ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.11.2021
Просмотров: 978
Скачиваний: 1
11
Отримуємо шукану обернену матрицю:
1
4
8
0
1
2
6
2
4
3
1
3
A
−
−
= −
−
−
.
Перевірка:
1
A A
E
−
⋅
=
.
Знайдемо добуток двох матриць.
1
5
6
4
4
8
0
1
0
0
1
3
3
2
2
6
2
0
1
0
4
4
5
2
3
1
3
0
0
1
AA
E
−
−
−
= −
−
−
=
=
−
−
.
Тема. Загальна теорія систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Теоретичні відомості
Метод Крамера розв’язування систем n рівнянь з nневідомими
Нехай дано систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
11 1
12
2
13 3
1
21 1
22
2
23 3
2
31 1
32
2
33 3
3
,
,
,
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
+
+
=
+
+
=
+
+
=
де
11
a ,
12
a , …,
33
a – коефіцієнти системи, b
1
, b
2
, b
3
– вільні члени.
Введемо позначення:
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
∆
;
1
12
13
1
2
22
23
3
32
33
b
a
a
b
a
a
b
a
a
∆ =
;
11
1
13
2
21
2
23
31
3
33
a
b
a
a
b
a
b
b
a
∆ =
;
11
12
1
3
21
22
2
31
32
3
a
a
b
a
a
b
b
a
b
∆ =
.
Отже, якщо визначник системи не дорівнює нулю, то система має єдиний
розв’язок. Цей розв’язок знаходимо за формулами Крамера:
1
1
х
∆
=
∆
;
2
2
х
∆
=
∆
;
3
3
х
∆
=
∆
, де
∆
– основний визначник системи, а
3
2
1
,
,
∆
∆
∆
–допоміжні визначники, одержані з основного визначника заміною
відповідно І, ІІ, ІІІ стовпця вільними членами.
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1.Розв’яжемо за формулами Крамера систему рівнянь:
1
2
1
2
2
3
12 ,
4
5
2 .
x
x
x
x
+
=
−
=
Запишемо відповідні визначники і знайдемо розв’язки системи рівнянь:
12
1
2
1
2
2
3
12
3
2 12
22,
66,
44 ;
4
5
2
5
4
2
66
44
3,
2 .
22
22
x
x
∆ =
= −
∆ =
= −
∆ =
= −
−
−
−
−
=
=
=
=
−
−
Приклад 2.Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
1;
3
2
0;
4
3
2.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
− =
−
+ +
=
+
+
=
Розв’язання.
Визначники системи:
1
1
2
1
1
2
1
3 1
2
30
0;
0
1
2
5;
1
4
3
2
4
3
−
∆ = −
=
≠
∆ =
=
2
3
1
1
1
1
2
1
3
0
2
13;
3 1
0
1
1
2
3
1
4
2
−
∆ = −
=
∆ = −
=
Обчислимо невідомі за формулами Крамера:
1
2
3
1
2
3
;
;
x
x
x
∆
∆
∆
==
=
=
∆
∆
∆
Шуканий розв’язок:
1
2
3
5
1
13
1
;
;
30
6
30
30
x
x
x
=
=
=
=
.
Відповідь:
1 13
1
;
;
6 30 30
.
Матричний метод розв’язування систем n рівнянь з n невідомими
Теоретичні відомості
Щоб розв’язати систему рівнянь матричним методом необхідно:
1) Записати основну матрицю коефіцієнтів при невідомих
A
, матрицю -
стовпчик із невідомих
X
, матрицю - стовпчик із вільних членів
B
.
2) Обчислити визначник матриці
A
,
A
. Якщо
0
A
=
, тоді система
розв’язку не має. Якщо ж
0
A
≠
, то переходимо до наступного кроку.
3) Знайти матрицю, обернену до матриці системи, тобто
1
A
−
і помножити
її справа на матрицю з вільних членів
B
. Одержаний при цьому матриця-
стовпець
1
X
A
B
−
=
⋅
і буде розв’язком системи.
13
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь матричним методом:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
7;
4
3
1;
8
3
6
2.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ + =
− +
=
−
+
= −
Розв’язання.
Нехай
A
– матриця системи, що складається з коефіцієнтів при
невідомих;
X
– матриця-стовпець невідомих
1
2
3
;
;
x x x та
B
– матриця-стовпець
вільних членів:
1
2
3
2
1 1
7
4
1 3 ;
;
1
8
3 6
2
x
A
X
x
B
x
=
−
=
=
−
−
Маємо матричне рівняння:
.
A X
B
⋅ =
Звідси
1
.
X
A B
−
=
Знайдемо
обернену матрицю
1
A
−
.Визначник матриці
A
системи:
2
1
1
4
1 3
2
0
8
3 6
∆ =
−
= ≠
−
.
Обчисливши алгебраїчні доповнення його елементів, отримуємо
обернену матрицю:
1
3
9
4
1
0
4
2
2
4
14
6
A
−
−
=
−
−
−
.
Одержуємо:
1,5
4,5
2
7
10,5
4,5
4
2
0
2
1
1
0
2
2
4 ,
2
7
3
2
14
7
6
1
X
−
−
−
=
− ⋅
=
+
+ =
−
−
−
−
+
+
−
тобто шуканий розв’язок:
1
2
3
2;
4;
1
x
x
x
=
=
= −
.
Відповідь: (2; 4; -1).
Метод Гаусса розв’язування систем n рівнянь з n невідомими
Теоретичні відомості
Метод Гаусса розв’язування системи т лінійних рівнянь з п невідомими
являє собою метод послідовного виключення змінних з рівнянь системи.
Розв’язання СЛАР методом Гаусса можна умовно розділити на 2 етапи: прямий
та зворотний хід.
14
Метод Гауса полягає в послідовному виключенні змінних (невідомих) з
рівнянь системи.
11 1
12
2
1
1
21 1
22
2
2
2
1 1
2
2
...
,
...
,
...........................................
...
.
п
п
п
п
т
т
тп
п
т
а х
а х
а х
b
а х
а х
а х
b
а х
а
х
а х
b
+
+ +
=
+
+ +
=
+
+ +
=
Прямий хід: за допомогою першого (робочого) рівняння з усіх наступних
рівнянь виключимо х
1
, для чого перше помножимо на
21
11
а
а
і віднімемо від
другого, потім – на
31
11
а
а
і віднімемо від третього і т.д.Одержимо систему,
еквівалентну даній:
11 1
12
2
1
1
22
2
2
2
2
2
...
,
...
,
............................. .............
...
.
п
п
п
п
т
тп
п
m
а х
а х
а х
b
а х
а х
b
а х
а х
b
+
+ +
=
′
′
′
+ +
=
′
′
′
+ +
=
Припустивши, що
22
0
а
′ ≠
, аналогічно виключимо
2
x
з третього і
наступних рівнянь (перше рівняння на даному етапі вже виконало свою місію і
в подальших перетвореннях участі не бере, а переписується без змін; робочим
тепер є друге рівняння).
Продовжуючи процес послідовного виключення невідомих, ми побачимо,
що система набуває простішого виду. Пропускаючи деякі моменти, зауважимо,
що зворотний хід методу починається з відшукання (або вираження) певної
змінної із останнього рівняння системи, після чого знаходять значення інших
змінних (або виразів для них), послідовно повертаючись від останнього до
першого рівняння.
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1. Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусcа:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
2;
5
8
2
12;
3
3
4.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
−
+
= −
+
+
=
Розв’язання.
Прямий хід методу Гаусса. Виключимо з останніх двох рівнянь
1
x
. Для
цього помножимо перше рівняння на
( )
5
−
і додамо до другого рівняння, потім
15
обидві частини першого рівняння помножимо на
( )
3
−
і додамо до третього
рівняння. В результаті отримуємо систему, еквівалентну даній:
1
2
3
2
3
2
3
2
2
2;
2
8
22;
7
3
2.
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
−
= −
−
= −
(1)
Поділивши обидві частини другого рівняння системи (1) на
2
, отримаємо
систему:
1
2
3
2
3
2
3
2
2
2;
4
11;
7
3
2.
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
−
= −
−
= −
(2)
Потім виключимо з третього рівняння системи (2) змінну
2
x
. Для цього
обидві частини другого рівняння цієї системи помножимо на
( )
7
−
і додамо до
третього рівняння. В результаті отримуємо систему:
1
2
3
2
3
3
2
2
2;
4
11;
25
75.
x
x
x
x
x
x
−
+
=
−
= −
=
(3)
Зворотний хід методу Гаусса. З останнього рівняння знаходимо:
3
3.
x
=
З другого рівняння відшукаємо значення змінної
2
:
x
2
3
11 4
11 4 3 1
x
x
= − + ⋅ = − + ⋅ =
З першого рівняння знайдемо значення змінної
1
:
x
1
2
3
2
2
2
2
2 1 2 3
2.
x
x
x
= + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ = −
Таким чином, шуканий розв’язок системи:
1
2;
x
= −
2
1;
x
=
3
3.
x
=
Відповідь: (-2; 1; 3).
Приклад 2.Розв’язати систему лінійних рівнянь методом Гаусcа:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
2,
0,
3
2,
3
4
3
0.
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
х
+
+
=
− + =
+ − = −
+
+
=
Розв’язання.
Записуємо розширену матрицю системи і виконуємо над нею елементарні
перетворення: