Файл: В. И. Смирнов Допущено Научнометодическим советом по математике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебника для студентов механикоматематических и физикоматематических факультетов у.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 154
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям сходится равномерно в промежутке (a, b), если выполнено одно из следующих условий:
(А) Можно найти последовательность положительных постоянных. таких, что n
(x)| 6 M
n в промежутке, и ряд+ M
2
+ . . . + M
n
+ . . сходящийся признак Вейерштрасс а).
(Б) Функции u n
(x) могут быть представлены в виде u
n
(x) = a n
v где a
1
, a
2
, . . . , a n
, . . . суть постоянные, такие, что ряд a
1
+ a
2
+ . . . a n
+ . . сходится функции же v
1
(x), . . . , v n
(x), . . . все неотрицательны, остаются меньше постоянного положительного числа M и при каждом значении x в промежутке (a, b):
v
1
(x) > v
2
(x) > . . . > v n
(x) > . . . ,
0 6 v n
(x) 6 признак А бел я).
Д ока за тел ь ст во (А. Так как ряд (60) сходится, то приданном можно найти такое число N , чтобы при всех n > N и при всех p мы имели [125]:
M
n+1
+ M
n+2
+ . . . + M
n+p
< в силу же неравенств (59) и n+1
(x) + . . . + u n+p
(x)| 6 M
n+1
+ . . . + M
n+p
< откуда [143] и вытекает равномерная сходимость ряда Доказательство (Б. Положим a n+1
+ a n+2
+ . . . + a n+p
(p = 1, 2, . . откуда непосредственно следует a
n+1
= и a
n+k
= σ
′
k
− σ
′
k−1
(k > 1).
(А) Можно найти последовательность положительных постоянных. таких, что n
(x)| 6 M
n в промежутке, и ряд+ M
2
+ . . . + M
n
+ . . сходящийся признак Вейерштрасс а).
(Б) Функции u n
(x) могут быть представлены в виде u
n
(x) = a n
v где a
1
, a
2
, . . . , a n
, . . . суть постоянные, такие, что ряд a
1
+ a
2
+ . . . a n
+ . . сходится функции же v
1
(x), . . . , v n
(x), . . . все неотрицательны, остаются меньше постоянного положительного числа M и при каждом значении x в промежутке (a, b):
v
1
(x) > v
2
(x) > . . . > v n
(x) > . . . ,
0 6 v n
(x) 6 признак А бел я).
Д ока за тел ь ст во (А. Так как ряд (60) сходится, то приданном можно найти такое число N , чтобы при всех n > N и при всех p мы имели [125]:
M
n+1
+ M
n+2
+ . . . + M
n+p
< в силу же неравенств (59) и n+1
(x) + . . . + u n+p
(x)| 6 M
n+1
+ . . . + M
n+p
< откуда [143] и вытекает равномерная сходимость ряда Доказательство (Б. Положим a n+1
+ a n+2
+ . . . + a n+p
(p = 1, 2, . . откуда непосредственно следует a
n+1
= и a
n+k
= σ
′
k
− σ
′
k−1
(k > 1).
147]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
459
Оценим выражение u
n+1
(x) + u n+2
(x) + . . . + u n+p
(x) =
= a n+1
v n+1
(x) + a n+2
v n+2
(x) + . . . + a n+p Подставляя вместо a n+k их выражения через σ
′
k и собирая члены с одинаковым σ
′
k
, получим a
n+1
v n+1
(x) + a n+2
v n+2
(x) + . . . + a n+p v
n+p
(x) =
= σ
′
1
v n+1
(x) + (σ
′
2
− σ
′
1
)v n+2
(x) + . . . + (σ
′
p
− σ
′
p−1
)v n+p
(x) =
= σ
′
1
[v n+1
(x) − v n+2
(x)] + . . . +
+ σ
′
p−1
[v n+p−1
(x) − v n+p
(x)] + σ
′
p Принимая во внимание, что v n+p
(x) и все разности v n+k−1
(x) −
v n+k
(x) по условию неотрицательны, можем написать n+1
(x) + . . . + u n+p
(x)| 6 6
|σ
′
1
|[v n+1
(x)−v n+2
(x)]+. . .+|σ
′
p−1
|[v n+p−1
(x)−v n+p
(x)]+|σ
′
p
|v n+p(x),
или,
обозначая через
σ
′
наибольшее из абсолютных значений, |σ
′
2
|, . . . , |σ
′
p
|
|u n+1
(x) + . . . + u n+p
(x)| 6 6
σ
′
{[v n+1
(x) − v n+2
(x)] + . . . + [v n+p−1
(x) − v n+p
(x)] + v получаем, производя сокращения n+1
(x) + . . . + u n+p
(x)| 6 σ
′
v Из определения σ
′
k и сходимости ряда (62) вытекает, что для любого заданного положительного ε существует такое N , что при n > N и всяком k мы имеем а потому и
σ
′
<
ε
M
Принимая во внимание еще, что по условию 0 6 v n+p
(x) 6 M , получаем в силу (64),
|u n+1
(x) + . . . + u n+p
(x)| < при n > N и любом p. Так как N не зависит от x, то отсюда и вытекает равномерная сходимость ряда (55) в промежутке (a, b).
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям Пример ы.
1.
Ряды
∞
X
n=1
cos nx n
p
,
∞
X
n=1
sin nx n
p
(p > сходятся равномерно во всяком промежутке, так как при всяком x имеем nx n
p
6 1
n p
,
sin nx n
p
6 1
n и ряд при p > 1 сходящийся [122] (признак Вейерштрасса).
2.
Если ряд сходится, то и ряд n
n равномерно сходится в промежутке (0 6 x 6 l) при любом l, так как,
положив здесь v
n
(x) =
1
n удовлетворим всем условиям признака Абеля.
148. Степенные ряды. Радиус сходимости.
Весьма важный пример приложения изложенной выше теории рядов с переменными членами представляют степенные ряды, те. ряды вида+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x n
+ . . . с которыми мы уже встретились при исследовании формулы Маклоре- на. Подробное изучение свойств этих рядов относится к теории функций комплексной переменной, а потому здесь мы укажем только самые основные свойства.
П ер в а яте орем а А беля. Если степенной ряд (67) сходится при некотором значении x = ξ, то он сходится абсолютно при всех значениях x, для которых < Наоборот, если он расходится при x = ξ, то расходится и при всех значениях x, для которых > |ξ| = r.
(69)
1.
Ряды
∞
X
n=1
cos nx n
p
,
∞
X
n=1
sin nx n
p
(p > сходятся равномерно во всяком промежутке, так как при всяком x имеем nx n
p
6 1
n p
,
sin nx n
p
6 1
n и ряд при p > 1 сходящийся [122] (признак Вейерштрасса).
2.
Если ряд сходится, то и ряд n
n равномерно сходится в промежутке (0 6 x 6 l) при любом l, так как,
положив здесь v
n
(x) =
1
n удовлетворим всем условиям признака Абеля.
148. Степенные ряды. Радиус сходимости.
Весьма важный пример приложения изложенной выше теории рядов с переменными членами представляют степенные ряды, те. ряды вида+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x n
+ . . . с которыми мы уже встретились при исследовании формулы Маклоре- на. Подробное изучение свойств этих рядов относится к теории функций комплексной переменной, а потому здесь мы укажем только самые основные свойства.
П ер в а яте орем а А беля. Если степенной ряд (67) сходится при некотором значении x = ξ, то он сходится абсолютно при всех значениях x, для которых < Наоборот, если он расходится при x = ξ, то расходится и при всех значениях x, для которых > |ξ| = r.
(69)
148]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
461
Пусть сперва ряд a
0
+ a
1
ξ + a
2
ξ
2
+ . . . + a n
ξ
n
+ . . сходится, тогда общий член сходящегося ряда должен стремиться к нулю,
т. е n
ξ
n
→ 0 при n → а потому можно найти такую постоянную M , чтобы при всех значениях n мы имели n
ξ
n
| 6 Придадим теперь x любое значение, удовлетворяющее условию (и положим q =
x
ξ
< Мы имеем, очевидно n
x n
| =
a n
ξ
n x
n
ξ
n
= |a n
ξ
n
|
x
ξ
n
6
M q те. общий член ряда (67) при рассматриваемом значении x по абсолютной величине не превосходит общего члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а потому ряд (67) сходится абсолютно Вторая часть теоремы очевидна, так как если бы ряд (67) сходился при некотором значении x, удовлетворяющим условию (69), то по доказанному сейчас он должен был бы сходиться при всяком ξ, для которого < |x|, что противоречит условию.
С лед ст в и е. Существует вполне определенное число R, которое называется радиусом сходимости ряда (67) и которое обладает следующими свойствами:
ряд (67) сходится абсолютно при |x| < ряд (67) расходится при |x| > В частности, может оказаться, что R = 0, и тогда ряд (67) расходится при всех значениях x, отличных от нуля, или же R = ∞, и тогда ряд (сходится при всех значениях Отбросив первый случай, рассмотрим такое положительное значение x = ξ, при котором ряд (67) сходится. Такое значение, наверное, существует, если, вообще, существуют значения x 6= 0, при которых ряд) сходится. Если мы будем увеличивать число ξ, то могут встретиться лишь два случая или все время ряд (67) будет оставаться сходящимся
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям при x = ξ, даже когда ξ увеличивается беспредельно тогда мы имеем,
очевидно, R = ∞; или же будет существовать такое постоянное число которое обладает тем свойством, что при всех ξ < A ряд (67) сходится,
но при ξ > A ряд делается расходящимся.
Существование такого числа A интуитивно-геометрически вполне очевидно, так как на основании первой теоремы Абеля, если ряд при каком-нибудь значении ξ сделается расходящимся, то он будет расходиться и при всех больших значениях. Строгое доказательство существования числа A может быть проведено на основании теории иррациональных чисел. Очевидно, что это число A и будет радиусом сходимости R ряда
(67).
Проведем доказательство существования R. Разобьем все вещественные числа на два класса следующим образом к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и такие положительные числа ξ, что ряд) сходится при |x| = ξ, а ко второму классу отнесем все остальные вещественные числа. В силу доказанной теоремы любое число первого класса меньше любого числа второго класса, темы произвели сечение в области вещественных чисел, а потому или в первом классе есть наибольшее число, или во втором есть наименьшее число [40]. Нетрудно видеть, что это число и будет радиусом сходимости R ряда. Если все числа попадут в первый класс, то надо считать R = ∞.
149. Вторая теорема Абеля.
Если R есть радиус сходимости ряда, то ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно в любом промежутке (a, b), лежащем целиком внутри промежутка (−R, +те. для которого < a < b < Если же ряд сходится и при x = R или x = −R, то он будет равномерно сходящимся ив промежутке (a, R) или (−R, Заметим, прежде всего, что не нарушая общности, мы можем считать = 1, введя вместо x новую независимую переменную t по формуле x = после чего ряд (67) превратится в степенной ряд относительно переменной, а промежуток (−R, +R) перейдет в (−1, Если R = 1, то, по определению радиуса сходимости, ряд (67) будет сходиться абсолютно при всяком значении x = ξ, для которого |ξ| < Рассмотрим теперь любой промежуток (a, b), лежащий внутри (−R, так что < a < b < 1.
очевидно, R = ∞; или же будет существовать такое постоянное число которое обладает тем свойством, что при всех ξ < A ряд (67) сходится,
но при ξ > A ряд делается расходящимся.
Существование такого числа A интуитивно-геометрически вполне очевидно, так как на основании первой теоремы Абеля, если ряд при каком-нибудь значении ξ сделается расходящимся, то он будет расходиться и при всех больших значениях. Строгое доказательство существования числа A может быть проведено на основании теории иррациональных чисел. Очевидно, что это число A и будет радиусом сходимости R ряда
(67).
Проведем доказательство существования R. Разобьем все вещественные числа на два класса следующим образом к первому классу отнесем все отрицательные числа, нуль и такие положительные числа ξ, что ряд) сходится при |x| = ξ, а ко второму классу отнесем все остальные вещественные числа. В силу доказанной теоремы любое число первого класса меньше любого числа второго класса, темы произвели сечение в области вещественных чисел, а потому или в первом классе есть наибольшее число, или во втором есть наименьшее число [40]. Нетрудно видеть, что это число и будет радиусом сходимости R ряда. Если все числа попадут в первый класс, то надо считать R = ∞.
149. Вторая теорема Абеля.
Если R есть радиус сходимости ряда, то ряд сходится не только абсолютно, но и равномерно в любом промежутке (a, b), лежащем целиком внутри промежутка (−R, +те. для которого < a < b < Если же ряд сходится и при x = R или x = −R, то он будет равномерно сходящимся ив промежутке (a, R) или (−R, Заметим, прежде всего, что не нарушая общности, мы можем считать = 1, введя вместо x новую независимую переменную t по формуле x = после чего ряд (67) превратится в степенной ряд относительно переменной, а промежуток (−R, +R) перейдет в (−1, Если R = 1, то, по определению радиуса сходимости, ряд (67) будет сходиться абсолютно при всяком значении x = ξ, для которого |ξ| < Рассмотрим теперь любой промежуток (a, b), лежащий внутри (−R, так что < a < b < 1.
149]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
1 ... 26 27 28 29 30 31 32 33 ... 43
463
Выберем за ξ любое число, лежащее внутри (−1, 1), но по абсолютному значению большее |a| и |b|. При всяком x в промежутке (a, b) имеем n
x n
| < |a итак как ряд a
0
+ a
1
ξ + a
2
ξ
2
+ . . . + a n
ξ
n
+ . . сходится абсолютно и члены его не зависят от x, то по признаку Вейерштрасса ряд (67) сходится равномерно в промежутке (a, Допустим теперь, что ряд (67) сходится иприте. что ряд a
0
+ a
1
+ a
2
+ . . . + a n
+ . . сходится. Полагая v
n
(x) = x мы можем применить кряду) признак Абеля, который покажет, что ряд (67) будет равномерно сходиться во всем промежутке (a, 1), где a любое число, большее Случай, когда ряд (67) сходится при x = −1, приводится к предыдущему, если заменить x на (Обозначим через f (x) сумму ряда (67). Она существует, конечно,
лишь при тех значениях x, при которых ряд сходится. Пусть R — радиус сходимости ряда. Принимая во внимание равномерную сходимость ряда во всяком промежутке (a, b), для которого < a < b < и свойство 1) из [146], можем утверждать, что сумма ряда f (x) есть непрерывная функция во всяком из указанных промежутков (a, b). Иначе говорят, что f (x) непрерывна внутри промежутка (−R, +R). Дальше мы увидим, что эта функция имеет сколько угодно производных внутри промежутка (−R, +R). Если ряд (67) сходится и при x = R, тов силу доказанной равномерной сходимости во всяком промежутке (a, R), где a > −R, f(x), будет непрерывной функцией в этом промежутке, ив частности, f (R) будет пределом f (x) при стремлении x к R слева [35]:
f (R) =
lim x→R−0
f (Аналогично при сходимости ряда для x = Выше мы видели, что разложение бинома Ньютона [131]
(1 + x)
m
= 1 +
m
1!
x +
m(m − 1)
2!
x
2
+ . . .
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям имеет радиус сходимости R = 1 ив некоторых случаях сходится при x = ±1. В силу только что доказанного можно утверждать, что если,
например, ряд сходится при x = 1, то его сумма при этом равна lim x→1−0
(1 + x)
m
= 2
m
150. Дифференцирование и интегрирование степенного ря- да.
Пусть R — радиус сходимости ряда a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x n
+ . . Интегрируя его почленно от 0 дои дифференцируя его, мы получим два других степенных ряда a
0
x +
a
1 2
x
2
+ . . . +
a n
n + 1
x n+1
+ . . .
(73)
a
1
+ 2a
2
x + 3a
3
x
2
+ . . . + na n
x n−1
+ . . Покажем, что они имеют тот же радиус сходимости R. Для этого надо показать, что они сходятся, если |x| < R, и расходятся, если |x| > По доказанному, ряд (72) сходится равномерно во всяком промежутке, где 0 < R
1
< R, ив силу свойства 2) из [146] его можно в этом промежутке интегрировать почленно от 0 доте. можно утверждать, что ряд (73) сходится при любом x, для которого |x| < R, и что при этом сумма ряда (73) равна x
Z
0
f (где f (x) — сумма ряда (72). Покажем теперь, что и ряд (74) сходится,
если |x| < R. Возьмем такое x, выберем какое-нибудь число ξ, лежащее между |x| и R, те и положим q = |
x|
ξ
< Для членов ряда (74) получаем оценку n
x n−1
| =
na n
ξ
n x
n−1
ξ
n−1
·
1
ξ
,
например, ряд сходится при x = 1, то его сумма при этом равна lim x→1−0
(1 + x)
m
= 2
m
150. Дифференцирование и интегрирование степенного ря- да.
Пусть R — радиус сходимости ряда a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x n
+ . . Интегрируя его почленно от 0 дои дифференцируя его, мы получим два других степенных ряда a
0
x +
a
1 2
x
2
+ . . . +
a n
n + 1
x n+1
+ . . .
(73)
a
1
+ 2a
2
x + 3a
3
x
2
+ . . . + na n
x n−1
+ . . Покажем, что они имеют тот же радиус сходимости R. Для этого надо показать, что они сходятся, если |x| < R, и расходятся, если |x| > По доказанному, ряд (72) сходится равномерно во всяком промежутке, где 0 < R
1
< R, ив силу свойства 2) из [146] его можно в этом промежутке интегрировать почленно от 0 доте. можно утверждать, что ряд (73) сходится при любом x, для которого |x| < R, и что при этом сумма ряда (73) равна x
Z
0
f (где f (x) — сумма ряда (72). Покажем теперь, что и ряд (74) сходится,
если |x| < R. Возьмем такое x, выберем какое-нибудь число ξ, лежащее между |x| и R, те и положим q = |
x|
ξ
< Для членов ряда (74) получаем оценку n
x n−1
| =
na n
ξ
n x
n−1
ξ
n−1
·
1
ξ
,
150]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
465
и, в силу предыдущего n
x n−1
| 6 nq n−1 1
ξ
|a Применяя кряду признак Даламбера, нетрудно показать, что он сходится при 0 < q < 1 и, следовательно [119],
nq n−1
→ 0 при n → а потому, при всех достаточно больших n:
|na n
x n−1
| < |a Нов силу (75), ряд Σa n
ξ
n сходится абсолютно, а потому и ряд (сходится абсолютно при взятом значении x. Итак, оба ряда (73) и (сходятся, если |x| < R, те. при почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда его радиус сходимости не может уменьшиться. Но отсюда непосредственно следует, что он не может и увеличиться.
Действительно, если бы, например, радиус сходимости ряда (73) был причем R
′
> R, то при дифференцировании ряда (73) мы получили бы ряди его радиус сходимости должен быть не меньше R
′
, а по условию он равен R, причем R < R
′
. Итак, ряды (73) и (74) имеют тот же радиус сходимости, что и ряд (72). Дифференцируем ряд (74) еще раз,
получим, в силу доказанного выше, степенной ряд+ 3 · 2a
3
x + 4 · 3a
4
x
2
+ . . . + n(n − 1)a n
x n−2
+ . . стем же радиусом сходимости R и т. д. Тоже будем иметь и при повторном почленном интегрировании ряда (73) от 0 до x. Все полученные от почленного дифференцирования и от почленного интегрирования от до x ряды равномерно сходятся во всяком промежутке (a, b), удовлетворяющем условию (70). Вспоминая свойства 1), 2) и 3) из [146], можем сформулировать следующий результат.
Сумма степенного ряда a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x n
+ . . . радиус сходимости которого есть R, есть непрерывная внутри промежутка, те. при −R < x + R, функция, имеющая внутри этого промежутка производные всех порядков. Эти производные могут быть получены почленным дифференцированием ряда (77). Последовательное почленное интегрирование от 0 допри также
Гл. IV. Ряды и их приложения к приближенным вычислениям может производиться почленным интегрированием ряда (77). Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда не меняют его радиуса сходимости.
Отметим, что промежуток (−R, +R) может быть и открытым промежутком, те. все сказанное справедливо и для того случая,
когда радиус сходимости ряда (77) равен бесконечности.
Полагая f (x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x n
+ . . . мы получаем, таким образом) = a
1
+ 2a
2
x + . . . + na n
x n−1
+ . . . ,
f
′′
(x) = 2a
2
+ 6a
3
x + . . . + n(n − 1)a n
x n−2
+ . . . ,
f
(n)
(x) = n!a n
+ (n + 1)n . . . 3 · 2a n+1
x + . . . откуда следует при x = 0,
a
0
= f (0), a
1
=
f
′
(0)
1!
, a
2
=
f
′′
(0)
2!
, . . . , a Подставив эти выражения для a
0
, a
1
, a
2
, . . . , a в (78), получим f (x) = f (0) +
xf
′
(0)
1!
+
x
2
f
′′
(0)
2!
+ . . . +
x n
f
(n)
(0)
n!
+ . . . (−R < x < +те. степенной ряд совпадает с разложением своей суммы по формуле
Маклорена.
Изложенная теория степенных рядов распространяется без труда на степенные ряды вида a
0
+ a
1
(x − a) + a
2
(x − a)
2
+ . . . + a n
(x − a)
n
+ . . Везде роль x будет играть разность (x−a). Радиус сходимости R ряда) определяется из того условия, что ряд сходится при |x − a| < R и расходится при |x − a| > R. Если обозначить через f(x) сумму ряда (в промежутке < x − a < то для коэффициентов a получаем выражение a
0
= f (a), a
1
=
f
′
(a)
1!
, . . . , a n
=
f
(n)
(a)
n!
, . . . ,
Отметим, что промежуток (−R, +R) может быть и открытым промежутком, те. все сказанное справедливо и для того случая,
когда радиус сходимости ряда (77) равен бесконечности.
Полагая f (x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ . . . + a n
x n
+ . . . мы получаем, таким образом) = a
1
+ 2a
2
x + . . . + na n
x n−1
+ . . . ,
f
′′
(x) = 2a
2
+ 6a
3
x + . . . + n(n − 1)a n
x n−2
+ . . . ,
f
(n)
(x) = n!a n
+ (n + 1)n . . . 3 · 2a n+1
x + . . . откуда следует при x = 0,
a
0
= f (0), a
1
=
f
′
(0)
1!
, a
2
=
f
′′
(0)
2!
, . . . , a Подставив эти выражения для a
0
, a
1
, a
2
, . . . , a в (78), получим f (x) = f (0) +
xf
′
(0)
1!
+
x
2
f
′′
(0)
2!
+ . . . +
x n
f
(n)
(0)
n!
+ . . . (−R < x < +те. степенной ряд совпадает с разложением своей суммы по формуле
Маклорена.
Изложенная теория степенных рядов распространяется без труда на степенные ряды вида a
0
+ a
1
(x − a) + a
2
(x − a)
2
+ . . . + a n
(x − a)
n
+ . . Везде роль x будет играть разность (x−a). Радиус сходимости R ряда) определяется из того условия, что ряд сходится при |x − a| < R и расходится при |x − a| > R. Если обозначить через f(x) сумму ряда (в промежутке < x − a < то для коэффициентов a получаем выражение a
0
= f (a), a
1
=
f
′
(a)
1!
, . . . , a n
=
f
(n)
(a)
n!
, . . . ,
150]
§ 14. Дополнительные сведения из теории рядов
467
т. е. ряд (79) в промежутке (80) совпадает с разложением своей суммы вряд Тейлора.
Мы вернемся еще к теории степенных рядов в третьем томе при изложении теории функций комплексной переменной.
В качестве примера предлагается вывести из теории степенных рядов разложения функций log(1 + x), arctg x, arcsinx, заметив, что log(1 + x) =
x
Z
0
dx
1 + x
,
arctg x =
x
Z
0
dx
1 + x
2
,
arcsinx =
x
Z
0
dx
√
1 − и исследовать область применимости полученных разложений.
ГЛАВА V
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ. Основные понятия. В § 6 главы II, посвященном функциям двух переменных, мы начали с изложения основных понятий,
касающихся таких функций. Сейчас мы будем говорить о функциях многих переменных и, кроме того, более подробно остановимся на понятии предела.
Функцию f (x, y) мы считаем определенной или на всей плоскости или в некоторой области. Таким образом, всякой точке (x, из этой области соответствует определенное значение f (x, y). Если рассматриваются только внутренние точки области, то такая область называется открытой. Если к области причисляется ее контур, то область называется замкнутой.
Аналогичным образом, если ввести прямолинейную, прямоугольную систему координат OX, OY , OZ в пространстве, то, вместо тройки чисел (x, y, z) мы можем говорить о точке M пространства с координатами (x, y, z). Будем считать, что функция f (x, y, определена во всем пространстве или в некоторой области пространства, которая может быть открытой или замкнутой. В наиболее простых случаях границами области (их может быть и несколь-
ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 15. ПРОИЗВОДНЫЕ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ. Основные понятия. В § 6 главы II, посвященном функциям двух переменных, мы начали с изложения основных понятий,
касающихся таких функций. Сейчас мы будем говорить о функциях многих переменных и, кроме того, более подробно остановимся на понятии предела.
Функцию f (x, y) мы считаем определенной или на всей плоскости или в некоторой области. Таким образом, всякой точке (x, из этой области соответствует определенное значение f (x, y). Если рассматриваются только внутренние точки области, то такая область называется открытой. Если к области причисляется ее контур, то область называется замкнутой.
Аналогичным образом, если ввести прямолинейную, прямоугольную систему координат OX, OY , OZ в пространстве, то, вместо тройки чисел (x, y, z) мы можем говорить о точке M пространства с координатами (x, y, z). Будем считать, что функция f (x, y, определена во всем пространстве или в некоторой области пространства, которая может быть открытой или замкнутой. В наиболее простых случаях границами области (их может быть и несколь-
151]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
469
ко) будут некоторые поверхности. Так, например, неравенства a
1 6
x 6 a
2
,
b
1 6
y 6 b
2
,
c
1 6
z 6 определяют замкнутый прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны координатным осям. Неравенства a
1
< x < a
2
,
b
1
< y < b
2
,
c
1
< z < определяют открытый параллелепипед. Неравенство − a)
2
+ (y − b)
2
+ (z − c)
2 определяет замкнутую сферу с центром (a, b, c) и радиусом r. Если исключить знак равенства и оставить только знак <, то получится открытая сфера. Понятие предела и непрерывности для функции трех переменных определяют совершенно также, как и [67] для двух переменных.
Для функций f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) многих переменных при n > уже теряется геометрическая наглядность пространства, однако ив этом случае часто сохраняют геометрическую терминологию. Последовательность вещественных чисел (x
1
, x
2
, . . . , x n
) называют точкой. Множество всех точек образуют мерное пространство.
Области такого пространства определяются неравенствами. Так,
например, неравенства c
1 6
x
1 6
d
1
,
c
2 6
x
2 6
d
2
, . . . , c n
6
x n
6
d определяют мерный параллелепипед или, как иногда говорят, n- мерный промежуток. Неравенство n
X
k=1
(x k
− a k
)
2 определяет мерный шар. Окрестностью точки (a
1
, a
2
, . . . , a называется множество точек, определенных последним неравенством при некотором выборе r или неравенствами |x k
− a k
| 6 ρ
(k = 1, 2, . . . , n), где ρ — некоторое положительное число
Гл. V. Функции нескольких переменных
[152
Если функция f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) определена в окрестности точки, то говорят, что f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) стремится к пределу A при стремлении точки M (x
1
, x
2
, . . . , x n
) к точке, a
2
, . . . , a n
), и пишут lim x
k
→a k
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) = A или lim
M→M
0
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) = если для любого заданного положительного числа ε существует такое положительное η, что |A − f(x
1
, x
2
, . . . , x n
)| < ε, если только |a k
− x k
| < η при k = 1, 2, . . . , n, причем считается,
что точка M (x
1
, x
2
, . . . , x n
) не совпадает с M
0
(a
1
, a
2
, . . . , a n
). Если f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) определена ив точке M
0
(a
1
, a
2
, . . . , a n
), то непрерывность в этой точке определяется равенством [ср. 67]:
lim x
k
→a k
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) = f (a
1
, a
2
, . . . , a Справедливы указанные в [67] свойства функции, непрерывной в замкнутой области.
Как в случае функции одного переменного [34], справедливы утверждения о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций. Последнее — в том случае, когда знаменатель отличен от нуля в точке (a
1
, a
2
, . . . , a n
).
152. О предельно переходе.
Остановимся более подробно на понятии предела, ограничиваясь случаем функции двух переменных. Если существует lim x→a y→b f (x, y) = то будем говорить, что существует предел по обеим переменным. Как мы знаем [67], это значим, что f (x, y) стремится к пределу A при любом законе стремления точки M (x, y) кВ частности lim x→a f (x, b) = и lim y→b f (a, y) = В первом случае M (x, y) стремится к M
0
(a, b) по прямой, параллельной оси OX, а во втором случае — по прямой, параллельной оси OY . Отметим, что из существования пределов (2) и их равенства еще не вытекает
∗
Все переменные x стремятся к своим значениям a независимо друг от друга
152]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
471
существование предела (1). В качестве примера рассмотрим функцию f (x, y) =
xy x
2
+ и положим a = 0 и b = 0. Мы имеем lim x→0
f (x, 0) = lim x→0
x · 0
x
2
+ 0 2
= lim x→0 0 = и lim y→0
f (0, y) = а предел (1) в этом случае не существует. Действительно, полагая y
x
= tg α, можем переписать нашу функцию в виде f (x, y) =
xy x
2
+ y
2
=
tg α
1 + tg
2
α
= sin α cos Если точка M (x, y) стремится к M (0, 0) по прямой, проходящей через начало и образующей угол с осью OX, то f (x, y), выражаемая формулой, остается постоянной, и ее величина зависит от выбора откуда и следует, что предел (1) не существует в рассматриваемом примере. Отметим, что формула (3) не определяет функцию в самой точке (0, Кроме предельного перехода (1), можно рассматривать еще повторные пределы, соответствующие предельному переходу сначала по x при постоянном y, отличном от b, а затем поили наоборот x→a
lim y→b f (x, или lim y→b h
lim x→a f (x, Может оказаться, что оба повторных предела существуют, но различны.
Так, например, для функции f (x, y) =
x
2
− y
2
+ x
3
+ y
3
x
2
+ мы имеем, как нетрудно проверить x→0
lim y→0
f (x, y)
= 1,
lim y→0
h lim x→0
f (x, y)
i
= Но имеет место
Т е орем а. Если существует предел по обеим переменными при всяком x, достаточно близком к a и отличном от a, существует предел lim y→b f (x, y) = ϕ(x),
(5)
[152
Если функция f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) определена в окрестности точки, то говорят, что f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) стремится к пределу A при стремлении точки M (x
1
, x
2
, . . . , x n
) к точке, a
2
, . . . , a n
), и пишут lim x
k
→a k
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) = A или lim
M→M
0
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) = если для любого заданного положительного числа ε существует такое положительное η, что |A − f(x
1
, x
2
, . . . , x n
)| < ε, если только |a k
− x k
| < η при k = 1, 2, . . . , n, причем считается,
что точка M (x
1
, x
2
, . . . , x n
) не совпадает с M
0
(a
1
, a
2
, . . . , a n
). Если f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) определена ив точке M
0
(a
1
, a
2
, . . . , a n
), то непрерывность в этой точке определяется равенством [ср. 67]:
lim x
k
→a k
f (x
1
, x
2
, . . . , x n
) = f (a
1
, a
2
, . . . , a Справедливы указанные в [67] свойства функции, непрерывной в замкнутой области.
Как в случае функции одного переменного [34], справедливы утверждения о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций. Последнее — в том случае, когда знаменатель отличен от нуля в точке (a
1
, a
2
, . . . , a n
).
152. О предельно переходе.
Остановимся более подробно на понятии предела, ограничиваясь случаем функции двух переменных. Если существует lim x→a y→b f (x, y) = то будем говорить, что существует предел по обеим переменным. Как мы знаем [67], это значим, что f (x, y) стремится к пределу A при любом законе стремления точки M (x, y) кВ частности lim x→a f (x, b) = и lim y→b f (a, y) = В первом случае M (x, y) стремится к M
0
(a, b) по прямой, параллельной оси OX, а во втором случае — по прямой, параллельной оси OY . Отметим, что из существования пределов (2) и их равенства еще не вытекает
∗
Все переменные x стремятся к своим значениям a независимо друг от друга
152]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
471
существование предела (1). В качестве примера рассмотрим функцию f (x, y) =
xy x
2
+ и положим a = 0 и b = 0. Мы имеем lim x→0
f (x, 0) = lim x→0
x · 0
x
2
+ 0 2
= lim x→0 0 = и lim y→0
f (0, y) = а предел (1) в этом случае не существует. Действительно, полагая y
x
= tg α, можем переписать нашу функцию в виде f (x, y) =
xy x
2
+ y
2
=
tg α
1 + tg
2
α
= sin α cos Если точка M (x, y) стремится к M (0, 0) по прямой, проходящей через начало и образующей угол с осью OX, то f (x, y), выражаемая формулой, остается постоянной, и ее величина зависит от выбора откуда и следует, что предел (1) не существует в рассматриваемом примере. Отметим, что формула (3) не определяет функцию в самой точке (0, Кроме предельного перехода (1), можно рассматривать еще повторные пределы, соответствующие предельному переходу сначала по x при постоянном y, отличном от b, а затем поили наоборот x→a
lim y→b f (x, или lim y→b h
lim x→a f (x, Может оказаться, что оба повторных предела существуют, но различны.
Так, например, для функции f (x, y) =
x
2
− y
2
+ x
3
+ y
3
x
2
+ мы имеем, как нетрудно проверить x→0
lim y→0
f (x, y)
= 1,
lim y→0
h lim x→0
f (x, y)
i
= Но имеет место
Т е орем а. Если существует предел по обеим переменными при всяком x, достаточно близком к a и отличном от a, существует предел lim y→b f (x, y) = ϕ(x),
(5)
Гл. V. Функции нескольких переменных
[152
то существует первый повторный предел (4) ион равен A, те Из существования предела (1) следует [67], что для любого заданного положительного ε существует такое положительное η, что − f(x, y)| < ε при |x − a| < η и |y − b| < причем (x, y) не совпадает с (a, b). Фиксируем x, отличное от a, так, чтобы иметь |x − a| < η. Принимая во внимание (5) и переходя в неравенстве) к пределу по y, получим − ϕ(x)| 6 ε при |x − a| < η и x 6= откуда, ввиду произвольности ε, следует равенство Замечание. Совершенно также, если мы предположим, что существует предел (1) и что при всяком y, достаточно близком к b и отличном от b, существует предел lim x→a f (x, y) = то существует второй повторный предел (4) ион равен A, те Если предел (1) существует и равен f (a, b), те, то функция) непрерывна в точке (a, b) или, как говорят, непрерывна по обеим переменным в точке (a, b). При этом, в силу (2),
lim x→a f (x, b) = f (a, b),
lim y→b f (a, y) = f (a, те. функция непрерывна по каждой переменной в отдельности в точке, о чем мы говорили и раньше [67]. Наоборот, из непрерывности по каждой переменной еще не вытекает непрерывности по обеим переменным. Действительно, определим функцию формулой (3) вне начала координат и положим f (0, 0) = 0. Как мы упоминали выше, мы имеем при этом lim x→0
f (x, 0) = и lim y→0
f (0, y) = те. функция непрерывна по каждой переменной в точке (0, 0). Но она не является непрерывной по обеим переменным, ибо, как мы видели
153]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
473
не существует определенного предела f (x, y) при стремлении M (x, y) к, Если f (x, y) имеет в некоторой области, содержащей точку (x, внутри себя, частные производные, то, как мы показали [68], имеет место формула f (x+∆x, y+∆y)−f(x, y) = f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f
′
y
(x, y + θ
1
∆y)∆y
(0 < и Положим, что частные производные ограничены в упомянутой области,
т. е. по абсолютной величине не превышают некоторого числа M . При этом написанная формула дает + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)| 6 M(|∆x| + и правая часть этого неравенства стремится к нулю при ∆x → 0 и ∆y →
0, откуда следует lim
∆x→0
∆y→0
f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, те. если f (x, y) имеет внутри некоторой области ограниченные частные производные, то она непрерывна внутри этой области.
Функция (3) при дополнительном соотношении f (0, 0) = 0 равна нулю на всей оси OX и на всей оси OY ив точке M
0
(0, 0) она имеет,
очевидно, частные производные, равные нулю. В остальных точках она также имеет частные производные, y) =
y
3
− x
2
y
(x
2
+ y
2
)
2
,
f
′
y
(x, y) =
x
3
− xy
2
(x
2
+ те. указанная выше функция имеет частные производные на всей плоскости. Все же она, как мы видели, не обладает непрерывностью в точке, 0). Это объясняется тем, что частные производные могут принимать сколь угодно больше по абсолютной величине значения при приближении точки (x, y) к началу координат. Частные производные и полный дифференциал первого порядка. В [68] мы ввели понятие о частных производных и полном дифференциале функции двух переменных. Эти понятия могут быть распространены и на случай функции любого числа
[152
то существует первый повторный предел (4) ион равен A, те Из существования предела (1) следует [67], что для любого заданного положительного ε существует такое положительное η, что − f(x, y)| < ε при |x − a| < η и |y − b| < причем (x, y) не совпадает с (a, b). Фиксируем x, отличное от a, так, чтобы иметь |x − a| < η. Принимая во внимание (5) и переходя в неравенстве) к пределу по y, получим − ϕ(x)| 6 ε при |x − a| < η и x 6= откуда, ввиду произвольности ε, следует равенство Замечание. Совершенно также, если мы предположим, что существует предел (1) и что при всяком y, достаточно близком к b и отличном от b, существует предел lim x→a f (x, y) = то существует второй повторный предел (4) ион равен A, те Если предел (1) существует и равен f (a, b), те, то функция) непрерывна в точке (a, b) или, как говорят, непрерывна по обеим переменным в точке (a, b). При этом, в силу (2),
lim x→a f (x, b) = f (a, b),
lim y→b f (a, y) = f (a, те. функция непрерывна по каждой переменной в отдельности в точке, о чем мы говорили и раньше [67]. Наоборот, из непрерывности по каждой переменной еще не вытекает непрерывности по обеим переменным. Действительно, определим функцию формулой (3) вне начала координат и положим f (0, 0) = 0. Как мы упоминали выше, мы имеем при этом lim x→0
f (x, 0) = и lim y→0
f (0, y) = те. функция непрерывна по каждой переменной в точке (0, 0). Но она не является непрерывной по обеим переменным, ибо, как мы видели
153]
§ 15. Производные и дифференциалы функции
473
не существует определенного предела f (x, y) при стремлении M (x, y) к, Если f (x, y) имеет в некоторой области, содержащей точку (x, внутри себя, частные производные, то, как мы показали [68], имеет место формула f (x+∆x, y+∆y)−f(x, y) = f
′
x
(x + θ∆x, y + ∆y)∆x + f
′
y
(x, y + θ
1
∆y)∆y
(0 < и Положим, что частные производные ограничены в упомянутой области,
т. е. по абсолютной величине не превышают некоторого числа M . При этом написанная формула дает + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)| 6 M(|∆x| + и правая часть этого неравенства стремится к нулю при ∆x → 0 и ∆y →
0, откуда следует lim
∆x→0
∆y→0
f (x + ∆x, y + ∆y) = f (x, те. если f (x, y) имеет внутри некоторой области ограниченные частные производные, то она непрерывна внутри этой области.
Функция (3) при дополнительном соотношении f (0, 0) = 0 равна нулю на всей оси OX и на всей оси OY ив точке M
0
(0, 0) она имеет,
очевидно, частные производные, равные нулю. В остальных точках она также имеет частные производные, y) =
y
3
− x
2
y
(x
2
+ y
2
)
2
,
f
′
y
(x, y) =
x
3
− xy
2
(x
2
+ те. указанная выше функция имеет частные производные на всей плоскости. Все же она, как мы видели, не обладает непрерывностью в точке, 0). Это объясняется тем, что частные производные могут принимать сколь угодно больше по абсолютной величине значения при приближении точки (x, y) к началу координат. Частные производные и полный дифференциал первого порядка. В [68] мы ввели понятие о частных производных и полном дифференциале функции двух переменных. Эти понятия могут быть распространены и на случай функции любого числа
Гл. V. Функции нескольких переменных
[153
переменных. Для примера рассмотрим функцию четырех переменных, Частной производной от этой функции по x называется предел lim h→±0
f (x + h, y, z, t) − f(x, y, z, если он существует, и для обозначения это частной производной употребляют символы f
′
x
(x, y, z, или (x, y, z, t)
∂x
,
или
∂w
∂x
Аналогично определяются частные производные и по другим пере- менным.
Полным дифференциалом функции называется сумма ее частных дифференциалов =
∂w
∂x dx +
∂w
∂y dy +
∂w
∂z dz +
∂w
∂t где dx, dy, dz, dt — дифференциалы независимых переменных (произвольные величины, независящие от x, y, z, Дифференциал есть главная часть приращения функции = f (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) − f(x, y, z, а именно (ср. [68]):
∆w = dw + ε
1
dx + ε
2
dy + ε
3
dz + где ε
1
, ε
2
, ε
3
, стремятся к нулю, если dx, dy, dz, dt стремятся к нулю, причем предполагается, что функция w имеет непрерывные частные производные внутри некоторой области, содержащей точку (x, y, z, t) внутри себя.
[153
переменных. Для примера рассмотрим функцию четырех переменных, Частной производной от этой функции по x называется предел lim h→±0
f (x + h, y, z, t) − f(x, y, z, если он существует, и для обозначения это частной производной употребляют символы f
′
x
(x, y, z, или (x, y, z, t)
∂x
,
или
∂w
∂x
Аналогично определяются частные производные и по другим пере- менным.
Полным дифференциалом функции называется сумма ее частных дифференциалов =
∂w
∂x dx +
∂w
∂y dy +
∂w
∂z dz +
∂w
∂t где dx, dy, dz, dt — дифференциалы независимых переменных (произвольные величины, независящие от x, y, z, Дифференциал есть главная часть приращения функции = f (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt) − f(x, y, z, а именно (ср. [68]):
∆w = dw + ε
1
dx + ε
2
dy + ε
3
dz + где ε
1
, ε
2
, ε
3
, стремятся к нулю, если dx, dy, dz, dt стремятся к нулю, причем предполагается, что функция w имеет непрерывные частные производные внутри некоторой области, содержащей точку (x, y, z, t) внутри себя.
1 ... 27 28 29 30 31 32 33 34 ... 43
Точно также может быть обобщено и правило дифференцирования сложных функций. Предположим, например, что x, y и z суть не независимые переменные, но функции независимой переменной
153]
§ 15. Производные и дифференциалы функции. Функция w будет в этом случае зависеть от t как непосредственно, таки через посредство x, y, z, и полная производная от w побудет иметь выражение dw dt
=
∂w
∂t
+
∂w
∂x dx dt
+
∂w
∂y dy dt
+
∂w
∂z dz Мы не останавливаемся на доказательстве этого правила, так как оно состоит в буквальном повторении того, что мы говорили в [69]. Если переменные x, y, z зависят, кроме t, и от других независимых переменных, тов правой части формулы (8) мы должны вместо dx dt
,
dy dt
,
dz dt писать частные производные. В этом случае и функция w будет, кроме t, зависеть и от других независимых переменных, ив левой части равенства (8) мы также должны dw dt заменить на. Но эта последняя частная производная отлична от частной производной, стоящей в правой части равенства (8) и вычисленной лишь поскольку w непосредственно зависит от t; для отличия эту частную производную, вычисленную непосредственно по t, заключают иногда в скобки, так что равенство (8) принимает в рассматриваемом случае вид В случае функций от одной переменной, мы видели, что выражение ее первого дифференциала не зависит от выбора независимой переменной [50]. Покажем, что это свойство остается справедливыми в случае функции от нескольких переменных.
Рассмотрим для определенности случай функции от двух переменных, Положим, что x и y суть функции независимых переменных u и Согласно правилу дифференцирования сложных функций, имеем
∂z
∂u
=
∂z
∂x
∂x
∂u
+
∂z
∂y
∂y
∂u
,
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
Полный дифференциал функции по определению равен dz =
∂z
∂u du +
∂z
∂v dv.
Гл. V. Функции нескольких переменных
[154
Подставляя выражения частных производных, получим dz =
∂z
∂x
∂x
∂u du +
∂x
∂v dv
+
∂z
∂y
∂y
∂u du +
∂y
∂v Но выражения, стоящие в круглых скобках, суть полные дифференциалы и y, и мы можем написать dz =
∂z
∂x dx +
∂z
∂y те. дифференциал сложной функции имеет тоже выражение,
которое он имел бы, если x, y были независимыми переменными.
Свойство это позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных + v) = du + dv,
d(uv) = vdu + udv,
d u
v
=
vdu − udv где u и v — функции нескольких независимых переменных. Действительно, пользуясь доказанным свойством, мы можем, например, написать d(uv) =
∂(uv)
∂u du +
∂(uv)
∂v dv = vdu + udv.
154. Однородные функции. Дадим определение однородной функции нескольких переменных функция нескольких переменных называется однородной функцией этих переменных степени m, если приумножении этих переменных на произвольную величину t функция умножается нате. имеет место тождество f (tx, ty) = t m
f (x, y) или f (tx, ty, tz) = t m
f (x, y, при любых допустимых значениях переменных x, y, z, t. Число m может быть любым фиксированным вещественным числом. Если,
например, m =
1 2
, то t m
=
√
t и t должны быть положительными.
Положим, что функция f (x, y) выражает некоторый объем, что x
[154
Подставляя выражения частных производных, получим dz =
∂z
∂x
∂x
∂u du +
∂x
∂v dv
+
∂z
∂y
∂y
∂u du +
∂y
∂v Но выражения, стоящие в круглых скобках, суть полные дифференциалы и y, и мы можем написать dz =
∂z
∂x dx +
∂z
∂y те. дифференциал сложной функции имеет тоже выражение,
которое он имел бы, если x, y были независимыми переменными.
Свойство это позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных + v) = du + dv,
d(uv) = vdu + udv,
d u
v
=
vdu − udv где u и v — функции нескольких независимых переменных. Действительно, пользуясь доказанным свойством, мы можем, например, написать d(uv) =
∂(uv)
∂u du +
∂(uv)
∂v dv = vdu + udv.
154. Однородные функции. Дадим определение однородной функции нескольких переменных функция нескольких переменных называется однородной функцией этих переменных степени m, если приумножении этих переменных на произвольную величину t функция умножается нате. имеет место тождество f (tx, ty) = t m
f (x, y) или f (tx, ty, tz) = t m
f (x, y, при любых допустимых значениях переменных x, y, z, t. Число m может быть любым фиксированным вещественным числом. Если,
например, m =
1 2
, то t m
=
√
t и t должны быть положительными.
Положим, что функция f (x, y) выражает некоторый объем, что x