Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Скачать файл (3,25Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.11.2023

Просмотров: 155

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

частичных отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких порядков, то ошибка соответствующего метода численного интегрирования должна уменьшиться. В методе Симпсона в качестве функции, с помощью

которой на частичных отрезках интегрирования заменяется исходная

функция

fx^,^{выбрана}^{парабола.}

Пояснение. Более высокая точность вычисления интегралов обеспечивается при использовании параболической аппроксимации (полиномом второй

степени)

y ax²  bx c

по трем соседним точкам. Для нахождения

^{коэффициентов}^a^,b^и^c^{полинома,}^{проходящего}^через^точкиx₀, y₀^,

x₁, y₁^,x₂, y₂^,^{требуется}^найти^{решение}^{следующей}^{системы}^{линейных}уравнений

^y₀ ax²  bx

_0 0

1
_y₁ ax²  bx₁ c,

^y₂ ax²  bx c,

_2 2

относительно неизвестных a, b, c.

Разделим отрезок интегрирования a,b

на четное число nравных от-

^рез^к^ов^с^ш^а^га^м^иh^.^Н^а^ка^ж^дом^о^т^рез^к^еx_i_₁, x_i_₁

длиной

2h, содержащем

три узла x_i_₁, x_i, x_i_₁, заменим подынтегральную функцию полиномом вто- рой степени _ix  ax²  bx c. Пример представлен на рис. 5.

Рис. 5. Пример замены функции

y fx ^{параболой.}

Для рассматриваемого примера значения коэффициентов a, bи cмо- гут быть вычислены следующим образом:

^ah²  bh c

^fi1 ^,


^c f,

i


^ah²  bh c

^fi1 ^,

^откудаc

f_i^,

2ah²  2 f_i

^fi1 ^

f_i_₁, a

f_i_₁ 2 f_i

2h²

^fⁱ^¹, а b

^fi1 ^

2h

^fi1 _.

В результате рассматриваемый полином второй степени примет вид

fx  _i

x 

f_i

^fi1 ^

2h

^fi1 _x_

f_i_₁ 2 f_i

2h²

^fi1 _x²_.

^И^нтег^ри^р^у^я^п^р^и^в^е^д^е^н^н^ое^в^ы^р^а^же^н^ие^на^от^р^езкеx_i_₁, x_i_₁^,^по^л^у^ч^и^м

^xi1

^xi1 _

f  f

f  2 f f ₂ _h

__ixdx _

__f_i_i1 i1 _x_i1 i i1 _x

_dx

 f_i_₁ 4 f_i f_i_₁.

(3.7)

^xi1

^xi1 ^²^h

2h² _³

Приближенное значение интеграла на исходном отрезке интегрирова-

ния a,b

получим суммированием частичных интегралов (3.7) по всем от-

^резкамx_i_₁, x_i_₁^:

b
  

__hn21__

  

I _f

a

xdx



³i0

^f2i

⁴^f2i1

^f2i2

(3.8)

 ^h f

₃0

 4 f₁

 2 f₂

 4 f₃

 2 f₄

 ...  2 f
n2

n1 ^

f_n.

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или

формулой парабол, в соответствии с которой искомый определенный

интеграл вычисляется как суммарная площадь параболических сегментов на ^все^х^ч^а^ст^и^чн^ых^от^р^езках^инт^е^г^ри^ро^в^а^н^ияx_i_₁, x_i_₁^.

Если подынтегральную функцию

fx

заменять полиномом второй

^степ^е^ни^на^от^р^ез^к^а^хx_i_₁, x_i^,

i 1, n, с привлечением дополнительных точек

_x_^xi^^xi1 _,

i ₂

i 1, n

– середин данных отрезков, то число отрезков разбиения

nможет быть любым (не обязательно четным), а формула (4.8) будет иметь вид:

b _h_n

_f_x_dx ₆__f_i_₁ 4 f_i

f_i_

_ai1

 ^h_f 4 f 2 f 4 f

 ...  2 f

 4 f f_

(3.9)

₆0 1 1 2

n1 n n

Напомним, что

f_i

fx_i^,

^fi1 ^

fx_i_₁^,

f_i

fx_i, i 1, n.

Замечание 1. Формула (3.8) может быть использована для вычисления интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и таблично, тогда как формула (3.9) применима только в тех случаях, когда подынтегральная функция задана аналитически.

Замечание 2. Рассмотренные формулы, используемые для приближенного вычисления интегралов, называются квадратурными формулами. Нетрудно заметить, что все рассмотренные выше формулы имеют следующую структуру:

b _n

_fxdx _A_if_i,

_ai0

где

f_i^–^{значения}^{подынтегральной}^{функции}^в^{узловых}^точках

x_i^,^а

A_i^–

весовые коэффициенты.

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 ... 15

Смотрите также файлы

Реферат по дисциплине Управление поведением сотрудников.docx

Фгбоу во Уральский государственный педагогический университет.docx

Программа по анатомии и физиологии человека.pdf

Фундаменты мелкого заложения. Практическое задание 1.docx

Особенности сестринского ухода за пациентами с вичинфекцией. Основы профилактики.doc

Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно