Файл: Методические указания по выполнению курсовой работы по дисциплине (модулю) Введение в математический анализ.docx
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.11.2023
Просмотров: 145
Скачиваний: 1
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
S1
c1
f xdx,
b
S2
f xdx
a c2
могут быть вычислены с помощью любого из рассмотренных выше методов с
точностью до
y
каждый.
4
y0 a c
а
b 0 a c b
б
Рис. 7. Подынтегральная функция обращается в бесконечность в некоторой точке отрезка интегрирования:
а) с двух сторон от нее; б) с одной стороны от нее.
Для приближенного вычисления сходящегося несобственного инте-
грала с заданной точностью выбирают положительные числа 1 и 2
малыми, чтобы имело место неравенство
столь
c2
c1
f xdx
2(4.2)
Тогда
b
f(x)dx S1 S2
a
с точностью до .
Если точка разрыва подынтегральной функции является концевой для отрезка интегрирования a,b, то методика вычисления интеграла очевидным
образом видоизменяется.
-
Интегралы с бесконечными переделами
Рассмотрим интеграл с бесконечной границей интегрирования, напри-
мер
fxdx. По определению
a
f xdx
a
A
lim f xdx
A
a
Один из универсальных способов вычисления подобных интегралов заключается в их представлении в виде суммы двух интегралов:
A
f xdx fxdx f xdx,
a a A
где A– некоторое большое положительное число, рис. 8.
yy fx
x
0 a A
Рис. 8. Иллюстрация вычисления интеграла с бесконечной границей интегрирования.
Вычисление первого интеграла на конечном отрезке a, A не вызывает затруднений. Он может быть вычислен с помощью любого из рассмотренных
выше методов с точностью до .
2
Выбор числа Aпроизводят таким образом, чтобы
f xdx .
A 2Замечание. В некоторых случаях при вычислении несобственных интегралов подходящая замена переменной интегрирования позволяет вообще избавиться от рассмотренных выше особенностей. Так, например, при
1 cos x
вычислении интегралаI
0
dxимеется особенность в точке
x 0, где
подынтегральная функция обращается в бесконечность. С помощью заменый
переменной
x t2 ( dx 2tdt) приходим к интегралу
1
I 2cos t2dt,
0
который не имеет особенностей и вычисляется с требуемой точностью с
применением любого из рассмотренных в данной главе методов.ЗАДАНИЕ 3
Задача 1. Представить интеграл в виде суммы двух интегралов. Найти пределы интегрирования, позволяющие вычислить интеграл с точностью до
0.005 для нечетных вариантов, до 0.0001 для четных вариантов.
Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения на части (методом пристального взгляда), с помощью которого интеграл делится на две части:
∫5₁(????/(????² + ???? + 1))???????? = ∫₅₀(????/(????² + ???? + 1))???????? + ∫₅₁(????/(????² + ???? + 1))????????
Заметим, что первый интеграл сходится, поэтому остается вычислить только второй интеграл.
Для начала найдем корни знаменателя уравнения x² + x + 1 = 0:
x₁,₂ = (-1 ± sqrt(1 - 4*(-1)))/2 = (-1 ± i*sqrt(3))/2.
Так как интеграл нечетный, то для достижения точности ε = 0.005 мы можем ограничить пределы интегрирования на отрезке [1,5] и приблизительно оценить максимальное значение функции под знаком интеграла в данном отрезке. Так как функция монотонно убывает на отрезке [1,5], она достигает максимума при x=1, а значит можем оценить ее как 1/(1+1+1) = 1/3.
Тогда оценим необходимое количество интервалов N для вычисления второго интеграла:
N ≥ ((5-1)/h) = 4/h, где h = ε/M = 0.005/0.333 = 0.015.
N должно быть нечетным, поэтому округлим N до ближайшего нечетного числа и получим N = 267.
Теперь разделим отрезок [1,5] на N равных подотрезков и вычислим значения функции в узлах разбиения. Затем применим формулу численного интегрирования средней точки для каждого подотрезка и сложим полученные значения:
∫₅₁(????/(????² + ???? + 1))???????? ≈ h * (f(x₀+1/2) + f(x₁+1/2) + ... + f(x_N-1+1/2)),
где xi = 1 + i*h, i = 0,1,...,N-1; x_i+1/2 = (xi + x(i+1))/2; h = (5-1)/N.
Полученное значение интеграла будет иметь точность до ε = 0.005.
Аналогично для четных вариантов, чтобы достичь точности ε = 0.0001, оценим максимальное значение функции на отрезке [1,5] как 1/(1+5+1) = 1/7 и применим формулу численного интегрирования трапеций с шагом h = ε/M = 0.0001/0.143 = 0.0006993.
N ≥ ((5-1)/h) = 5714.
Округлим N до ближайшего четного числа и получим N = 5714.
Задача