Файл: Расчет валов на статическую, усталостную прочность и жесткость Рекомендовано редакционноиздательским советом угату в качестве учебного пособия уфа 200 3.doc

X

,

откуда

.

Перенесем вектор силы N₁ на ось вала. При этом в сечении D возникнет сосредоточенный изгибающий момент равный

.

Радиальное усилие R₂ найдем по формуле

.

Силовые факторы, лежащие в вертикальной плоскости, вызовут в подшипниках реакции R_Cy и R_By, а в горизонтальной – R_Czи R_Bz. Величины этих реакций определим, как для балки, лежащей на двух опорах.

Видно (рис. 5.2, а), что вал работает на совместное действие растяжения (сжатия), кручения и изгиба в вертикальной (yx) и горизонтальной (zx) плоскостях. Рассмотрим каждую деформацию отдельно, используя принцип независимости действия сил.

Для нахождения опасной точки вала установим, как меняются по длине вала внутренние силовые факторы, то есть построим их эпюры.

0. 
   ^{Построение эпюр внутренних силовых факторов}
   

Растяжение (сжатие). Вал нагружен двумя сосредоточенными продольными силами: N₁ и реакцией R_Cx = N₁в опоре С (рис. 5.2, б), которые вызывают на участке CD растяжение. Построим эпюру нормальных сил ЭN (рис. 5.2, в).

Кручение. Два скручивающих момента T₁ и T₂(рис. 5.2, г) вызывают кручение на участке АD. Эпюру крутящих моментов ЭT строим так же, как и при чистом кручении (рис. 5.2, д).

Изгиб в вертикальной плоскости yx (рис. 5.2, е). Эпюра ЭM_z изгибающих моментов относительно оси z строится от сил Р₂,R₁,R_Cy и R_By и изгибающего момента , действующих в вертикальной плоскости. Из уравнений статического равновесия определим R_Cy и R_Dy

---

:



откуда



Проверим правильность определения реакций. Для этого запишем уравнения статического равновесия в виде суммы проекций всех сил F_iна ось y:

.

Следовательно, реакции и найдены верно.

Так как балка нагружена только сосредоточенными силовыми факторами, то изгибающий момент M_zна всех участках будет постоянен или меняться по линейному закону. Вычислим изгибающие моментыM_z в сечениях A, C, Dи B:









По полученным значениям строим эпюру ЭM_z (рис. 5.2, ж).

Изгиб в горизонтальной плоскости zx (рис. 5.2, з). Эпюра ЭM_y изгибающих моментов относительно оси y строится от сил Р₁и R₂. Из уравнений статического равновесия определим реакции в опорах C и D (R_Cz и R_Dz):

;

,

откуда

;



Для проверки правильности определения реакций запишем уравнения статического равновесия в виде суммы проекций всех сил F_iна ось z:

.

Следовательно, реакции

---

и найдены верно.

Изгибающий момент M_yна всех участках будет постоянен или меняться по линейному закону, так как балка нагружена только сосредоточенными силовыми факторами. Вычислим изгибающие моментыM_y в сечениях A, C, Dи B:

;

;

;

.

По полученным значениям изгибающих моментов строим эпюру ЭM_z (рис. 5.2, и).

Построение эпюры суммарных изгибающих моментов. Поскольку вал имеет круглое поперечное сечение, определим в сечениях величину суммарного изгибающего момента . В сечениях A, C, Dи Bих значения будут соответственно равны

;

;



.

По полученным данным построим эпюру суммарных изгибающих моментов ЭM_и (рис. 5.2, к).

0. 
   ^{Расчет диаметра вала}
   

Для определения опасного сечения находим величины эквивалентных моментов по третьей теории прочности . Тогда сечениях A, C, D и В вала:

;

;

---

.

Анализ результатов показывает, что опасным является сечение С, в котором эквивалентный момент достигает максимального значения и равен .

Найдем допускаемое напряжение . Так как сталь 40ХНМА пластична, то за _пред принимаем _Т. Согласно [3, c.648] _Т = (8501600) МПа, коэффициент запаса для пластичных материалов n = 1,52. Примем _Т = 1150 МПа, n = 2, тогда .

Из условия прочности

,

где – осевой момент сопротивления для круглого поперечного сечения диаметром d, определим расчетный диаметр вала

23мм.
В соответствии с ГОСТ 6636-69 (ряд Ra40) округляем d_расч до ближайшего большего значения и принимаем d = 24мм (см. прил. I, табл.3). Вычислим геометрические характеристики этого сечения:

- площадь поперечного сечения м²;

- осевой момент инерции м⁴;

- осевой момент сопротивления м³;

- полярный момент инерции = м⁴;

- полярный момент сопротивления =

м³.

Рассмотрим опасное сечение вала С, в котором действует суммарный изгибающий момент М_и = 536 Нм, крутящий момент Т = 420 Нм и продольная сила N = 880 Н (рис. 5.3, а).

Нормальные напряжения от изгиба

---

.определяются по формуле . ( – осевой момент инерции, у – координата точки сечения по оси y). На внешних волокнах в точках А и В они равны .

Нормальные напряжения от растяжения определим как МПа. Касательные напряжения .

Построим эпюры этих напряжений Э_и, Э_р, Э (рис. 5.3, б).

а б в

Рис. 5.3
В опасной точке А имеет место плоское напряженное состояние (рис. 5.3, в). В этой точке действует максимальные эквивалентные напряжения _{экв max}. Определим их по III теории прочности:

МПа.

Видно, что условие прочности выполняется, так как 504МПа < 575 МПа.

Определим недогрузку вала, учитывая, что диаметр вала выбран больше расчетного:

.

Недогрузка _ близка к рекомендуемому значению 15%. Таким образом, диаметр вала подобран правильно.

2. 
   Расчет вала на жесткость
   

В расчетах примем модуль упругости E = 210 ГПа, жесткость сечения EJ_oc = 210·10⁹·1,63·10^-8= 3423 Нм². Для определения перемещений воспользуемся способом Верещагина [1].



2.1. Расчет прогибов вала в местах установки колес

Вертикальная плоскость. Для определения линейных перемещений f_yA и f_yD в сечениях А иD, приложим в соответствующих сечениях единичную силу P = 1 ( ). Получим “единичные” состояния

---