Файл: Математический анализ.pdf

Пусть
A =




α
11
α
12
. . . α
1n
α
21
α
22
. . . α
2n
α
n1
α
n2
. . . α
nn




— квадратная матрица порядка n × n.
Определение 11.14.3. Матрица вида A − λE называется характеристической матрицей для A. Здесь, как обычно, E — единичная матрица той же размерности,
что и A.
Характеристическую матрицу можно записать более подробно:
A − λE =




α
11
− λ
α
12
α
1n
α
21
α
22
− λ . . .
α
2n
α
n1
α
n2
. . . α
nn
− λ



 .
Определитель характеристической матрицы будет многочленом от λ степени n и со старшим членом (−1)
n
λ
n
. Свободный член в этом многочлене совпадает с опреде- лителем матрицы A.
Определение 11.14.4. Многочлен |A − λE| называется характеристическим многочленом матрицы A, а его корни — характеристическими корнями матрицы.
Из определения подобных матриц получаем, что подобные матрицы имеют оди- наковые характеристические многочлены и, следовательно, одинаковые характери- стические корни.
Если теперь ϕ — некоторое линейное преобразование в V
n
, то, как мы знаем,
матрицы этого преобразования в разных базах подобны, поэтому можно однозначно определить понятие характеристического многочлена линейного преобразования.
Определение 11.14.5. Характеристическим многочленом линейного преобра- зования ϕ называется характеристический многочлен матрицы этого преобразова- ния в любой базе. Его корни называются характеристическими корнями линейного преобразования.
Набор всех характеристических корней вместе с их кратностями называют спек- тром линейного преобразования.
Понятие характеристического многочлена играет большую роль при изучении линейных преобразований. Рассмотрим одно из его применений.
Определение 11.14.6. Пусть ненулевой вектор b обладает свойством bϕ = λ
0
b для некоторого действительного числа λ
0
. Тогда вектор b называется собственным вектором линейного преобразования, а число λ
0
— собственным значением линей- ного преобразования ϕ.
Так как, по определению собственного вектора,
bϕ − λ
0
b = b(ϕ − λ
0
ε) = 0
– 432 –

(здесь, как обычно, ε есть тождественное преобразование), то получаем, что линейное преобразование ϕ − λ
0
ε вырождено (ненулевой вектор b переводит в нулевой). По- этому ранг данного преобразования строго меньше n. Следовательно, определитель матрицы данного преобразования равен нулю. Отсюда имеем утверждение.
Теорема 11.14.2. Действительные корни характеристического многочлена ли- нейного преобразования ϕ, и только они, служат собственными значениями линей- ного преобразования.
Если бы мы рассматривали комплексное линейное пространство, то все корни характеристического многочлена являлись бы собственными значениями. В нашем случае необходимо рассматривать только действительные корни (которых может и не быть).
Пример 11.14.1. Показать, что матрица
A =

0 −1 1
0

не имеет действительных характеристических корней.
Решение. Это следствие того, что ее характеристический многочлен равен λ
2
+ 1.
Следовательно, она не имеет собственных значений и собственных векторов.
Охарактеризуем линейные преобразования с простым спектром, это означает,
что все характеристические корни такого преобразования действительны и различ- ны.
Теорема 11.14.3. Линейное преобразование ϕ задается в некоторой базе e
1
, e
2
,
. . . , e n
диагональной матрицей, если все векторы в этой базе являются собствен- ными векторами данного преобразования.
Теорема 11.14.4. Собственные векторы линейного преобразования, относящи- еся к различным собственным числам, образуют линейно независимую систему.
Таким образом получаем
Следствие 11.14.2. Для всякого линейного преобразования с простым спек- тром можно найти базу, в которой матрица этого преобразования будет диа- гональной.
11.15. Евклидовы пространства
11.15.1. Скалярное произведение. Понятие линейного пространства далеко не в полной мере обобщает понятия плоскости и трехмерного пространства. Здесь не определены углы между векторами, длина вектора, и поэтому невозможно раз- витие богатой геометрической теории, которая хорошо знакома школьникам. Но это положение можно исправить следующим путем.
На плоскости и в трехмерном пространстве вводится понятие скалярного произ- ведения векторов. С его помощью можно задать длину вектора и угол между век- торами. Мы введем скалярное произведение векторов в линейном пространстве V
аксиоматически.
Определение 11.15.1. Говорят, что в действительном линейном простран- стве V задано скалярное произведение векторов, если каждой паре векторов a, b ∈ V
поставлено в соответствие некоторое действительное число (a, b) (или a · b), на- зываемое скалярным произведением и обладающее следующими свойствами:
1) (a, b) = (b, a) для всех a, b ∈ V ;
– 433 –

2) (a + b, c) = (a, c) + (b, c) для всех a, b, c ∈ V ;
3) (αa, b) = α(a, b) для всех a, b ∈ V и любого действительного числа α;
4) если a 6= 0, то скалярный квадрат (a, a) строго положителен —
(a, a) > 0.
Из свойства 3) получаем, что скалярный квадрат нулевого вектора равен 0.
Определение 11.15.2. Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.
В любом n-мерном линейном пространстве V
n можно ввести скалярное произве- дение. Действительно, пусть e
1
, e
2
, . . . , e n
— некоторая база в V
n
. а векторы a, b имеют разложения a =
n
X
i=1
α
i e
i
,
b =
n
X
i=1
β
i e
i
Определим скалярное произведение (a, b) следующим образом:
(a, b) =
n
X
i=1
α
i
β
i
Легко проверить, что все свойства скалярного произведения здесь выполнены.
Поэтому скалярное произведение можно вводить разными способами, но при изу- чении его свойств будем исходить не из его конкретной реализации, а из аксиомати- ческого определения.
Будем обозначать евклидово пространство через E, а n-мерное евклидово про- странство через E
n
11.15.2. Ортогональные системы элементов.
Определение 11.15.3. Векторы a и b из E называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0:
(a, b) = 0.
Система векторов называется ортогональной, если все векторы из этой систе- мы попарно ортогональны между собой.
Теорема 11.15.1. Всякая ортогональная система векторов, не содержащая ну- левого вектора, линейно независима.
Доказательство. Пусть дана ортогональная система векторов a
1
, a
2
, . . . , a k
, не со- держащая нулевой вектор. Предположим, что некоторая линейная комбинация этих векторов равна 0:
α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ . . . + α
n a
n
= 0.
Умножим скалярно обе части данного равенства на вектор a i
и, в силу свойств скалярного произведения, получим
0 = (0, a i
) = (α
1
a
1
+ α
2
a
2
+ . . . + α
n a
n
, a i
) =
= α
1
(a
1
, a i
) + α
2
(a
2
, a i
) + . . . + α
k
(a k
, a i
) = α
i
(a i
, a i
).
Так как (a i
, a i
) > 0, то α
i
= 0, i = 1, 2, . . . , k.
2
Опишем процесс ортогонализации Грама–Шмидта линейно независимой систе- мы векторов. Он заключается в следующем. Рассмотрим линейно независимую си- стему векторов a
1
, a
2
, . . . , a k
. Положим b
1
= a
1
. Положим далее b
2
= α
1
b
1
+ a
2
– 434 –

Вектор b
2
отличен от нуля при любом α
1
. Подберем это число из условия, что вектор b
2
ортогонален вектору b
1
. Имеем
0 = (b
1
, b
2
) = (b
1
, α
1
b
1
+ a
2
) = α
1
(b
1
, b
1
) + (b
1
, a
2
).
Отсюда
α
1
= −
(b
1
, a
2
)
(b
1
, b
1
)
Предположим, что мы уже построили ортогональную систему ненулевых векторов b
1
, b
2
, . . . , b l
так, что каждый вектор b i
является линейной комбинацией векторов a
1
, a
2
, . . . , a i
. Положим b
l+1
= α
1
b
1
+ α
2
b
2
+ . . . + α
l b
l
+ a l+1
Тогда вектор b l+1
будет линейной комбинацией векторов a
1
, a
2
, . . . , a l+1
и b l+1 6= 0,
в силу линейной независимости первоначальной системы векторов. Нам необходимо добиться, чтобы вектор b l+1
был ортогонален векторам b i
, i = 1, 2, . . . , l. Имеем
0 = (b i
, b l+1
) = α
1
(b i
, b
1
) + . . . + α
l
(b i
, b l
) + (b i
, a l+1
) = α
i
(b i
, b i
) + (b i
, a l+1
).
Отсюда
α
i
= −
(b i
, a l+1
)
(b i
, b i
)
Продолжая этот процесс, построим искомую ортогональную систему векторов b
1
, b
2
,
. . . , b k
Теорема 11.15.2. Всякое конечномерное евклидово пространство имеет орто- гональную базу. Причем каждый ненулевой вектор входит в какую-нибудь ортого- нальную базу.
Определение 11.15.4. Вектор a называется нормированным, если его скаляр- ный квадрат равен 1
(a, a) = 1.
Если вектор a 6= 0, то нормированием называется переход к вектору b =
1
p
(a, a)
a.
Очевидно, что вектор b — нормированный.
Определение 11.15.5. База векторов e
1
, e
2
, . . . , e n
называется ортонормиро- ванной, если она ортогональна и все вектора e i
нормированы.
Из теоремы 11.15.2 получаем
Следствие 11.15.1. Конечномерное евклидово пространство обладает ортонор- мированными базами.
Если база e
1
, e
2
, . . . , e n
ортонормирована, то скалярное произведение векторов в этой базе принимает простой вид: пусть a =
n
X
i=1
α
i e
i
,
b =
n
X
i=1
β
i e
i
,
тогда
(a, b) =
X
i,j
α
i
β
j
(e i
, e j
) =
n
X
i=1
α
i
β
i
– 435 –

Определение 11.15.6. Евклидовы пространства E и E
′
называются изоморф- ными, если между векторами этих пространств можно установить такое вза- имно однозначное соответствие, при котором они изоморфны, как линейные про- странства, и при этом сохраняется скалярное произведение.
Теорема 11.15.3. Любые конечномерные евклидовы пространства E и E
′
, име- ющие одинаковую размерность, изоморфны между собой.
11.15.3. Неравенство Шварца.
Определение 11.15.7. Длиной вектора a в евклидовом пространстве называ- ется выражение
|a| =
p
(a, a).
Отметим следующие свойства длины:
1) |a| > 0, причем |a| = 0 тогда и только тогда, когда a = 0;
2) |αa| = |α||a| для любого вектора a и любого действительного числа α;
3) выполнено неравенство треугольника
|a + b| 6 |a| + |b|
для любых векторов a, b.
Чтобы доказать неравенство треугольника, мы нуждаемся в неравенстве Шварца
(Коши–Буняковского).
Теорема 11.15.4. Для любых векторов a, b справедливо неравенство Шварца
(a, b)
2 6
(a, a) (b, b),
причем это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда век- торы a и b — линейно зависимы.
Доказательство. Рассмотрим скалярный квадрат (a + λb, a + λb). Имеем
0 6 (a + λb, a + λb) = (a, a) + 2λ(a, b) + λ
2
(b, b).
Таким образом, квадратный трехчлен (относительно λ)
λ
2
(b, b) + 2λ(a, b) + (a, a)
является неотрицательным, поэтому его дискриминант неположителен. Расписывая этот дискриминант, получаем неравенство Шварца. Если данный квадратный трех- член для некоторого λ
0
равен 0, то получаем
(a + λ
0
b, a + λb) = 0.
По свойствам скалярного произведения имеем, что a + λ
0
b = 0,
т.е. векторы a и b — линейно зависимы.
2
Теперь уже нетрудно получить неравенство треугольника:
|a + b|
2
= (a + b, a + b) = (a, a) + 2(a, b) + (b, b) 66 |a|
2
+ 2|a| |b| + |b|
2
= (|a| + |b|)
2
Неравенство Шварца позволяет определить угол ϕ между векторами a и b.
Определение 11.15.8. Косинус угла ϕ между векторами a и b равен cos ϕ =
(a, b)
|a| |b|
– 436 –

Скажем несколько слов о введении скалярного произведения в комплексных ли- нейных пространствах. Определение скалярного произведения дается так же, только свойство 1) заменяется на следующее:
(a, b) = (b, a),
где знак черты означает комплексное сопряжение.
Комплексное линейное пространство с таким скалярным произведением называ- ется унитарным.
Все остальные свойства и определения, введенные в евклидовых пространствах,
остаются верными и для унитарных пространств.
11.16. Ортогональные и симметрические преобразования
11.16.1. Ортогональные преобразования и ортогональные матрицы.
Пусть дано следующее линейное преобразование неизвестных x
i
=
n
X
k=1
q ik y
k
,
i = 1, 2, . . . , n.
(11.16.1)
Матрицу этого преобразования обозначим через Q.
Определение 11.16.1. Линейное преобразование неизвестных вида (11.16.1),
обладающее свойством x
2 1
+ x
2 2
+ . . . + x
2
n
= y
2 1
+ y
2 2
+ . . . + y
2
n
,
(11.16.2)
называется ортогональным преобразованием, а его матрица Q — ортогональной матрицей.
Укажем на другие определения, эквивалентные данному. Подставляя формулы
(11.16.1) в тождество (11.16.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степе- нях неизвестных y k
, получим, что
Q
′
Q = E,
(11.16.3)
где Q
′
, как обычно, есть транспонированная матрица; E — единичная матрица.
Таким образом, для ортогональной матрицы выполнено условие (которое можно принять за определение)
Q
−1
= Q
′
Условие (11.16.3) можно сформулировать так: у ортогональной матрицы сумма квадратов элементов любой строки равна 1, а сумма произведений соответственных элементов любых двух различных строк равна 0.
Переходя в равенстве (11.16.3) к определителям, имеем
|Q
′
Q| = |Q
′
| |Q| = |Q|
2
= 1.
Следовательно, определитель ортогональной матрицы равен ±1. В частности, орто- гональное преобразование не вырождено.
Матрица, обратная к ортогональной, также ортогональна, поскольку
(Q
−1
)
′
= (Q
′
)
′
= Q = (Q
−1
)
−1
Произведением ортогональных матриц служит ортогональная матрица.
Теорема 11.16.1. Матрица перехода от ортонормированной базы евклидова пространства E

Доказательство. Пусть в E
n заданы две ортонормированные базы e
1
, e
2
, . . . , e n
и e
′
1
, e
′
2
, . . . , e
′
n с матрицей перехода Q:
e
′
= Qe.
Так как база e ортонормированная, то скалярное произведение любых двух векто- ров, в частности любых двух векторов из базы e
′
, равно сумме произведений соответ- ственных координат этих векторов в базе e. Поскольку e
′
также ортонормированная,
то скалярный квадрат каждого вектора из e
′
равен 1, а скалярное произведение лю- бых двух разных векторов равно 0. Отсюда для строк из координат векторов базы e
′
в базе e, а значит для строк матрицы Q, справедливы соотношения, характерные для ортогональной матрицы.
2
Пусть E
n
— n–мерное евклидово пространство.
Определение 11.16.2. Линейное преобразование ϕ пространства E
n называет- ся ортогональным, если оно сохраняет скалярный квадрат всякого вектора, т.е.
(aϕ, aϕ) = (a, a),
a ∈ E
n
(11.16.4)
Теорема 11.16.2. Линейное преобразование ϕ ортогонально тогда и только то- гда, когда оно сохраняет скалярное произведение любых векторов, т.е.
(aϕ, bϕ) = (a, b),
a, b ∈ E
n
Доказательство. Ввиду (11.16.4) имеем
((a + b)ϕ, (a + b)ϕ) = (a + b, a + b).
Тогда
((a + b)ϕ, (a + b)ϕ) = (aϕ + bϕ, aϕ + bϕ) =
= (aϕ, aϕ) + (aϕ, bϕ) + (bϕ, aϕ) + (bϕ, bϕ).
С другой стороны,
(a + b, a + b) = (a, a) + (a, b) + (b, a) + (b, b).
Используя (11.16.4) и свойства скалярного произведения, имеем требуемое:
(aϕ, bϕ) = (a, b).
2
Как следствие получаем, что при ортогональном преобразовании образы векто- ров любой ортонормированной базы сами составляют ортонормированную базу. И
обратно, если линейное преобразование переводит одну ортонормированную базу в ортонормированную, то оно ортогональное.
Теорема 11.16.3. Ортогональное преобразование евклидова пространства в лю- бой ортонормированной базе задается ортогональной матрицей. Обратно, если ли- нейное преобразование хотя бы в одной базе задается ортогональной матрицей, то оно ортогонально.
Рассмотрим матрицу
Q =

cos α
sin α
− sin α cos α

Матрица Q — ортогональна.
В унитарном пространстве, по аналогии с евклидовым, вводятся унитарные пре- образования — это линейные преобразования, сохраняющие скалярные квадраты лю- бых векторов.
– 438 –

Так же, как в евклидовом пространстве, можно показать, что унитарные пре- образования в ортонормированном базисе задаются так называемыми унитарными матрицами Q, т.е. матрицами со свойством
Q
′
= Q
−1
,
где черта означает, что элементами матрицы Q являются числа, комплексно сопря- женные к элементам матрицы Q.
11.16.2. Симметрические преобразования и симметрические матрицы.
Дадим определение симметрического преобразования.
Определение 11.16.3. Линейное преобразование ϕ в евклидовом пространстве
E называется симметрическим (или самосопряженным), если для любых векторов a и b этого пространства выполняется равенство
(aϕ, b) = (a, bϕ).
(11.16.5)
Примерами симметрических преобразований служат, очевидно, тождественное преобразование ε и нулевое преобразование ω.
Более общим примером симметрического преобразования является преобразова- ние ϕ, при котором всякий вектор умножается на фиксированное число α, т.е.
aϕ = αa,
a ∈ E.
Роль симметрических преобразований велика, и нам их надо изучить достаточно детально.
Определение 11.16.4. Матрица Q = (q ij
), i.j = 1, 2, . . . , n называется сим- метрической, если q
ij
= q ji
,
i, j = 1, 2, . . . , n,
т.е.
Q
′
= Q.
Теорема 11.16.4. Симметрическое преобразование конечномерного евклидова пространства E
n в любом ортонормированном базисе задается симметрической матрицей. И обратно, если линейное преобразование хотя бы в одном ортонорми- рованном базисе задается симметрической матрицей, то оно является симмет- рическим.
Доказательство. Пусть симметрическое преобразование ϕ задается в ортонор- мированном базисе e матрицей A = (α
ij
). Тогда имеем:
(e i
ϕ, e j
) =
n
X
k=1
α
ik e
k
, e j
!
= α
ij
,
(e i
, e j
ϕ) =
e i
,
n
X
k=1
α
jk e
k
!
= α
ji
Ввиду (11.16.5) получаем, что α
ij
= α
ji для всех i, j = 1, 2, . . . , n.
Обратно, пусть линейное преобразование ϕ задается в ортонормированном базисе e симметрической матрицей A = (α
ij
). Если b =
n
X
i=1
β
i e
i
,
c =
n
X
j=1
γ
j e
j
,
– 439 –

то bϕ =
n
X
i=1
β
i
(e i
ϕ) =
n
X
j=1
n
X
i=1
β
i
α
ij
!
e j
,
cϕ =
n
X
j=1
γ
j
(e j
ϕ) =
n
X
i=1
n
X
j=1
γ
j
α
ji
!
e i
Используя ортонормированность базиса e, получаем:
(bϕ, c) =
n
X
j,i=1
β
i
α
ij
γ
j
,
(b, cϕ) =
n
X
i,j=1
β
i
γ
j
α
ji
Симметричность матрицы A дает требуемое
(bϕ, c) = (b, cϕ).
2
Как следствие получаем, что сумма симметрических преобразований, а также их произведение являются симметрическими преобразованиями.
Теорема 11.16.5. Все характеристические корни симметрического преобразо- вания конечномерного евклидова пространства действительны.
Доказательство. В силу теоремы 11.16.4 нам достаточно доказать, что все ха- рактеристические корни симметрической матрицы A = (α
ij
) действительны.
Пусть λ
0
— корень (возможно комплексный) характеристического уравнения
|A − λE| = 0.
Тогда система линейных однородных уравнений n
X
j=1
α
ij x
j
= λ
0
x i
,
i = 1, 2, . . . , n,
имеет нулевой определитель, т.е. обладает ненулевым решением β
1
, β
2
, . . . , β
n
, вообще говоря, комплексным. Таким образом,
n
X
j=1
α
ij
β
j
= λ
0
β
i
,
i = 1, 2, . . . , n.
Умножая обе части i-го равенства на β
i и складывая эти равенства, получим n
X
i,j=1
α
ij
β
j
β
i
= λ
0
n
X
i=1
β
i
β
i
Коэффициент при λ
0
в этом равенстве является положительным числом. Покажем,
что и в левой части данного равенства стоит действительное число. Имеем n
X
i,j=1
α
ij
β
j
β
i
=
n
X
i,j=1
α
ij
β
j
β
i
=
=
n
X
i,j=1
α
ij
β
j
β
i
=
n
X
i,j=1
α
ji
β
j
β
i
=
n
X
i,j=1
α
ij
β
j
β
i
,
– 440 –

поэтому λ
0
— действительно.
2
Следствие 11.16.1. Если ϕ — симметрическое преобразование конечномерного евклидова пространства, то в этом пространстве существует ортонормирован- ная база, состоящая из собственных векторов данного преобразования.
Таким образом, в этой базе матрица симметрического преобразования диагональ- на.
11.17. Квадратичные формы
11.17.1. Квадратичные формы и их ранг. Дадим определение квадратич- ной формы.
Определение 11.17.1. Квадратичной формой f от n неизвестных x
1
, x
2
, . . . , x n
называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из неиз- вестных, или произведением двух разных неизвестных, умноженным на некоторый коэффициент.
Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимо- сти от того, являются ли ее коэффициенты действительными или комплексными.
Введем обозначения для коэффициентов формы: коэффициент при x
2
i обозначим через a ii
, а коэффициент при x i
x j
— через 2a ij
, предполагая, что x i
x j
= x j
x i
и a ij
=
a ji
. Тогда имеем f =
n
X
i=1
n
X
j=1
a ij x
i x
j
(11.17.1)
Из коэффициентов квадратичной формы можно составить матрицу A = (a ij
),
которая называется матрицей квадратичной формы f и является симметрической.
Определение 11.17.2. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы квадратичной формы. Если матрица невырожденная, то квадратичная форма f называется невырожденной.
Квадратичную форму f вида (11.17.1) можно записать по-другому. Обозначим через X вектор-столбец, составленный из неизвестных:
X =




x
1
x
2
x n



 .
X является матрицей, имеющей n строк и 1 столбец. Транспонируя ее, получим матрицу
X
′
= (x
1
, x
2
, . . . , x n
),
составленную из одной строки. Тогда квадратичная форма f может быть записана в виде f = X
′
AX.
(11.17.2)
Подвергнем неизвестные, входящие в квадратичную форму, линейному преобра- зованию с матрицей Q = (q ik
), т.е.
x i
=
n
X
k=1
q ik y
k
,
i = 1, 2, . . . , n.
– 441 –