется определенным постоянным числом L, коэффициентом самоиндук- ции, роль которого такова, что при всяком изменении силы тока в цепи появляется
– 392 –

электродвижущая сила, равная L
dJ
dt и направленная противоположно внешней элек- тродвижущей силе. На основании закона Ома, по которому в каждый момент произ- ведение силы тока на сопротивление равно фактически действующей силе, получаем следующее уравнение:
J · R = E − L
dJ
dt
,
dJ
dt
=
E
L
−
R
L
J.
Положим f(t) = J(t) −
E
R
, после чего уравнение примет вид f
′
(t) = −
R
L
f (t).
Это также уравнение с разделяющимися переменными. Решая его и подставляя на- чальные условия J(0) = 0, f(0) = −
E
R
, мы получим f (t) = f (0)e
−
R
L
t
Поэтому
J(t) =
E
R

1 − e
−
R
L
t

 .
Из него мы видим, как сила тока при замыкании асимптотически приближается к своему стационарному конечному значению
E
R
11.4.3. Свободное падение. Сопротивление воздуха. При свободном па- дении материальной точки по вертикали, которую мы примем за ось OX, закон
Ньютона дает нам дифференциальное уравнение x
′′
(t) = g,
где g — ускорение свободного падения, x = x(t) — уравнение движения точки. Решая его интегрированием, получим x
′
= gt + v
0
,
где v
0
— постоянная интегрирования, значение которой мы получаем, полагая t = 0 .
Тогда x
′
(0) = v
0
, т.е. v
0
— скорость материальной точки в начальный момент отсчета времени, начальная скорость.
Вторичным интегрированием получаем x(t) =
1 2
gt
2
+ v
0
t + x
0
,
где x
0
есть также постоянная интегрирования, значение которой опять получаем,
полагая t = 0. Следовательно, x
0
есть начальная координата точки в начальный момент времени.
Если мы хотим учесть влияние сопротивления воздуха, действующего на падаю- щую материальную точку, то должны его рассматривать как силу, которая действует в направлении, противоположном направлению движения, и относительно этой силы надо ввести известные физические допущения.
Разберем два различных физических допущения.
– 393 –

A. Сопротивление пропорционально скорости. Оно выражается формулой вида
−rx
′
, где r есть положительная константа.
B. Сопротивление пропорционально квадрату скорости и имеет вид −r(x
′
)
2
Согласно основному закону Ньютона мы получим следующие дифференциальные уравнения:
a) mx
′′
= mg − rx
′
,
b) mx
′′
= mg − r(x
′
)
2
,
где m — масса точки.
Рассмотрим уравнение a), обозначим x
′
= u, тогда имеем mu
′
= mg − ru.
Запишем его в форме dt du
=
1
g −
r m
u
Это уравнение с разделяющимися переменными, если считать t функцией от u. Ре- шая его, получим t(u) = −
m r
· ln

1 −
r mg u

+ t
0
,
где t
0
— постоянная интегрирования. Решая это уравнение относительно u, имеем u(t) = x
′
(t) = −
mg r
e
−
r m
(t−t
0
)
− 1
!
Это уравнение обнаруживает важное свойство движения: с возрастанием t ско- рость не растет неограниченно, но стремится к некоторому определенному пределу,

при t = 0 мы можем произвольно задать начальную координату x(0) = x
0
и на- чальную скорость x
′
(0) = v
0
, т.е., выражаясь физически, материальная точка может быть приведена в движение из любого начального положения с любой начальной скоростью, и только тогда процесс движения однозначно определяется уравнением движения. Математически это выражается в том, что самое общее решение наше- го уравнения содержит две, сначала неопределенные, постоянные интегрирования,
которые должны быть определены из обоих начальных условий.
Положим ω =
p k/m. Из метода решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, рассмотренного в предыдущем параграфе, мы полу- чаем, что общим решением нашего уравнения служит функция x(t) = c
1
cos ωt + c
2
sin ωt.
Произвольные постоянные определяются из начальных условий. Данное решение можно также записать в виде x(t) = a sin ω(t − δ),
если положить a =
q c
2 1
+ c
2 1
,
δ = −
1
ω
arctg c
1
c
2
Движения такого типа называются синусоидальными, или простыми, гармони- ческими колебаниями. Они представляют собой периодические движения. Период колебаний T =
2π
ω
11.5. Определители и их вычисление
11.5.1. Перестановки и подставновки. Рассмотрим какие-нибудь n элемен- тов, n ∈ N. Мы будем считать, что это числа 1, 2, . . . , n. Кроме данного порядка, мы можем расположить их в другом порядке.
Определение 11.5.1. Всякое расположение чисел 1, 2, . . . , n в некотором опре- деленном порядке называется перестановкой из n чисел (или из n элементов).
Нетрудно проверить, что число всех различных перестановок из n элементов рав- но n! = 1 · 2 · · · n.
Если в некоторой перестановке мы поменяем местами какие–либо два числа (не обязательно стоящие рядом), а все остальные числа оставим на месте, то получим новую перестановку.
Определение 11.5.2. Это преобразование перестановок называется транспо- зицией.
Теорема 11.5.1. Все n! перестановок из n элементов можно расположить в таком порядке, что каждая следующая будет получаться из предыдущей одной транспозицией, причем можно начинать с любой перестановки.
Определение 11.5.3. Говорят, что в данной перестановке числа i и j состав- ляют инверсию, если i < j, а число i стоит в этой перестановке раньше j.
Определение 11.5.4. Перестановка называется четной, если она содержит четное число инверсий, и нечетной, если она содержит нечетное число инверсий.
Теорема 11.5.2. Всякая транспозиция меняет четность перестановки.
– 395 –

Таким образом, число четных перестановок равно числу нечетных перестановок
(если n > 1) и равно
1 2
n!.
Определим теперь понятие подстановки степени n. Запишем одну под другой две перестановки из n чисел, беря полученное выражение в скобки

i
1
i
2
. . . i n
j
1
j
2
. . . j n

(11.5.1)
Определение 11.5.5. Две перестановки, записанные в таком виде, определяют взаимно–однозначное отображение множества из первых n натуральных чисел на себя. Это отображение называется подстановкой.
Подстановки будем обозначать большими латинскими буквами A, B, . . .. Подста- новки имеют многие различные записи вида (11.5.1). От одной записи к другой мож- но перейти несколькими транспозициями столбцов. При этом можно получить такую запись вида (11.5.1), в верхней (или нижней) строке которой стоит любая наперед заданная перестановка, например 1, 2, . . . , n. При такой записи различные подстанов- ки отличаются друг от друга перестановками, стоящими в нижней строке, и поэтому число подстановок степени n равно числу перестановок из n элементов, т.е. n!.
Примером подстановки степени n служит тождественная подстановка
E =

1 2 . . . n
1 2 . . . n

Легко обнаружить, что при всех записях подстановки четности верхней и нижней строк либо совпадают, либо противоположны. В первом случае подстановка называ- ется четной, а во втором случае — нечетной.
Следовательно, подстановка будет четной, если общее число инверсий в двух стро- ках четно, и нечетной — в противоположном случае.
Определим умножение подстановок следующим образом. Пусть даны две под- становки A и B (т.е. два взаимно–однозначных отображения множества первых n чисел на себя).
Определение 11.5.6. Результат выполнения этих двух отображений (сначала
A, затем B) является также взаимно–однозначным отображением и называется произведением подстановок A и B (обозначается AB).
Вообще говоря, произведение подстановок некоммутативно, но тем не менее об- ладает рядом важных свойств.
1. Умножение подстановок ассоциативно, т.е. (AB)C = A(BC).
2. Нейтральным, или единичным, элементом является тождественная подстанов- ка E, т.е. AE = EA = A для любой подстановки A.
3. Для каждой подстановки A существует обратная подстановка A
−1
, для кото- рой AA
−1
= A
−1
A = E. Эта обратная подстановка определяется как отображение,
обратное к A, т.е. если
A =

1 2 . . . n j
1
j
2
. . . j n

,
то
A
−1
=

j
1
j
2
. . . j n
1 2 . . . n

Множество элементов, в котором введена операция (умножения), обладающая свойствами 1), 2), 3), называется группой. Если операция умножения коммутативна,
то группа называется коммутативной, или абелевой.
– 396 –

Рассмотрим подстановки специального вида, которые получаются из тождествен- ной подстановки E при помощи одной транспозиции, производимой в ее нижней строке. Такие подстановки нечетны, они называются транспозициями и имеют вид

. . . i . . . j . . .
. . . j . . . i . . .

Обычно такую перестановку обозначают символом (i, j).
Теорема 11.5.3. Всякая подстановка представима в виде произведения некото- рого числа транспозиций.
Подстановку можно разными способами представить в виде произведения транс- позиций, четность или нечетность числа этих транспозиций одна и та же.
Теорема 11.5.4. При всех разложениях подстановки в произведение транспози- ций четность числа этих транспозиций будет одна и та же, причем она совпадает с четностью самой подстановки.
11.5.2. Определители. Рассмотрим квадратную таблицу из n
2
элементов, ко- торая называется квадратной матрицей порядка n:
A =




a
11
a
12
. . . a
1n a
21
a
22
. . . a
2n a
n1
a n2
. . . a nn



 .
(11.5.2)
Эта матрица состоит из n столбцов и n строк. Первый индекс в числе a ij означает номер строки, а второй индекс — номер столбца.
Рассмотрим всевозможные произведения по n элементов этой матрицы, располо- женных в разных строках и разных столбцах, т.е. произведения вида a
1i
1
· a
2i
2
· · · a ni n
,
(11.5.3)
где индексы i
1
, i
2
, . . . , i n
составляют некоторую перестановку чисел 1, 2, . . . , n. Число таких произведений равно числу всех перестановок из n символов, т.е. n!. Все эти произведения войдут в определитель n-го порядка с определенным знаком. А имен- но произведению вида (11.5.3) мы приписываем знак "+"или "−"в зависимости от четности или нечетности подстановки

1 2 . . . n i
1
i
2
. . . i n

,
(11.5.4)
если подстановка (11.5.4) четная, то знак "+" , а если нечетная, то знак "−".
Таким образом, приходим к следующему определению.
Определение 11.5.7. Определителем матрицы A вида (11.5.2) называется ал- гебраическая сумма n! членов вида (11.5.3), составленная следующим образом: чле- нами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одно- му из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком "+" , если его индексы составляют четную подстановку, и со знаком "−" , если его индексы составляют нечетную подстановку.
– 397 –

Для записи определителя матрицы A мы будем использовать обозначение det A
либо a
11
a
12
. . . a
1n a
21
a
22
. . . a
2n a
n1
a n2
. . . a nn
(11.5.5)
Определитель второго порядка вычисляется следующим образом:
a
11
a
12
a
21
a
22
= a
11
a
22
− a
12
a
21
Приведем ряд важных свойств определителей.
Определение 11.5.8. Назовем транспонированием матрицы A вида (11.5.2)
такое преобразование, при котором ее строки становятся столбцами с тем же самым номером. Результат транспонирования матрицы A обозначим A
′
. Мож- но сказать, что транспонирование есть поворот матрицы (11.5.2) около главной диагонали.
Свойство 11.5.1. Определитель не меняется при транспонировании.
Из свойства 11.5.1 вытекает, что всякое утверждение, справедливое для строк определителя, справедливо также и для столбцов.
Свойство 11.5.2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то опре- делитель равен нулю.
Свойство 11.5.3. Если один определитель получен из другого перестановкой двух строк, то данные определители отличаются друг от друга только знаком.
Свойство 11.5.4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен ну- лю.
Свойство 11.5.5. Если все члены некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.
Свойство 11.5.6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки,
равен нулю.
Свойство 11.5.7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка вида
(11.5.5) представлены в виде суммы двух слагаемых:
a ij
= b j
+ c j
,
j = 1, . . . , n,
то определитель (11.5.5) равен сумме двух определителей, у которых все строки,
кроме i-й, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из сла- гаемых состоит из элементов b j
, а в другом — из элементов c j
Свойство 11.5.8. Если одна из строк определителя является линейной комби- нацией его других строк, то определитель равен нулю.
Свойство 11.5.9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
– 398 –