Файл: Математический анализ.pdf

Рис 10.2.7. Трехсвязная область G с положительно ориентированной границей где на границе ∂G принята положительная ориентация.
Доказательство сформулированной теоремы можно провести по аналогии с до- казательством теоремы 10.2.2. На рисунке 10.2.8 (для двухсвязной области G) изоб- ражен разрез AB, который превращает область G в односвязную.
2
Рис 10.2.8. Область G с разрезом AB
Результат, сформулированный в теореме 10.2.3 имеет уже вполне достаточную общность. Однако проверка в конкретных случаях возможности разложить предло- женную область G на части специальных типов представляется иногда трудоемкой,
поэтому укажем без доказательства и другое — тоже весьма общее, но легко прове- ряемое условие для ∂G.
Теорема 10.2.4. Пусть граница плоской ограниченной области G состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Тогда, если функции P (x, y), Q(x, y),
∂P
∂y
,
∂Q
∂x непрерывны на G, то
ZZ
G

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dx dy =
Z
∂G
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
Рассмотрим теперь простейшее приложение формулы Грина.
– 343 –

10.2.4. Вычисление площади плоской области с помощью криволиней- ного интеграла. Пусть G — ограниченная плоская связная область с кусочно- гладкой границей. Запишем формулу Грина для этой области
ZZ
G

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dx dy =
Z
∂G
P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
и положим, что
P (x, y) = −y,
Q(x, y) = x.
Справедливость формулы Грина для таких функций не вызывает сомнений. Тогда
ZZ
G
2 dx dy =
Z
∂G
x dy − y dx и воспользовавшись очевидным равенством
ZZ
G
dx dy =
S(G), где S(G) — площадь области G, найдем, что
S(G) =
1 2
Z
∂G
x dy − y dx.
(10.2.4)
Выбирая функции P (x, y) и Q(x, y) соответствующим образом, можно получить и другие формулы для вычисления площади области G с помощью криволинейного интеграла. Например, если P (x, y) = 0, а Q(x, y) = x, то
S(G) =
Z
∂G
x dy.
Пример 10.2.1. Вычислить с помощью формулы (10.2.4) площадь астроиды
(рис. 4.8.3)

x = a cos
3
t,
y = a sin
3
t,
t ∈ [0, 2π].
Решение.
S(G) =
1 2
Z
G
x dy − y dx =
1 2
2π
Z
0
(a
2
cos
3
t · (3 · sin
2
t) cos t+
+ a
2
sin
3
t · (3 · cos
2
t) sin t) dt =
3a
2 2
2π
Z
0
(cos
4
t sin
2
t + sin
4
t cos
2
t) dt =
=
3a
2 2
2π
Z
0
cos
2
t sin
2
t dt =
3 8
a
2 2π
Z
0
sin
2 2t dt =
3 8
a
2 2π
Z
0 1 − cos 4t
2
dt =
3 8
a
2
π.
Пример 10.2.2. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл
J =
I
L
(x + y) dx − (x − y) dy,
где γ — эллипс x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1.
– 344 –

Решение. Здесь P (x, y) = x + y, Q(x, y) = −(x − y), поэтому
∂P
∂y
= 1,
∂Q
∂x
= −1 и
J = −2
ZZ
G
dx dy = −2 · πab (G — область, ограниченная эллипсом, πab — площадь этой области).
Пример 10.2.3. Проверить возможность использования формулы Грина для вы- числения криволинейного интеграла
I
γ
−y x
2
+ y
2
dx +
x x
2
+ y
2
dy,
где γ — окружность x
2
+ y
2
= 1.
Решение. Функции P (x, y) = −
x x
2
+ y
2
и Q(x, y) =
x x
2
+ y
2
терпят разрыв внутри круга в точке (0, 0), поэтому теоремы, которые обеспечивают возможность примене- ния формулы Грина, не могут быть использованы. Но в теоремах сформулированы достаточные условия и поэтому не выполнение этих условий еще не означает, что формула Грина к данному интегралу не применима. Проверим справедливость фор- мулы непосредственным вычислением криволинейного и двойного интегралов. Пусть
γ задается уравнениями

x = cos t,
y = sin t,
t ∈ [0, 2π].
Тогда
I
γ
−y x
2
+ y
2
dx +
x x
2
+ y
2
dy, =
2π
Z
0
(sin
2
t + cos
2
t) dt = 2π.
Но
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
=
x
2
+ y
2
− 2x
2
(x
2
+ y
2
)
2
−
−x
2
− y
2
+ 2y
2
(x
2
+ y
2
)
2
=
=
y
2
− x
2
− y
2
+ x
2
(x
2
+ y
2
)
2
≡ 0
и
ZZ
G

∂Q
∂x
−
∂P
∂y

dx dy = 0
Вывод: формула Грина не может быть использована для вычисления данного кри- волинейного интеграла.
Указания. Рассмотреть ту же задачу для криволинейного интеграла
Z
L
x x
2
+ y
2
dx +
y x
2
+ y
2
dy и убедиться в справедливости формулы Грина в этом случае.
Пример 10.2.4. Вычислить криволинейный интеграл
J =
Z
AO
(e x
sin y − my) dx + (e x
cos y − m) dy,
где AO — верхняя полуокружность x
2
+ y
2
= ax, a > 0, пробегаемая от точки A(a, 0)
до точки O(0, 0).
– 345 –

Решение. Непосредственно использовать формулу Грина для вычисления инте- грала J нельзя, т.к. кривая AO не замкнута. Прибавим к данному интегралу J такой же интеграл J
1
вдоль отрезка на оси Ox от точки O(0, 0) до точки A(a, 0). Легко про- верить, что J
1
= 0. Но сумма двух интегралов J +J
1
есть уже интеграл по замкнутому контуру γ и для его вычисления можно очевидным образом использовать формулу
Грина. Тогда
J = J + J
1
=
ZZ
G

∂
∂x
(e x
cos y − m) −
∂
∂y
(e x
sin y − my)

dx dy =
= m
ZZ
G
dx dy = m
πa
2 8
,
где G — верхняя половина круга x
2
+ y
2 6
x и
πa
2 8
— его площадь.
10.3. Теорема о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Пусть в некоторой плоской связной области G заданы две непрерывные функции
P (x, y) и Q(x, y). Рассмотрим криволинейный интеграл второго рода
Z
AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
(10.3.1)
где A и B — две какие-нибудь точки из области G, а AB —произвольная соединяющая их кусочно-гладкая кривая, которая целиком лежит в этой области.
Здесь записаны условия, которые заведомо обеспечивают существование интегра- ла (10.3.1).
Выясним, что нужно потребовать для того, чтобы величина этого интеграла ока- залась не зависящей от формы пути AB, т.е. однозначно определялась начальной и конечной точками A и B, где бы эти точки ни лежали.
Поведение интеграла (10.3.1) определяется свойствами дифференциального вы- ражения (дифференциальной формы)
P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
(10.3.2)
стоящего под знаком интеграла. Подобное выражение уже возникало при вычислении полного дифференциала функции двух переменных u(x, y):
du =
∂u
∂x dx +
∂u
∂y dy,
(10.3.3)
т.е. дифференциальная форма (10.3.2) превращается в полный дифференциал неко- торой функции u(x, y), если
P (x, y) =
∂u
∂x и Q(x, y) =
∂u
∂y
(10.3.4)
Оказывается, что и интеграл (10.3.1) не зависит от пути интегрирования именно в тех случаях, когда его подынтегральное выражение есть точный дифференциал
(выполняются условия (10.3.4)). Сформулируем этот результат строго.
Теорема 10.3.1. Пусть функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны в области G.
Тогда следующие три условия эквивалентны.
– 346 –

1. Для любой замкнутой (возможно самопересекющейся) кусочно-гладкой кри- вой γ, расположенной в области G выполняется равенство
I
γ
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.
2. Для любых двух точек A и B области G значение интеграла
Z
AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy не зависит от кусочно-гладкой кривой AB, соединяющей точки A и B и располо- женной в области G.
3. Дифференциальная форма
P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
представляет собой полный дифференциал некоторой функции u(x, y), которая определена в области G и непрерывно дифференцируема, т.е.
du = P (x, y) dx + Q(x, y) dy,
(x, y) ∈ G.
(10.3.5)
В этом случае для любых точек A и B из области G и для произвольной кусочно- гладкой кривой AB, соединяющей эти точки и расположенной в области G спра- ведливо равенство
Z
AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = u(B) − u(A).
(10.3.6)
Доказательство. Проведем доказательство по схеме
1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 1,
т.е. докажем, что из первого условия следует второе, из второго — третье, из третьего
— первое. Очевидно, что при этом будет доказана эквивалентность сформулирован- ных условий 1, 2, 3.
Первый шаг: 1 ⇒ 2. Пусть A и B —произвольные фиксированные точки обла- сти G, ACB и AC
′
B — любые две кусочно-гладкие кривые, соединяющие указанные точки и расположенные в G (рис. 10.3.1).
Объединение этих кривых представляет собой кусочно-гладкую (возможно само- пересекающуюся) замкнутую кривую γ = ACB + BC
′
A, расположенную в G. Так как условие 1 предполагается выполненным, то
I
L
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,
Z
ACBC
′
A
P (x, y) dx + Q(x, y) = 0,
Z
ACB
+
Z
BC
′
A
= 0,
Z
ACB
= −
Z
BC
′
A
,
Z
ACB
=
Z
AC
′
B
Следовательно, условие 2 выполняется.
– 347 –

Рис 10.3.1. Замкнутый контур γ = ACBC
′
A
Второй шаг: 2 ⇒ 3. Пусть M
0
— фиксированная точка, а M(x, y) — произвольная точка области G, M
0
M — любая кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки M
0
и
M и расположенная в области G.
Интеграл
Z
M
0
M
P (x, y) dx + Q(x, y) dy не зависит от вида кривой M
0
M (см. условие 2) и поэтому представляет собой неко- торую функцию u(M). Эта функция определена в области G и ясно, что u(M
0
) = 0.
Докажем существование частных производных
∂u
∂x
,
∂u
∂y и справедливость ра- венств (10.3.4) для (x, y) ∈ G. Начнем, например, с доказательства существования
∂u
∂x и первого из равенств (10.3.4). Зафиксируем точку M(x, y). Придадим аргументу x настолько малое приращение ∆x, чтобы отрезок M N , соединяющий точки M (x, y)
и N(x + ∆x, y), располагался в G (это всегда можно сделать, т.к. G — область, т.е.
открытое множество, рис. 10.3.2).
Вычислим частное приращение ∆
x u в точке M (x, y).
∆
x u = u(x + ∆x, y) − u(x, y) =
=
Z
M
0
M N
P dx + Q dy −
Z
M
0
M
P dx + Q dy =
Z
M N
P dx + Q dy.
Так как
Z
M N
Q(x, y) dy = 0, y = const на отрезке M N , то
∆
x u =
Z
M N
P (x, y) dx =
x+∆x
Z
x
P (t, y) dt.
Здесь использовалось параметрическое представление отрезка MN

x = t,
y = const, x 6 t 6 x + ∆x
– 348 –

Рис 10.3.2. Кривая M
0
M N, M
0
(x
0
, y
0
), M (x, y), N (x + ∆x, y)
и формула (10.1.19).
Применяя к интегралу x+∆x
Z
x
P (t, y) dt теорему о среднем, получим
∆
x u = P (x + θ∆x, y)∆x, где 0 < θ < 1,
откуда
∆
x u
∆x
= P (x + θ∆x, y), 0 < θ < 1.
В силу непрерывности функции P (x, y), правая часть последнего равенства имеет предел при ∆x → 0, равный значению P (x, y). Следовательно, и левая часть имеет тот же предел, равный по определению частной производной
∂u
∂x
. Таким образом, су- ществование частной производной и справедливость первого равенства (10.3.4) уста- новлены.
Существование частной производной
∂u
∂y
, а также справедливость второго равен- ства (10.3.4) доказывается аналогично.
Функции P (x, y) и Q(x, y) непрерывны в области G, что дает непрерывность част- ных производных
∂u
∂x
,
∂u
∂y
, (x, y) ∈ G и, в свою очередь, обеспечивает существование дифференциала (10.3.5), т.е. выполнение условия 3.
Докажем теперь соотношение (10.3.6). Пусть A и B — любые точки из области
G, AB — произвольная кусочно-гладкая кривая, соединяющая эти точки и располо- женная в G. Пусть эта кривая определяется параметрическими уравнениями

x = ϕ(t),
y = ψ(t), a 6 t 6 b
– 349 –

Используя правило вычисления криволинейных интегралов (формулу (10.1.19), а также (10.1.20)), получим
Z
AB
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
b
Z
a
{P (ϕ(t), ψ(t))ϕ
′
(t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ
′
(t)} dt =
=
b
Z
a u
′
t dt = u(ϕ(b), ψ(b)) − u(ϕ(a), ψ(a)) =
= u(B) − u(A).
Таким образом, формула (10.3.6)доказана.
Третий шаг: 3 → 1. Это утверждение следует из формулы (10.3.6). В самом де- ле, для замкнутой кривой γ начальная точка совпадает с конечной, и поэтому по формуле (10.3.6) имеем
I
γ
P dx + Q dy = u(A) − u(A) = 0.
Теорема доказана.
2
Замечание 10.3.1. Проверку условий 1 и 3 теоремы 10.3.1, которые представ- ляют собой необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути, иногда трудно осуществить. Укажем поэтому более удобное для приложений необходимое и достаточное условие. Его формулировка возможна только для односвязных областей.
Напомним одно из возможных определений односвязной области G: если лю- бая кусочно-гладкая несамопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в G,
ограничивает область, все точки которой принадлежат G, то область G — односвяз- на.
Теорема 10.3.2. Пусть функции P (x, y) и Q(x, y) и их частные производные непрерывны в односвязной области G. Тогда каждое из трех условий 1,2,3 теоремы
10.3.1 эквививалентно условию
4.
∂P
∂y
=
∂Q
∂x в G.
Доказательство. Применим схему
1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1,
где условия 1, 2, 3 сформулированы и их эквивалентность уже доказана в предыду- щей теореме 10.3.1. Докажем теперь, что 3 ⇒ 4 и 4 ⇒ 1.
Первый шаг: 3 ⇒ 4. Пусть в области G существует функция u(x, y) такая, что du = P (x, y) dx + Q(x, y) dy. Отметим, что из условий теоремы тогда следует, что функция u имеет непрерывные смешанные производные. Тогда
∂u
∂x
= P (x, y),
∂u
∂y
= Q(x, y)
или
∂
2
u
∂y∂x
=
∂P
∂y
,
∂
2
u
∂x∂y
=
∂Q
∂x
– 350 –

Но смешанные производные равны (условием этого является их непрерывность) и таким образом, условие 4 выполнено. Отметим, что для доказательства шага 3 ⇒ 4
условие односвязности области G не требуется.
Второй шаг: 4 ⇒ 1. Пусть выполнено условие 4. Тогда в каждой точке области G
справедливо равенство
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
= 0,
(10.3.7)
из которого по формуле Грина (10.2.1) следует условие 1.
Действительно, если γ — расположенная в G замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересечений, ограничивающая область G
∗
(область G — односвязна, и по- этому каждая точка области G
∗
принадлежит G), то к области G
∗
можно применить формулу Грина.
Доказательство можно провести и для случая, когда γ — произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая, возможно, с самопересечениями.
2
Пример 10.3.1. Пусть функции P (x, y) = −
y x
2
+ y
2
и Q(x, y) =
x x
2
+ y
2
заданы в единичном круге G
1
с центром в точке (0, 1) и пусть точки A и B лежат внутри G
1
Зависит ли интеграл I =
Z
AB
P dx + Q dy от вида кривой AB, соединяющей в круге
G
1