ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 976
Скачиваний: 1
6
екстремуми функції двох змінних;
– обчислювати невизначені інтеграли за таблицею, підстановкою і
частинами;
– обчислювати визначені інтеграли заміною змінної і частинами;
– обчислювати інтегралом площу плоских фігур;
– розв’язувати диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними,
однорідні і лінійні; розв’язувати лінійні однорідні рівняння із сталими
коефіцієнтами;
– досліджувати числові ряди на збіжність за необхідною та інтегральною
ознаками, ознаками Д'Аламбера, Коші та Лейбніца;
– знаходити область збіжності степеневого ряду.
Вимоги до виконання
розрахунково-графічної роботи
1.
Завдання кожної розрахунково-графічної роботи виконуються в
окремому учнівському зошиті в клітинку з обов’язковими полями.
2.
Номери завдань обираються відповідно до запропонованого
викладачем індивідуального варіанту.
3.
Обкладинку зошита слід оформляти так:
Розрахунково-графічна робота
з дисципліни «Вища математика»
студента (ки) 1 курсу 1 групи
спеціальності економіка підприємства
факультету економіки та менеджменту
Іванова Івана Івановича
4.
Перед розв'язанням задачі необхідно записувати повністю її умову.
Розв’язання завдань супроводжуються теоретичними відомостями, формулами,
стислими поясненнями та необхідними кресленнями.
7
ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ
РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНИХ РОБІТ
Розділ «Елементи лінійної алгебри»
Тема. Елементи теорії матриць і визначників
Визначники
Теоретичні відомості
Визначником другого порядку називається число, записане у вигляді
таблиці, яке дорівнює:
11
12
11 22
21 12
21
22
,
a a
a a
a a
a a
∆ =
=
−
де
11
a
,
12
a
,
21
a
,
22
a
– елементи визначника, при цьому елементи
11
a
,
22
a
утворюють головну діагональ визначника, а елементи
12
a
і
21
a
– побічну.
Отже, визначник другого порядку дорівнює різниці добутків елементів
головної та побічної діагоналей.
Визначник третього порядку – це число, одержане так:
11
12
13
21
22
23
11 22
33
21 32 13
12
23 31
31 22 13
21 12
33
31
32
33
32
23 11
.
a a а
a a а
a a a
a a а
a a а
a a а
a a а
a a а
a a а
∆ =
=
+
+
−
−
−
Існує правило, яке називають правилом трикутника, або правилом
Саріуса, яке дозволяє легко обчислити визначник 3-го порядку:
Існує ще один спосіб обчислення визначника третього порядку – так
зване правило Пікара. Допишемо до визначника перший і другий стовпці, а далі
перемножатимемо елементи, що розміщені на одній лінії, як показано на схемі:
+
–
8
− − −
+ + +
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
21
31
12
22
32
Добуток елементів, які розміщені на лініях, що йдуть згори ліворуч униз
праворуч, береться зі знаком «+». Добуток елементів, розміщених на лініях, що
йдуть згори праворуч униз ліворуч, береться зі знаком «–».
Для обчислення визначників вищого порядку застосовують теорему
Лапласа, за допомогою якої здійснюється розклад визначника п-го порядку за
елементами рядка або стовпчика. За допомогою властивостей визначника,
визначник зводиться до вигляду, у якому всі елементи дорівнюють нулю, крім
одного елемента деякого рядка або стовпчика. Розкладаючи потім визначник за
елементами цього рядка або стовпчика, зводимо задачу обчислення визначника
п-го порядку до обчислення одного визначника (п – 1)-го порядку.
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1.Обчислити визначник 2-го порядку
1
2
4
3
.
Розв’язання.
1
2
1 3 4 2
5.
4
3
= ⋅ − ⋅ = −
Приклад 2. Обчислити визначник 3-го порядку
1
2
1
3
0
1
4
2
3
−
−
.
Розв’язання.
1
2
1
3
0
1
1 0 ( 3)
2 1 4
( 1) 3 2
( 1) 0 4 1 1 2
2 3 ( 3) 18.
4
2
3
−
∆ =
= ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − =
−
Приклад 3.Обчислимо визначник третього порядку
1
2
3
2
2
1
3
1
2
∆ =
.
Розв’язання.
За правилом Пікарамаємо:
9
1
2
2
3
2
1
2
1
3
1
2
2
3
2
1
і знайдемо значення визначника:
∆
= 1
⋅
2
⋅
2 + 2
⋅
1
⋅
3 + 3
⋅
2
⋅
1 – 3
⋅
2
⋅
3 – 1
⋅
1
⋅
1 – 2
⋅
2
⋅
2 = –11
Приклад 4.Обчислити визначник 4-го порядку
0
-2
7
0
1
3
1
1
1
-2
2
0
0
0
5
-1
Розв’язання.
0
-2
7
0
1
3
1
1
1
-2
2
0
0
0
5
-1
3
1
1
1
1
1
1
3
1
1
3
7
0
2
2
0
2 1
2
0
7 1
2
0
0 1
2
2
43.
0
5
1
0
5
1
0
0
1
0
0
5
∆ =
=
= ⋅ −
+ ⋅
+ ⋅
−
− ⋅
−
=
−
−
−
Матриці, дії з ними
Теоретичні відомості
Над матрицями можна виконувати наступні дії: множення матриці на
число, відмінне на число; додавання (віднімання) матриць; множення матриць.
При множенні матриці на число, відмінне від нуля, треба помножити на
це число кожен елемент матриці.
Додавати можна тільки матриці однакового розміру. Для цього треба
додати (відняти) відповідні елементи матриць.
Добуткомматриці
A
( )
m p
×
на матрицю
B
(
)
p
n
×
називається матриця
C
(
)
m n
×
, елементи якої дорівнюють сумі добутків відповідних елементів
i
- го
рядка матриці
A
на відповідні елементи
j
-го стовпця матриці
B
, тобто:
1 1
2 2
...
ij
i
j
i
j
ip
pj
c
a в
a в
a в
=
+
+ +
,
(i 1,2,...,m)
=
,
(j 1,2,...,n)
=
.
Це означення називають правилом множення рядка на стовпець.
10
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1. Знайти добуток заданих матриць:
1
0
3
2
1
5
;
4
1
2
3
4
2
3
1
0
A
B
−
=
=
−
−
Розв’язання.
1
0
3
2
1
5
4
1
2
3
4
2
3
1
0
A B
−
⋅ =
⋅
− =
−
2 1 1 4
5 3
2 0 1 1 5 1
2 3 1 ( 2)
5 0
9
4
4
.
3 1 4 4
2 3 3 0
4 1 2 1 3 3 4 ( 2)
2 0
7
2 17
⋅ + ⋅ − ⋅
⋅ + ⋅ − ⋅
⋅ + ⋅ − − ⋅
−
−
=
=
⋅ − ⋅ + ⋅
⋅ − ⋅ + ⋅
⋅ − ⋅ − + ⋅
−
−
Приклад 2.Знайти матрицю, обернену до даної:
5
6
4
3
3
2
4
5
2
A
−
=
−
−
.
Розв’язання.
Обернену матрицю знайдемо за формулою:
11
12
13
1
21
22
23
31
32
33
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
−
=
⋅
Обчислюємо визначник даної матриці:
5
6
4
1
6
4
1
0
0
3
3
2
0
3
2
0
3
2
1( 6 10)
4
4
5
2
1
5
2
1
5
2
A
−
−
−
−
=
−
=
−
=
−
= − − +
= −
−
−
−
−
−
Оскільки
0
A
≠
, то матриця
A
не вироджена (неособлива) і тому має
обернену матрицю
1
A
−
. Знайдемо алгебраїчні доповнення елементів
визначника
A
:
11
21
31
12
22
32
13
23
33
3
2
6
4
6
4
( 6 10)
4;
8;
0;
5
2
5
2
3
2
3
2
5
4
5
4
(6 8)
2;
6;
2;
4
2
4
2
3
2
3
3
5
6
5
6
15 12
3;
1;
3
4
5
4
5
3
3
A
A
A
A
A
A
A
A
A
−
−
−
=
= − +
=
=
= −
=
=
−
−
−
= −
= − − =
=
= −
= −
=
−
−
−
=
= − + = −
= −
=
=
=
−
−
−